"Перестановки - Элементы комбинаторики и теории вероятностей", 9 класс, алгебра

9 класс  Алгебра                                                                  Дата_________

Урок №

"Перестановки"

Цели:

·         Познакомиться с элементами комбинаторики; рассмотреть подробнее перестановки; получить формулу нахождения числа перестановок из n элементов; научиться применять её при решении комбинаторных задач. Развивать сообразительность, творческую активность;

·         Воспитывать аккуратность; формировать навыки общения.

Тип урока: изучение нового материала.

Ход урока

        I.            Оргмогмент. 

     II.            Актуализация знаний.

1) Проверка домашнего задания (выборочно проверяются работы отдельных учеников).

                       III.              Изучение нового материала.

Определение:

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Обозначают .

Вернемся к примеру, и найдем число перестановок из трёх элементов:

Пользуясь комбинаторным правилом умножения, это значение можно было получить так.

Для выбора первого элемента существует три варианта. Для каждого из них есть два варианта выбора второго элемента. И третий элемент мы выбираем единственным способом.

Получим формулу числа перестановок из n элементов.

Расположим множители в порядке возрастания:

Для записи произведения первых n натуральных чисел, есть специальное обозначение:

Например:

Пример. Найти число перестановок из 5 элементов:

Пример. Определить, делится ли число 18! на 30, на 54 и на 625.

Запишем и проверим, получится ли в результате целое число:

Получили, что числитель и знаменатель дроби можно сократить на 5 и на 6. Очевидно, в результате получим целое число.

Получили, что числитель и знаменатель можно сократить на 6 и на 9. Полученное произведение равно целому числу.

Получили, что в результате сокращения в знаменателе остаётся 5. Значит число 18! не делится на 625 нацело.

Пример.      Вычислить:

 Сокращаем и получаем

Пример.

Сколько 6 - ых чисел можно составить, используя цифры 1, 3, 5, 7, 8 и 9, не повторяя их?

Решение задачи сводиться к нахождению числа перестановок из 6 элементов.

Применим формулу:

Сколько 6 - ых чисел можно составить, используя цифры 0, 3, 5, 7, 8 и 9, не повторяя их?

Переставляя 6 данных цифр, мы получим 720 различных вариантов. Но ведь число не может начинаться с 0. Тогда мы должны вычесть все случаи, когда 0 записан на первом месте. На первом месте у нас 0, а остальные 5 цифр могут располагаться в любом порядке и количество таких вариантов, равно числу перестановок из 5 элементов.

Найдём количество таких случаев:

Получим:

  IV.            Закрепление изученного материала

Решение упражнений из учебника №

     V.            Рефлексия

  VI.            Итог урока

Выставление оценок

VII.            Домашнее задание:

VIII.