в работе представлен план-конспект открытого занятия по дисциплине "Прикладная математика". Комбинированный урок, включающий в себя ознакомление с новым материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного. В приложении - варианты проверочной работы для курсантов и технологическая карта открытого занятия.План-конспект открытого занятия по дисциплине «Прикладная математика» тема: «Матрицы. Определители»
Омский летнотехнический колледж гражданской авиации имени А.В. Ляпидевского
филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
«Ульяновский институт гражданской авиации имени Главного маршала авиации Б.П.
высшего образования
Бугаева»
(ОЛТК ГА – филиал ФГБОУ ВО УИ ГА)
Планконспект занятия
по дисциплине «Прикладная математика»
2 курс
Тема: «Матрицы. Определители»
Разработала:
Пищагина Елена СтаниславнаОмск 2018
Тема урока. Матрицы. Определители.
Дата проведения: 13 сентября 2018 г.
Тип занятия: Комбинированный урок
Вид занятия: Получение, систематизация и закрепление знаний
Цели занятия:
Обучающие:
- Формировать навыки выполнения операций над матрицами: сложение, вычитание,
умножение матрицы на число, произведение матриц;
- Формировать умения находить определители матриц.
Развивающие:
- Формирование умения пользоваться математическими инструментами,
- Формирование умения применять свои знания при решении математических задач по
данной теме;
- Углубление знаний, умений и навыков; развитие творческой деятельности:
интуиции, пространственного воображения, смекалки;
- Развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной
памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных
процессов.
Воспитательные:
- Повторить правила выполнения операций с матрицами;
- Познакомиться с понятиями минор элемента матрицы и алгебраическое дополнение;
- Сформулировать правило вычисления определителей любого порядка
Используемые технологии: Дифференцированного обучения, коммуникативного общения,
Междисциплинарные связи: Электротехника, теория электрических цепей, информатика,
вычислительная техника
развивающее обучение
Планируемые образовательные результаты.
Обучающийся знает:
- Понятие матрицы и ее элементы
- Основные виды матриц
- Понятие, минора и определителя матрицы. Виды определителей и их свойства
- Применение и значение матриц в практической деятельности
Умеет:
- Определять вид матрицы
- Выполнять основные действия с матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на
2
- Воспитание устойчивого интереса к математике,
- Воспитание математической культуры,
- Развитие самоорганизации обучающихся
Задачи:число, умножение матрицы на матрицу)
- Вычислять определитель матрицы, миноры и алгебраические дополнения
- Транспонировать матрицы
- Грамотно формулировать свои мысли по поставленному вопросу, анализировать, делать
выводы.
Основные термины, понятия: матрица, определитель матрицы, минор, алгебраическое
дополнение.
Оборудование: доска, мел.
План урока:
1) Организационный этап. (2 мин.)
2) Постановка цели и задач занятия. Мотивация учебной деятельности обучающихся.
(5 мин.)
3) Актуализация опорных знаний (10 мин)
4) Закрепление умений (15 мин)
5) Первичное усвоение новых знаний. (25 мин.)
6) Первичное закрепление и систематизация изученного материала (23 мин.)
5) Подведение итогов занятия (5 мин.)
6) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению. (3 мин.)
7) Рефлексия (2 мин.)
Ход урока:
1. Организационный этап.
Приветствие курсантов. Проверка готовности курсантов к занятию.
2. Постановка цели урока. Мотивация учебной деятельности обучающихся.
Цель занятия изучение теоретического материала и формирование практических навыков
при решении задач по теме: Матрицы. Операции с матрицами. Определитель.
Матричная алгебра широко применяется в различных отраслях знания – в математике,
физике, информатике, экономике, электронике. Например, матрицы используется для решения
систем алгебраических и дифференциальных уравнений, нахождения значений физических величин
в квантовой теории, шифрования сообщений в Интернете.
Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным
квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений.
При решении систем линейных уравнений используют такие методы как: Метод Гаусса,
Метод Крамера, Матричный метод. Данные методы связаны с понятием матрицы и определителя
матрицы.
33. Актуализация опорных знаний
Вопросы по теме предыдущего занятия:
1. Что называется прямоугольной матрицей?
2. Какая матрица называется квадратной?
3. Какую диагональ квадратной матрицы называют главной?
4. Какая матрица называется нулевой?
5.
Какая матрица называется единичной?
6. Какая матрица называется треугольной?
7. Какая матрица называется диагональной
8. Какие матрицы называются равными?
9. Что называется суммой двух матриц?
10. Перечислите свойства сложения матриц.
