Подготовка к олимпиадам "Трапеция"

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (средняя линия) параллелен основаниям и равен их полусумме        .

2. Если в трапеции провести прямую параллельную основаниям трапеции и делящую одну из боковых сторон в отношении m:n, то отрезок этой прямой, заключенной между боковыми сторонами трапеции равен , где a и b – основания.

3. Если через точку пересечения диагоналей трапеции провести прямую параллельную основаниям трапеции, то отрезок этой прямой, заключенный между боковыми сторонами трапеции равен , где a и b – основания.

4. Если в трапеции провести прямую параллельную основаниям и, не проходящую через точку пересечения диагоналей, то отрезки этой прямой, прилегающие к боковым сторонам трапеции, равны между собой.

5. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности оснований .

6. Если в трапеции провести прямую, параллельную основаниям и делящую трапецию на две равновеликие части (трапеции), то отрезок прямой, заключенный между боковыми сторонами равен , где a и b – основания.

7. Если в трапеции провести прямую параллельную основаниям так, чтобы отрезок, заключенный между боковыми сторонами трапеции делился диагоналями на три равные части, то длина этого отрезка равна   или .

8.Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, То суммы квадратов противоположных сторон равны.

a² + c² = b² + d²

8. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на части, большая из которых равна средней линии , а меньшая полуразности оснований, т.е. .

9. Если диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, то длина высоты равна средней линии, а площадь равна квадрату высоты.

AH=KL, где KL=;

            S=AH²

10. Если в равнобокую трапецию можно вписать окружность, то высота трапеции равна среднему геометрическому ее оснований.

                              AH=

11. Если в трапеции провести диагонали, то площади треугольников, прилегающих к боковым сторонам, равны.

                        S₁ = S₂.

12. Если в трапеции провести диагонали и обозначить площади треугольников прилегающих к основаниям S₁ и S₂, то площадь трапеции равна:

13.   ABCD – произвольная трапеция

BC=b, AD=a, BC=DE. Доказать, что S_ABCD=S_ACE

Доказательство:

BCED – параллелограмм,

S_mp=S_ACE

14.  Доказать, что в трапеции ABCD, где

              ,

               верно:

Доказательство:

15.  Доказать, что

Доказательство:

 1)

 2)

 3)

 4)

5)

 6)