«Площадь поверхности конуса

Тема урока: Площадь поверхности конуса. Тип урока: нестандартный. Форма урока: Урок-семинар. Цели урока: Образовательная: Вывести формулы площадей боковой поверхности и полной поверхности конуса, научить решать задачи по данной теме. Развивающая:развивать логическое мышление, память, внимание, способность к оценочным действиям, обобщению, анализу, гибкости и быстрому переключению внимания, формирование умения чётко и ясно излагать свои мысли. Воспитательная: воспитывать нравственные качества личности, аккуратность, добросовестное отношения к работе, воспитание у учащихся умения работать в коллективе, дисциплинированности на уроке, аккуратности и точности при выполнении чертежей и решении задач, способствовать формированию навыков самостоятельной работы. Методы обучения:Репродуктивный, эвристический, объяснительно – иллюстративный, метод диалога. Оборудование: набор чертежных инструментов, компьютер, мультимедиа проектор, презентация «Площадь поверхности конуса». Литература: 1. Учебник Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э. Г. Поздняк, И. И. Юдина Геометрия10-11. 2. Д. Ф. Айвазян, Л.А. Айвазян Поурочные планы. Геометрия 11 класс. Часть I. По учебнику Л. С. Атанасян и др. 3. www.1_september.ru План урока: 1. Организационный момент. (1 минута) 2. Актуализация знаний (5 минут) 3. Изучение нового материала. (10-11 минут) 4. Закрепление нового материала. (14 - 17 минут) 5. Подведение итогов. (2 минуты) 6. Домашнее задание. (1 минута) Ход урока: 1. Организационный момент. Приветствие учеников, проверка посещаемости, проверка готовности классной комнаты и учащихся к уроку. 2. Актуализация знаний. Учитель предлагает ответить на вопросы (показ слайдов №2-6): 1. Какая фигура изображена на рисунке? (Конус) (см. слайд №2) 2. Дайте определение конуса. ( Конус – это тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L) 3. Назовите элементы конуса, представленного на рисунке. (Круг с границей L – основание конуса. Точка Р - вершина конуса. Отрезки РВ, РА, РС – образующие конуса. Прямая ОР – ось конуса. Отрезок оси, заключенный между вершиной и основанием ОР – высотаконуса. Отрезки ОВ, ОС и ОА – радиусы Основания.)(см. слайд №2) 4. Как можно получить конус? (см. слайд №3) (Конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.) 5. Какое сечение конуса представлено на рисунке? (см. слайд №4) (Осевое сечение и сечение плоскостью) 3. Изучение нового материала. Ученик: Выведем формулу площади поверхности конуса. Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра можно развернуть на плоскость. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Радиус этого кругового сектора равен образующей конуса. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. (см. слайд №5). За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через образующую lи радиус основания r. Учитель:Чему равна площадь кругового сектора? Ученик: Площадь кругового сектора равна , где α – градусная мера дуги АВА´. (см. слайд №6). Ученик: Тогда площадь боковой поверхности конуса равна: (см. слайд №7). Запись в тетрадях. , Ученик: Выразим α через l и r. Длина дугикругового сектора с градусной мерой α равна . С другой стороны, мы выяснили, что длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т.е. равна 2πr. (см. слайд №8). Учитель:Что можно сделать? Ученик: Можно приравнять формулы: Запись в тетрадях. Ученик: Выразим отсюда α. Запись в тетрадях. Ученик: Получим: (см. слайд №9). Запись в тетрадях и на доске. . Ученик: Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Ученик:Площадь полной поверхности конуса есть сумма площадей боковой поверхности и основания. (см. слайд №10). Ученик: Тогда получим (см. слайд №11) Запись в тетрадях. Запись в тетрадях и на доске. Ученики задают возникшие вопросы. 