11. Как умножить матрицу на число?
12. Какие две матрицы можно перемножить?
13. Перечислите свойства умножения матриц.
14. Какая матрица называется транспонированной?
15. Какая матрица называется матрицастрока?
16. Какая матрица называется матрицастолбец?
17. Какое уравнение называется матричным?
18. Что такое след матрицы?
4. Закрепление умений
Пример 1. Определить размеры матриц
Решение. Матрица
имеет размеры
, а матрица
Пример 2. Вычислить след матрицы
А =
2
1
1
0
1
2
4
2
3
Решение: Чтобы вычислить след исходной матрицы, нужно сложить элементы на главной
диагонали:
Sp( A ) = 2 1 + 3 = 4
Ответ: След матрицы A равен 4
4Пример 3. Вычислить
A
1
1
2
4
3
3
А + В =
А – В =
1
1
1
1
2
4
2
4
3
3
3
3
+
0
1
–
0
1
B
0
1
1
3
5
3
.
5
3
5
3
=
3
1
1
2
2
0
=
1
0
8
1
6 7
.
,
1
3
1
3
Пример 4. Найти сумму матриц
,
Решение: Матрицы складывать нельзя.
Пример 5. Умножить матрицу на число 2.
Матрица
Число k=2.
Решение: Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент
матрицы A умножить на это число.
Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица:
5Ответ:
Пример 6. Транспонировать матрицу
.
Решение: Транспонирование матрицы А заключается в замене строк этой матрицы ее столбцами с
сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается через AT
Пример 7. Найти число строк и столбцов матрицы C, которая является произведением двух
матриц A и B следующих размерностей:
а) 2 Х 10 и 10 Х 5;
б) 10 Х 2 и 2 Х 5;
в) 4 Х 4 и 4 Х 10.
Решение: а) 2 Х 5;
б) 10 Х 5;
в) 4 Х 10.
Пример 8. Найти произведение матриц A и B, если:
.
Решение. Число строк в матрице A 2, число столбцов в матрице B 2. Следовательно, размерность
матрицы C = AB 2 X 2.
Вычисляем элементы матрицы C = AB.
6Найденное произведение матриц:
.
Пример 9. Найти произведение матриц A и B, если:
.
Решение. Число строк в матрице A 2, число столбцов в матрице B 1. Следовательно, размерность
матрицы C = AB 2 X 1.
Вычисляем элементы матрицы C = AB.
Произведение матриц запишется в виде матрицыстолбца:
.
Пример 10. Найти произведение матриц A и B, если:
.
Решение. Число строк в матрице A 3, число столбцов в матрице B 3. Следовательно, размерность
матрицы C = AB 3 X 3.
Вычисляем элементы матрицы C = AB.
7Найденное произведение матриц:
.
Пример 11. Найти произведение матриц A и B, если:
.
Решение. Число строк в матрице A 1, число столбцов в матрице B 1. Следовательно, размерность
матрицы C = AB 1 X 1.
Вычисляем элемент матрицы C = AB.
Произведение матриц является матрицей из одного элемента:
.
Пример 12. Дана матрица
. Найти A² и A³.
Решение:
5. Первичное усвоение новых знаний.
Определитель матрицы
С
каждой
число
называется определителем матрицы. Определитель вычисляется по особым правилам и
обозначается |A|, det A, ΔA.
связывают число.
матрицей
квадратной
Это
Число строк (столбцов) определителя называется его порядком.
8Определитель первого порядка матрицы
равен элементу a11: |A|=a11
Пример:
Не путать определитель первого порядка с модулем.
Вычисление определителя второго порядка
Дана
A
a
11
a
21
a
12
a
22
квадратная матрицы второго порядка.
Определителем второго порядка матрицы A называется число
A
a
11
a
21
a
12
a
22
a
a
11
22
a
21
a
12
Из произведения элементов главной диагонали вычитаем произведение элементов побочной
диагонали.
Пример.
Вычислить определитель второго порядка.
A
2
1
3
5
152
13
3
Вычисление определитель третьего порядка (метод треугольников)
Дана
A
a
11
a
a
21
31
a
12
a
a
22
32
a
13
a
a
23
33
квадратная матрицы третьего порядка
Определитель третьего порядка – Метод треугольников
Для начала перемножаем элементы главной диагонали и описываем два треугольника вокруг
диагонали следующим образом:
A
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
13
a
a
23
33
A
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
13
a
a
23
33
A
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
13
a
a
23
33
Элементы, стоящие на вершинах треугольника, перемножаем.
