Поиск корней нелинейных уравнений. Интерационные методы. Метод Ньютона. Отделение корней. Комплексные корни

Поиск корней нелинейных уравнений. Интерационные методы. Метод Ньютона. Отделение корней. Комплексные корни

Уравнением называется равенство функций другой функции или числом F(x)=f(x); f(x)=0.

Уравнения:

1) алгебраические

2) трансцендентные

В алгебраических уравнениях содержатся только алгебраические функции (рациональные и иррациональные), они могут быть приведены к каноническому виду, то есть уравнение в «n» степени.

Трансцендентные уравнения содержат хотя бы одну неалгебраическую функцию (логарифмическую, показательную, тригонометрическую).

Численное решение уравнений сводятся к выполнению арифметических операций над коэффициентами уравнения и значениями, входящих в него функций, и позволяет найти решение уравнений с любой наперед заданной точностью. В частном решении уравнения сводятся задачи математики и её приложения.

Численные решения алгебраических уравнений разбиваются на следующие этапы:

1) выделение красных корней, сводящих задачу к решению уравнения с простыми корнями;

2) определение границ, между которыми могут лежать корни уравнений;

3) разделение корней, то есть указание промежутков, каждый из которых содержит не более одного простого корня;

4) грубые определения приближенного значения корня, выполняемые графически или иным способом;

5) вычисление корня с заданной точностью.

Наиболее распространенными методами являются метод последовательных приближений, метод Ньютона, разложение в ряды.

Интерационные методы

Метод Ньютона (метод касательных) – это интерационный численный метод нахождения корня заданной функции.

Поиск решения осуществляется путем построения последовательных приближений и основан на принципах простой интерации. Метод обладает квадратичной сходимостью.

В целях уменьшения числа обращений к значениям производной функции применяют метод одной касательной.

Если отрезок, на котором предполагается наличие корня х и выбрано начальное приближение х₀, достаточно мал, а производная  непрерывна, то значение не сильно будет отличаться от значения . Пройдет горизонтально, пересекая прямую у=х, что в свою очередь, обеспечит быструю сходимость при приближении к корню.