4. Закрепление изученного материала. Ученики представляют классу решение задач № 559, 560 (а), 562, которые были подготовлены заранее дома.Остальные слушают внимательно, записывают, задают вопросы, предлагают свои варианты решения. (см. слайд №12) №559. Дано: Конус, АР=l – образующая, АО=r – радиус, АВА'=α – дуга сектора. ОАР=60°. Найти: α. Решение. Объяснения ученика. 1) ; 1) Градусная мера дуги сектора, являющегося разверткой боковой поверхности конуса вычислим по формуле . 2)ΔАОР – прямоугольный, т.к. ОР – высота конуса. ОРА=30°. r= l (В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы). 2) Для того, чтобы найти α, необходимо выразить r через l. Для этого рассмотрим треугольник ΔАОР. ΔАОР – прямоугольный, т.к.ОР – высота конуса. Тогда угол ОРА= =90°-60°=30°. Получили, что катет равный радиусу лежит против угла в 30°. Тогда по свойству прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы, получим r= l . Подставим в формулу 1), 3) . получим α= . Ответ: . №560 (а) Дано: Конус,ΔРАВ – осевое сечение, АВА'=α – дуга сектора, α= , АР=l – образующая, АО=r – радиус, АРВ=β. Найти: β. Решение. Объяснения ученика. 1) Т.к.ΔРАВ - равнобедренный и ОР высота и биссе-ктриса, то АРО= . 1) Мы не можем найти угол β, но можем найти синус угла как отношение из прямоугольного треугольника ΔОАР. АРО= , т.к. треугольник ΔАРВ равнобедренный и ОР высота и биссектриса этого треугольника. Отношение можно найти из формулы . Поэтому запишем 1) Т.к.ΔРАВ - равнобедренный и ОР высота и биссектриса, то АРО= . 2) Т.к. ΔОАР – прямоугольный, то sin = 2) Т.к. ΔОАР – прямоугольный, то синус угла равен отношению противолежащего катета равного радиусу к гипотенузе равной образующей. 3) ; 3) Найдем отношение из формулы . 4) sin = , =30°, β=60°. 4) Т.к. отношение = , то sin = , значит =30°, тогда β=60°. Ответ: . №562 Дано: Конус, РО – ось, АР=l – образующая, l=6,5 см, АРО=45°. Найти: . Решение. Объяснения ученика. 1) . 1) Вычислим площадь боковой поверхности конуса по формуле . l нам известно, необходимо найти r. 2) Т.к. ΔОАР – прямоугольный, то РАО=90°- 45°=45°. ΔОАР – равнобедренный ОА=ОР=r 2) Найдем r из прямоугольного треугольника ΔОАР. Т.к. РАО=90°-45°= =45°, то треугольник ΔОАР равнобедренный. Тогда ОА=ОР=r. По теореме Пифагора найдем r. 3) 3) Вычислим площадь боковой поверхности конуса. Ответ: . Задача. Найдите угол между образующей конуса и его высотой, если образующая равна 8 см, а площадь полной поверхности конуса - 48π см² Дано: Конус, РО – ось, АР=l – образующая, l=8 см, =48π см² Найти:. ОРА. Решение. Объяснения ученика. 1) ; Т.к. r>0, то r=4 (см) 1) Угол ОРА можно найти из соотношения сторон прямоугольного треугольника ΔОАР. l нам известно, найдем r из формулы для нахождения площади полной поверхности конуса. Получили квадратное уравнение, при решении которого получаем отрицательный корень. Т.к. значение r - положительные числа, то r=4 см. 2) В ΔОАР = , по свойству: катет равный половине гипотенузы лежит против угла в 30°, ОРА=30°. 2) Получили, что в треугольнике ΔОАР катет равенполовине гипотенузы, значит по свойству: катет равный половине гипотенузы лежит против угла в 30°, ОРА=30° Ответ: 30°. 5. Подведение итогов. Учитель: Сегодня на уроке вы изучили тему «Площадь поверхности конуса». Чему равна площадь боковой поверхности конуса? (Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую ) Чему равна площадь полной поверхности конуса? (Площадь полной поверхности конуса есть сумма площадей боковой поверхности и основания. ) (см. слайд №13) Запишите домашнее задание. 