Затем ставим минус, перемножаем элементы побочной диагонали и описываем два
треугольника вокруг побочной диагонали:
9A
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
13
a
a
23
33
A
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
13
a
a
23
33
A
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
13
a
a
23
33
aA
a
11
a
33
a
12
a
23
a
31
a
21
a
32
a
13
22
a
a
22
a
13
a
21
a
a
12
33
a
32
a
23
31
11
a
Пример. Вычислить определитель третьего порядка методом треугольников.
10342
53
A
2
1
12
3
5
3
0
4
411
32
3
502
15
3
2
Определитель третьего порядка Правило Саррюса.
Пример: Найдем по упрощенной схеме определитель матрицы (4).
2
1
3
1
1
2
1
4
1
3)4(1)1(211)1(2
)11122)4(3)1()1((
4
.
!!! Все, что мы будем далее говорить для этой матрицы, справедливо и для квадратной матрицы
любого порядка. Определение определителя матрицы содержит два новых понятия. Оказывается,
для каждого элемента матрицы (а их 9) можно посчитать 2 числа, которые называются минором и
алгебраическим дополнением этого элемента.
Минором элемента матрицы
aij (обозначается Мij) называется значение определителя
матрицы, получающейся из данной матрицы вычеркиванием строки и столбца, на пересечении
которых стоит данный элемент (т.е. вычеркиванием iой строки и jго столбца).
Алгебраическим дополнением элемента матрицы
aij (обозначается Аij) называется число,
определяемое по формуле
(3) Аij = (–1)i+j Мij .
Поскольку (–1) в целой степени принимает всего два значения ( 1 – если показатель степени
есть четное число и (–1) – если нечетное), то алгебраическое дополнение элемента матрицы либо
10ничем не отличается от минора этого элемента (если сумма его нижних индексов – т.е. сумма
номеров строки и столбца – есть четное число) или отличается от минора только знаком (если
сумма нижних индексов нечетна).
Пример. Найти миноры и алгебраические дополнения всех элементов матрицы
(4) А =
2
1
3
1
1
2
1
4
1
.
Сначала ищем миноры всех элементов.
М11=
1
2
4
1
7
, М12=
1
3
4
1
13
, М13=
1
3
1
2
5
,
М21=
1
2
1
1
3
, М22=
2
3
1
1
5
, М23=
12
23
,
1
М31=
1
1
1
4
5
, М32=
2
1
1
4
7
, М33=
2
1
1
1
3
.
Учитывая формулу (3) и приведенные ниже пояснения для этой формулы, получаем
следующие алгебраические дополнения
А11=7, А12= –13, А13=5, А21= –3, А22=5, А23= –1, А31= –5, А32=7, А33= –3
Для матрицы (4) для каждой строки (и столбца) проделаем: составим сумму попарных
произведений ее (его) элементов на их алгебраические дополнения. Например, для второго столбца
:
(1
)13
725)1(
4
. Взяв любой другой столбец (или строку), получим то же самое
число (для данной матрицы (– 4) ). Это общее свойство всех квадратных матриц − результат таких
вычислений не зависит от того, какую строчку или столбец матрицы мы выбрали. Поэтому
корректно следующее определение.
Определителем квадратной матрицы (любого порядка!) называется число, равное сумме
попарных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические
дополнения.
Поэтому для матрицы (4) по определению: =
2
1
3
1
1
2
1
4
1
4
.
11
Для вычисления определителей матриц более высокого (чем третьего) порядка
упрощенной схемы нет, поэтому используется только метод, данный в определении: выбирается
строка или столбец матрицы и вычисляется сумма попарных произведений соответствующих
элементов матрицы на их алгебраические дополнения. При этом вычисление алгебраических
дополнений – самый трудоёмкий этап. Но поскольку строку (или столбец) можно выбирать
произвольно (результат от этого не зависит), то проще выбрать ту, среди элементов которой как
можно больше нулевых. При этом алгебраические дополнения нулевых элементов можно не
считать, так как при составлении упомянутой выше суммы попарных произведений
соответствующие слагаемые все равно обратятся в ноль.
: Вычислить определитель 3го порядка: =.
Пример 1
Решение
:
Вычислим определитель, применяя правило (2) и учитывая принятые обозначения:
=
=
+
+
–
–
–
,
или:
: Вычислить определитель 3го порядка: =.
Ответ: d = 100.
Пример 2
Решение
:
Вычислим определитель, применяя правило (2) и учитывая
обозначения:
+
+
–
–
=
=
=100.
принятые
, или:
=1.
–
Ответ: d = 1.
