План - конспект урока "Векторы в пространстве"

Ход урока 1 Организационный  этап Проверка  выполнения  домашнего задания Подготовка  обучающихся к  работе на основном  этапе I. II. III. Время (минут а) 2 3 мин 10 мин IV. Формирование  новых знаний и  способов  деятельности 20 мин 4 Приветствовать. Подготовится к  учебному  занятию. Ответить на  вопросы Показать д­е  задание. Подготовить  тетради и ручки. ресурсы 5 Алгебра и  начала  математическо го анализа.  Внимательно  слушать  консультацию.  Записывать  важные  информации. Интернет.  Википедия. Алгебра и  начала  математическо го анализа. ПЛАН­ КОНСПЕКТ УРОКА  47  «Векторы в пространстве» Действия преподавателя Действия Учебные обучающихся материалы и Приветствовать обучающихся, отметить отсутствующих. Проверить подготовленность обучающихся к учебному занятию. 3 5 мин Ответы на вопросы по домашнему заданию (решение примеров) Контроль усвоения материала. Интеграл. Цели урока:  Обучающая:  усвоение понятия  координат и векторов в пространстве,  владение приемами построения векторов на плоскости, производить действия над  векторами. Знание признаков и свойств параллельных и перпендикулярных прямых,  параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости;  Развивающие: ­ содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение  анализировать, синтезировать, сравнивать; Воспитывающая: воспитание дисциплины и норм поведения, творческого отношения к  изучаемому предмету; стимулировать активность учащихся, повышать мотивацию к  изучению математики. Тип урока:  комбинированный, включающий освоение новых  знаний. Мобилизирующий момент:  Слайд  Тема   «Векторы в пространстве». 1. Векторы в пространстве. 2. Векторы в плоскости.  3. Действия над векторами. Консультация   Определение 1. Вектор – направленный отрезок. Другими словами, вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов является  началом, а какой концом. На рисунках направление вектора обозначается стрелкой от начала к концу. Если длина  рассматриваемого отрезка равна нулю, то есть отрезок вырождается в точку, то эта  точка тоже может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым и  имеет произвольное направление. На рисунке 1.1 изображены ненулевые векторы   и   и нулевой вектор Нулевой вектор иногда обозначается символом  Определение 2.  Длиной (модулем) ненулевого вектора   называется длина  отрезка AB. Она обозначается как  Определение 3.  Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат  на одной прямой или на параллельных прямых. Поскольку нулевой вектор может иметь произвольное направление, то разумно считать  его коллинеарным любому ненулевому вектору.  Длина нулевого вектора равна нулю:  Определение 4.  Если два ненулевых вектора   и   коллинеарны, а  лучи AB и CD сонаправлены, то векторы   и   называются сонаправленными.  Этот факт обозначается так:   Если же эти лучи не являются  сонаправленными, то векторы   и   называются противонаправленными. Этот  факт обозначается так: Рисунок 1.2 На рисунке 1.2  Определение 5.  Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины  равны.       На рисунке 9.1.2   так как   и   а     Нетрудно доказать следующее. так как  Теорема 1.  От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и  притом только один. Сделайте это самостоятельно. Определение 6.  Два вектора называются противоположными, если их длины равны,  и они противоположно направлены (рис. 1.3). Рисунок 1.3. Определение 7.  Суммой двух векторов   и   называется новый вектор   который  обозначается   и получается следующим образом. Рисунок 1.4 Отложим от произвольной точки A вектор  , равный   Теперь от точки B отложим вектор   равный   Вектор   и называется суммой векторов   и     Это правило сложения векторов называется правилом  треугольника. Для сложения двух неколлинеарных векторов можно воспользоваться правилом  параллелограмма, известным из курса планиметрии (рис. 9.1.5). Рисунок 9.1.5 Для любых векторов     и   справедливы равенства:    (переместительный закон);  (сочетательный закон). Определение 9.8.  Разностью векторов   и   называется такой вектор   сумма  которого с вектором   равна вектору   Обозначается разность векторов  так:  (рис. 9.1.6).  где   – вектор, противоположный вектору    Рисунок 1.6 Теорема 2.  Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они  складываются. Доказательство этого утверждения следует из закона сложения векторов. Определение 9.  Произведением ненулевого вектора   на число k называется вектор    длина которого равна   сонаправлены, а  при k < 0 – противонаправлены.  Произведением любого числа на нулевой вектор  является по определению нулевой вектор.  причем при k > 0 векторы   и  Из этого определения следует, что векторы   и   коллинеарны. Кроме того, произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор. Для любых векторов     и любых чисел k и l справедливы равенства:     (сочетательный закон);  (первый распределительный закон);  (второй распределительный закон). Теорема 3. Признак коллинеарности векторов. Для коллинеарности вектора    ненулевому вектору   необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число  , λ что  Эта теорема доказывается аналогично, как в планиметрии. Следствие 3.1.  Для того, чтобы точка C лежала на прямой AB, необходимо и  достаточно, чтобы существовало такое число  Следствие 3.2.  Для параллельности прямых AM и BN необходимо и достаточно, чтобы существовало    λ , что V. VI. Первичная проверка понимания  изученного  материала Закрепление новых  знаний и способов  деятельности такое число  λ , что    5 мин Игра «Кто быстрее».. 10 мин Компланарные векторы: Определение 10.  Векторы называются компланарными,  если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости. Любые два вектора компланарны. Любые три вектора, среди которых есть два  коллинеарных, компланарны. Групповая  работа. Решить примеры вместе с  преподавателем. Записывать  важные  Алгебра и  начала  математическо го анализа. 10­ 11 Алимов информации. Москва 2014 Рисунок 2.1 На рисунке 2.1 векторы     и   компланарны, так как, если отложить от  точки C вектор   то все три вектора     и   окажутся  лежащими в одной плоскости. Векторы     и   не компланарны, так как  вектор   не лежит в плоскости ACD. Теорема 4. Теорема о разложении по базису в плоскости. Пусть векторы   и   не  коллинеарны, тогда для любого вектора  α β существует единственная пара чисел   и   лежащего в одной плоскости с  , такая, что    и    Эта теорема верна и для того случая, когда векторы  плоскости.    и   параллельны одной  Теорема 5.  Если векторы  плоскости, то равенство     и  , отложенные от одной точки, не лежат в одной верно только при x = y = z = 0. Эта теорема позволяет от одного векторного равенства переходить к системе числовых  равенств. Теорема 6. Теорема о разложении по базису в пространстве. Любой вектор можно  разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты  разложения определяются единственным образом.  10 мин Работа на доске. 5 мин Слайд «Векторы в пространстве» . 10 мин Задачи для самостоятельного решения 5 мин Метод «Вопрос ­ ответ»­ обучающийся­ преподаватель,  обучающийся­ обучающийся. 2 мин Задание на дом Задавать  вопросы. Записать  домашнее  задание Применение знаний  и способов  деятельности Обобщение и  систематизация  знаний Контроль и  самоконтроль  усвоения знаний и  способов  деятельности Коррекция знаний и  способов  деятельности Информация о  домашнем задании Подведение итогов  занятия и рефлексия 5 мин Дать качественную оценку работы всей группы и отдельных обучающихся. Рефлексия  «Знал… Узнал… Хочу знать…» VII. VIII. IX. X. XI. XII.