6. Домашнее задание. П. 62 стр.136, № 561, 563. (см. слайд №14)Тема урока: Площадь поверхности конуса. Тип урока: нестандартный. Форма урока: Урок-семинар. Цели урока: Образовательная: Вывести формулы площадей боковой поверхности и полной поверхности конуса, научить решать задачи по данной теме. Развивающая:развивать логическое мышление, память, внимание, способность к оценочным действиям, обобщению, анализу, гибкости и быстрому переключению внимания, формирование умения чётко и ясно излагать свои мысли. Воспитательная: воспитывать нравственные качества личности, аккуратность, добросовестное отношения к работе, воспитание у учащихся умения работать в коллективе, дисциплинированности на уроке, аккуратности и точности при выполнении чертежей и решении задач, способствовать формированию навыков самостоятельной работы. Методы обучения:Репродуктивный, эвристический, объяснительно – иллюстративный, метод диалога. Оборудование: набор чертежных инструментов, компьютер, мультимедиа проектор, презентация «Площадь поверхности конуса». Литература: 1. Учебник Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э. Г. Поздняк, И. И. Юдина Геометрия10-11. 2. Д. Ф. Айвазян, Л.А. Айвазян Поурочные планы. Геометрия 11 класс. Часть I. По учебнику Л. С. Атанасян и др. 3. www.1_september.ru План урока: 1. Организационный момент. (1 минута) 2. Актуализация знаний (5 минут) 3. Изучение нового материала. (10-11 минут) 4. Закрепление нового материала. (14 - 17 минут) 5. Подведение итогов. (2 минуты) 6. Домашнее задание. (1 минута) Ход урока: 1. Организационный момент. Приветствие учеников, проверка посещаемости, проверка готовности классной комнаты и учащихся к уроку. 2. Актуализация знаний. Учитель предлагает ответить на вопросы (показ слайдов №2-6): 1. Какая фигура изображена на рисунке? (Конус) (см. слайд №2) 2. Дайте определение конуса. ( Конус – это тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L) 3. Назовите элементы конуса, представленного на рисунке. (Круг с границей L – основание конуса. Точка Р - вершина конуса. Отрезки РВ, РА, РС – образующие конуса. Прямая ОР – ось конуса. Отрезок оси, заключенный между вершиной и основанием ОР – высотаконуса. Отрезки ОВ, ОС и ОА – радиусы Основания.)(см. слайд №2) 4. Как можно получить конус? (см. слайд №3) (Конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.) 5. Какое сечение конуса представлено на рисунке? (см. слайд №4) (Осевое сечение и сечение плоскостью) 3. Изучение нового материала. Ученик: Выведем формулу площади поверхности конуса. Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра можно развернуть на плоскость. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Радиус этого кругового сектора равен образующей конуса. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. (см. слайд №5). За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через образующую lи радиус основания r. Учитель:Чему равна площадь кругового сектора? Ученик: Площадь кругового сектора равна , где α – градусная мера дуги АВА´. (см. слайд №6). Ученик: Тогда площадь боковой поверхности конуса равна: (см. слайд №7). Запись в тетрадях. , Ученик: Выразим α через l и r. Длина дугикругового сектора с градусной мерой α равна . С другой стороны, мы выяснили, что длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т.е. равна 2πr. (см. слайд №8). Учитель:Что можно сделать? Ученик: Можно приравнять формулы: Запись в тетрадях. Ученик: Выразим отсюда α. Запись в тетрадях. Ученик: Получим: (см. слайд №9). Запись в тетрадях и на доске. . Ученик: Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Ученик:Площадь полной поверхности конуса есть сумма площадей боковой поверхности и основания. (см. слайд №10). Ученик: Тогда получим (см. слайд №11) Запись в тетрадях. Запись в тетрадях и на доске. Ученики задают возникшие вопросы. 