6. Первичное закрепление и систематизация изученного материала
I. Курсанты выходят к доске и с помощью преподавателя решают задания.
Пример 1: Вычислить определитель второго порядка.
A
02
51
0152
10
Пример 2: Вычислить определитель третьего порядка методом треугольника
A
7
5
4
07
3
1
2
20
2
0
1
8
17
1
03
4
225
5214
3
1
702
15
6
0
12Пример 3: Вычислить определитель разложением по элементам, какой либо строки или
столбца.
Воспользуемся свойствами определителя и обнулим все элементы, стоящие в первом
столбце кроме первого. Для этого: каждый элемент первой строки умножим на 2 и прибавим к ним
строки умножим на (5) и
соответствующий элемент второй строки; каждый элемент первой
прибавим к ним соответствующие элементы третьей строки.
A
2
1
12
3
5
42
53
3
0
4
I
2
II
5
I
1
0
0
2
5
7
3
6
19
III
1
A
11
0
A
21
A
1
0
31
11
1
5
7
6
19
95
II. Курсантам предлагается самостоятельно на оценку выполнить задания (по вариантам)
См. приложение 1.
7. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.
1. Выучить теоретический материал;
2. Вычислить определитель матрицы второго порядка
3. Вычислить определитель матрицы третьего порядка методом диагоналей или
треугольников
A
1
4
2
02
5
2
3
7
4. Вычислить определитель матрицы третьего порядка методом разложения
8. Задание ученикам по рефлексии их деятельности.
Итак, сегодня мы с вами продолжили изучать тему: «Матрица и определитель». Давайте
повторим основные понятия данной темы: матрица, виды матриц, определитель, минор,
алгебраическое дополнение. Какие действия мы можем выполнять с матрицей?( сложение,
вычитание, умножение на число, перемножения матриц).
13Также мы научились: вычислять определитель второго порядка, третьего порядка методом
треугольников, методом диагоналей, применять метод вычисления определителя с помощью
разложения по элементам строки и столбца.
Список использованной литературы
1. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика: Учебное пособие для среднего
профессионального образования. – РостовнаДону: Феникс, 2014.
2. Дадаян А.А. Математика: Учебник для среднего профессионального образования. – М.: Форум,
2008.
3.
Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учебное пособие для техникумов. М.:
Высшая школа, 1991.
4. Дадаян А.А. Сборник задач по математике: Учебное пособие. – М.: Форум, 2008.
Варианты заданий для самостоятельной работы
Приложение 1.
141 вариант
2 вариант
№1. Вычислить определитель по первой строке
№1. Вычислить определитель по второй строке
4
2
7
1
63
5
24
1
4
5
3
1
2
6
7
8
№2. Вычислить определитель по правилу
треугольника (диагоналей)
№2. Вычислить определитель по правилу
треугольника (диагоналей)
6
2
5
68
4
7
93
3
2
9
6
5
4
9
5
8
3 вариант
4 вариант
№1. Вычислить определитель по третьему
столбцу
№1. Вычислить определитель по первому столбцу
9
3
6
5
1
4
1
5
2
3
2
6
61
5
3
26
№2. Вычислить определитель по правилу
треугольника (диагоналей)
№2. Вычислить определитель по правилу
треугольника (диагоналей)
5
6
8
3
6
9
9
6
1
9
5
9
7
8
6
9
6
4
155 вариант
6 вариант
№1. Вычислить определитель по правилу
треугольника (диагоналей)
№1. Вычислить определитель по правилу
треугольника (диагоналей)
1
7
5
3
2
7
9
6
1
6
2
5
62
4
1
7
9
№2. Вычислить определитель по второй строке
№2. Вычислить определитель по второму
столбцу
6
9
6
8
4
7
2
7
5
8
6
7
7
9
8
11
5
7
7 вариант
8 вариант
№1. Вычислить определитель по третьей строке
№1. Вычислить определитель по третьему
столбцу
5
4
2
3
3
7
9
6
1
1
8
7
3
6
7
9
4
5
№2. Вычислить определитель по правилу
треугольника (диагоналей)
№2. Вычислить определитель по правилу
треугольника (диагоналей)
8
7
4
8
6
9
9
3
6
9
5
2
2
8
7
9
5
6
169 вариант
10 вариант
№1. Вычислить определитель по первой строке
№1. Вычислить определитель по второму
столбцу
3
2
6
61
3
5
26
1
7
5
3
2
7
9
6
1
№2. Вычислить определитель по правилу
треугольника (диагоналей)
№2. Вычислить определитель по правилу
треугольника (диагоналей)
6
2
5
62
1
4
7
9
9
3
6
5
1
4
1
5
2
17Самоанализ урока
1. Внешние связи урока.
