Повторение изученного в 4-м классе

Математика, 4­й класс   Урок 130–136. Тема: Повторение изученного в 4­м классе             Материалы для повторения изученного в 4­м классе Нестандартные и занимательные задачи 1.  Так как высказывание Олега ложное, то сразу ясно, что теннисом занимается он. Плавание и бокс, таким образом, остаются для Кирилла и Никиты. Но раз высказывание Кирилла, что плаванием занимается Никита, ложное, то плаванием занимается Кирилл, а значит, Никита занимается боксом. Ответ: Олег занимается теннисом, Кирилл – плаванием, Никита – боксом. 2. Составим таблицу возможностей, расставив знаки «+» или «–»: в соответствии с условием – с буквой «у» в скобках, после первого логического шага – с единицей в скобках, после второго – с двойкой в скобках, и т.д.: Ответ: в миске лежит смородина. Замечание.  Вопрос в задаче поставлен так, что она оказалась решённой уже после первого шага. Рассуждения можно продолжить и выяснить, где лежат остальные ягоды.  © ООО «Баласс», 2014 13. Запишем решение в виде таблицы, рассмотрев два возможных случая: Из таблицы видно, что условия задачи выполняются только для второй строки, т.е. черноволосый ребёнок – девочка, а рыжий ребёнок – мальчик. Ответ: черноволосый ребёнок – девочка, а рыжий ребёнок – мальчик. 4. После каждого распила количество кусков древесины (брёвен или поленьев) увеличивается на единицу. Распилов было 43, значит, количество кусков древесины увеличилось на 43. А раз их стало 61, то вначале было 61 – 43 = 18. Ответ: 18 брёвен. 5. Прежде всего, отметим, что при решении этой задачи среди ребят наверняка возникнут разногласия и споры по поводу того, могут ли начинаться велосипедные номера с нуля или не могут. Сторонники и одной, и другой точки зрения будут приводить разные аргументы в свою пользу. Вполне возможно, что возникнут и претензии к авторам, почему они не написали   об   этом   в   условии.   Так   вот,   АВТОРЫ   НЕ   СДЕЛАЛИ   ЭТОГО   СПЕЦИАЛЬНО!   Жизненные   задачи   тем   и отличаются от учебных, что в них могут быть неопределённости, возможности трактовать ситуацию по­разному. Так что пусть ребята подискутируют, поупражняются в защите своей точки зрения. В какой­то момент им станет ясно, что придётся решать две задачи: для случая, когда могут, и для случая, когда не могут.  © ООО «Баласс», 2014 2Если велосипедные номера не могут начинаться с нуля, то на первом месте может стоять любая из трёх цифр 1, 2, 3, а на каждом из остальных мест – любая из четырёх цифр 0, 1, 2, 3. Таким образом, по правилу  умножения количество различных номеров равно 3 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 48, и их не хватит для пятидесяти велосипедов. Если же велосипедные номера могут начинаться с нуля, то на любом из четырёх мест может стоять любая из четырёх цифр 0, 1, 2, 3. Таким образом, по правилу умножения количество различных номеров равно 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64, и их хватит для пятидесяти велосипедов. Ответ: если велосипедные номера не могут начинаться с нуля, то не хватит, а если могут начинаться с нуля, то хватит. 6. Левую фигуру можно, т.к. в ней имеются ровно 2 нечётные вершины (самая левая и самая правая). Из одной из них начинаем обход, а в другой заканчиваем. Правую фигуру нельзя, т.к. в ней имеются 4 нечётные вершины. 7. Положим на каждую чашку весов по 27 монет и 26 монет оставим на столе. Если одна из чашек окажется более лёгкой, чем другая, то фальшивая монета лежит на более лёгкой чашке. Если весы окажутся в равновесии, то фальшивая монета среди 26 монет, лежащих на столе. Таким образом, за три оставшиеся взвешивания нужно определить фальшивую монету среди   27   или   26.   Как   это   сделать,   рассмотрено   при   решении   задания   8   из   урока   18   настоящих   методических рекомендаций. 8. Покажем возможный алгоритм переливания с помощью таблицы. Основная идея этого алгоритма заключается в том, что если удастся получить 1 л воды в одной из двух больших бочек, то долив туда 5 л из 5­литровой бочки, получим требуемые 6 л.  © ООО «Баласс», 2014 3Замечание. В приведённом алгоритме удалось достичь желаемого за 10 переливаний. Хорошо, чтобы ребята поискали другие решения, основанные на идеях, отличающихся от приведённой выше. Можно устроить соревнование, чей алгоритм будет   самым   кратким.   Очень   полезно   поработать   с   переливаниями   наглядно,   например,   взяв   12   мелких   предметов (фишек, шашек, палочек и т.д.), каждый из которых соответствует 1 л воды, и перекладывать их на трёх полях (бочках). Можно   нарисовать   на   тетрадном   листе   три   бочки   таких   размеров,   чтобы   в   них   помещалось   как   раз   12,   8   и   5 предметов­«литров». 