4. Закрепление изученного материала. Ученики представляют классу решение задач № 559, 560 (а), 562, которые были подготовлены заранее дома.Остальные слушают внимательно, записывают, задают вопросы, предлагают свои варианты решения. (см. слайд №12) №559. Дано: Конус, АР=l – образующая, АО=r – радиус, АВА'=α – дуга сектора. ОАР=60°. Найти: α. Решение. Объяснения ученика. 1) ; 1) Градусная мера дуги сектора, являющегося разверткой боковой поверхности конуса вычислим по формуле . 2)ΔАОР – прямоугольный, т.к. ОР – высота конуса. ОРА=30°. r= l (В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы). 2) Для того, чтобы найти α, необходимо выразить r через l. Для этого рассмотрим треугольник ΔАОР. ΔАОР – прямоугольный, т.к.ОР – высота конуса. Тогда угол ОРА= =90°-60°=30°. Получили, что катет равный радиусу лежит против угла в 30°. Тогда по свойству прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы, получим r= l . Подставим в формулу 1), 3) . получим α= . Ответ: . №560 (а) Дано: Конус,ΔРАВ – осевое сечение, АВА'=α – дуга сектора, α= , АР=l – образующая, АО=r – радиус, АРВ=β. Найти: β. Решение. Объяснения ученика. 1) Т.к.ΔРАВ - равнобедренный и ОР высота и биссе-ктриса, то АРО= . 1) Мы не можем найти угол β, но можем найти синус угла как отношение из прямоугольного треугольника ΔОАР. АРО= , т.к. треугольник ΔАРВ равнобедренный и ОР высота и биссектриса этого треугольника. Отношение можно найти из формулы . Поэтому запишем 1) Т.к.ΔРАВ - равнобедренный и ОР высота и биссектриса, то АРО= . 2) Т.к. ΔОАР – прямоугольный, то sin = 2) Т.к. ΔОАР – прямоугольный, то синус угла равен отношению противолежащего катета равного радиусу к гипотенузе равной образующей. 3) ; 3) Найдем отношение из формулы . 4) sin = , =30°, β=60°. 4) Т.к. отношение = , то sin = , значит =30°, тогда β=60°. Ответ: . №562 Дано: Конус, РО – ось, АР=l – образующая, l=6,5 см, АРО=45°. Найти: . Решение. Объяснения ученика. 1) . 1) Вычислим площадь боковой поверхности конуса по формуле . l нам известно, необходимо найти r. 2) Т.к. ΔОАР – прямоугольный, то РАО=90°- 45°=45°. ΔОАР – равнобедренный ОА=ОР=r 2) Найдем r из прямоугольного треугольника ΔОАР. Т.к. РАО=90°-45°= =45°, то треугольник ΔОАР равнобедренный. Тогда ОА=ОР=r. По теореме Пифагора найдем r. 3) 3) Вычислим площадь боковой поверхности конуса. Ответ: . Задача. Найдите угол между образующей конуса и его высотой, если образующая равна 8 см, а площадь полной поверхности конуса - 48π см² Дано: Конус, РО – ось, АР=l – образующая, l=8 см, =48π см² Найти:. ОРА. Решение. Объяснения ученика. 1) ; Т.к. r>0, то r=4 (см) 1) Угол ОРА можно найти из соотношения сторон прямоугольного треугольника ΔОАР. l нам известно, найдем r из формулы для нахождения площади полной поверхности конуса. Получили квадратное уравнение, при решении которого получаем отрицательный корень. Т.к. значение r - положительные числа, то r=4 см. 2) В ΔОАР = , по свойству: катет равный половине гипотенузы лежит против угла в 30°, ОРА=30°. 2) Получили, что в треугольнике ΔОАР катет равенполовине гипотенузы, значит по свойству: катет равный половине гипотенузы лежит против угла в 30°, ОРА=30° Ответ: 30°. 5. Подведение итогов. Учитель: Сегодня на уроке вы изучили тему «Площадь поверхности конуса». Чему равна площадь боковой поверхности конуса? (Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую ) Чему равна площадь полной поверхности конуса? (Площадь полной поверхности конуса есть сумма площадей боковой поверхности и основания. ) (см. слайд №13) Запишите домашнее задание. 6. Домашнее задание. П. 62 стр.136, № 561, 563. (см. слайд №14)