Занятие проводился в группе 202 первого курса очного отделения специальности 11.02.06
«Техническая эксплуатация транспортного радиоэлектронного оборудования».
Данный урок пятый в изучаемой теме «Матрицы и определители» в соответствии с
тематическим планированием. В дальнейшем полученные знания будут применяться в следующих
темах раздела «Элементы линейной алгебры» (обратная матрица, решение СЛУ различными
методами).
2. Характеристика единой цели урока с опорой на характеристику группы.
Цель урока: отработать теоретический материал по теме: Матрицы. Операции с матрицами.
Определитель. Сформировать навыки выполнения операций над матрицами, вычисления
определителя матрицы.
3. Характеристика замысла урока. Характеристика этапов занятия.
1. Последовательность и распределение этапов занятия по времени.
I. Общая организация занятия
1) Организационный этап. (2 мин.)
2) Постановка цели и задач занятия. Мотивация учебной деятельности
обучающихся. (5 мин.)
3) Актуализация опорных знаний (10 мин)
4) Закрепление умений (15 мин)
5) Первичное усвоение новых знаний. (25 мин.)
6) Первичное закрепление и систематизация изученного материала (23 мин.)
5) Подведение итогов занятия (5 мин.)
6) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению. (3 мин.)
7) Рефлексия (2 мин.)
2. Организация познавательной деятельности на занятии (сочетание
фронтальной,
групповой, индивидуальной работы).
Курсанты выполняли практические задания у доски, с обсуждением предлагаемых методов
решения с группой, под руководством преподавателя. Так же курсантам предлагалось
самостоятельно выполнить ряд заданий.
3. Соблюдение охранительного режима.
Перед проведением занятий учебная аудитория была хорошо проветрена. На протяжении
всего занятия происходила смена видов деятельности курсантов.
184. Подведение итога занятия.
В результате проведения занятия были выполнены поставленные цели. Активность группы
при выполнении заданий у доски и самостоятельных заданий говорит о хорошем уровне
усвоения материала и наличия интереса к теме урока.
1. Научная, воспитательная и развивающая направленность урока.
II. Содержание урока
Обучающие:
- Формировать навыки выполнения операций над матрицами: сложение, вычитание,
умножение матрицы на число, произведение матриц;
- Формировать умения находить определители матриц.
Развивающие:
- Формирование умения пользоваться математическими инструментами,
- Формирование умения применять свои знания при решении математических задач по
данной теме;
- Углубление знаний, умений и навыков; развитие творческой деятельности:
интуиции, пространственного воображения, смекалки;
- Развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной
памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных
процессов.
Воспитательные:
- Воспитание устойчивого интереса к математике,
- Воспитание математической культуры,
- Развитие самоорганизации обучающихся
2. Уровень знаний, умений, навыков обучающихся.
Курсанты понимают содержание учебного материала, применяют полученные знания для
решения практических задач.
III. Методическая сторона занятия и его оборудование
1. Качество методов и приемов обучения, их адекватность задачам занятия и уровню
развития познавательных возможностей курсантов.
При изложении и закреплении материала использовались Объяснительноиллюстративный и
репродуктивный методы обучения.
Курсантам был выдан теоретический материал под диктовку. На доске были рассмотрены
примеры решения задач преподавателем и студентами. Для закрепления материала курсантам было
предложено выполнить задания самостоятельно, на оценку. На этапе рефлексии курсанты подвели
итоги занятия.
2. Методы опроса. Правильность ответа обучающихся.
19Занятие подразумевало работу курсантов у доски под наблюдением преподавателя. Была
проведена фронтальная работа. Курсанты самостоятельно решали практические задания.
4. Функциональный анализ урока.
Все структурные элементы занятия были выдержаны. Прослеживается взаимосвязь этапов
заняти. Структура занятия подчинена поставленным целям. На этапе «Первичное усвоение новых
знаний» курсанты познакомились с основным теоретическим материалом. На этапе первичной
проверки понимания курсанты развивали свои умения анализировать и логически мыслить. При
первичном закреплении курсанты показали свое умение применять теоретические знания к
решению практических задач. На этапе рефлексии курсанты подводили итоги занятия.
5. Оценка конечного результата занятия.
Цели занятия были реализованы. Курсанты освоили новую тему и сформировали навыки
вычислений в рамках изученного материала.
20
План конспект урока (Восстановлен).doc