9. Обозначим индейцев И­1, И­2 и И­3, а следопытов – С­1, С­2 и С­3, причём грести умеют И­1 и С­1. Одна из возможных схем переправы изображена ниже:  © ООО «Баласс», 2014 412. Изобразим условно каждую карточку точкой, возле которой написано соответствующее число. Каждой паре карточек тогда будет соответствовать отрезок, соединяющий точки, образующие данную пару (см. рис. а). Таких пар имеется 6, значит,   количество   всех   возможных   результатов   нашего   случайного   эксперимента   равно   6.   Поскольку   карточки одинаковые на ощупь и мы вынимаем две карточки наугад, то все эти 6 результатов равновозможны.  © ООО «Баласс», 2014 5а)   Поскольку   имеется   только   один   отрезок,   соединяющий   точки,   соответствующие   чётным   числам,   –   рис.  б),   то количество результатов, благоприятных событию А, равно 1. Значит, вероятность события А равна 1/6. б)   Поскольку   имеется   только   один   отрезок,   соединяющий   точки,   соответствующие   нечётным   числам,   –   рис.  в),   то количество результатов, благоприятных событию Б, равно 1. Значит, вероятность события Б равна 1/6. в) Поскольку имеется четыре отрезка, соединяющих точки, из которых одна соответствует чётному числу, а другая – нечётному, – рис. г), то количество результатов, благоприятных событию В, равно 4. Значит, вероятность события В равна 4/6. г) Сумма чисел на вынутых карточках может быть чётной только для двух возможных результатов рассматриваемого случайного эксперимента. В этом можно убедиться либо непосредственно, рассмотрев все 6 возможных результатов, либо таким рассуждением: сумма двух чисел чётная либо если оба слагаемые чётные, либо если оба нечётные, а эти ситуации  © ООО «Баласс», 2014 6рассмотрены в а) и б). Таким образом, количество результатов, благоприятных событию Г, равно 2. Значит, вероятность события Г равна 2/6. д)   Сумма   чисел   на   вынутых   карточках   может   быть   нечётной   только   для   четырёх   возможных   результатов рассматриваемого   случайного   эксперимента.   В   этом   можно   убедиться   либо   непосредственно,   рассмотрев   все   6 возможных результатов, либо таким рассуждением: сумма двух чисел нечётная, если одно слагаемое чётное, а другое нечётное, а эта ситуация рассмотрена в в). Таким образом, количество результатов, благоприятных событию Д, равно 4. Значит, вероятность события Д равна 4/6. Замечание. Важно обратить внимание ребят, что события В и Д совпадают, хотя заданы разными текстами. е) Сумма чисел на вынутых карточках может быть равной 5 только для двух возможных результатов рассматриваемого случайного эксперимента. В этом можно убедиться непосредственно, рассмотрев все 6 возможных результатов – рис. а). Таким образом, количество результатов, благоприятных событию Е, равно 2. Значит, вероятность события Е равна 2/6. 13.  Среди 11 различных натуральных чисел обязательно найдётся хотя бы два числа с одинаковой последней цифрой (если бы это было не так, то все 11 последних цифр были бы различными, а 11 различных цифр быть не может, т.к. цифр всего 10). Последней цифрой разности этих двух чисел будет 0, а значит, разность делится на 10. Ответ: обязательно. 14.  а) Переформулируем задачу с помощью обратного действия: нужно найти такое двузначное число, прибавляя к которому единицу, получим трёхзначное число. Но имеется только одно двузначное число, у которого следующее при счёте число – трёхзначное. Это 99. Ответ: 100 – 99 = 1; б) произведение двузначного числа на однозначное – либо двухзначное число, либо ноль. Второй случай в данном примере невозможен, значит, остаётся только первый. Разность этого двузначного числа и некоторого однозначного числа равна единице. Рассуждая аналогично пункту а), получаем, что это возможно лишь для разности 10 – 9 = 1. Осталось выяснить, когда произведение двузначного числа на однозначное равно 10. Это возможно лишь для произведения 10 ∙ 1 = 10. Ответ: 10 ∙ 1 – 9 = 1; в) сначала, работая с последними цифрами, устанавливаем, что второй цифрой первого сомножителя может быть только 1. Первой цифрой второго сомножителя не может быть 8 или меньше, т.к. 11 ∙ 81 = 891, а произведение должно быть четырёхзначным. Осталось проверить произведение 11 ∙ 91. Проверяем: 11 ∙ 91 = 1 001. Всё сходится! Ответ: 11 ∙ 91 = 1 001;  © ООО «Баласс», 2014 7г) сначала, работая с последними цифрами, устанавливаем, что последняя цифра первого слагаемого равна 6. Теперь несложно   установить   первую   цифру   второго   слагаемого:   она   такова,   что   в   сумме   с   единицей,   перенесённой   из предыдущего разряда, даёт двузначное число. Ясно, что эта цифра 9. Ответ: 56 + 984 = 1 040; д) если первая цифра суммы 2 или больше, то слагаемые не могут быть двузначными. Таким образом, сумма равна 198. Если одно слагаемое 98 или меньше, то второе слагаемое должно быть трёхзначным, что невозможно. Таким образом, оба слагаемые равны по 99. Ответ: 99 + 99 = 198; е) сначала, работая с последними цифрами, устанавливаем, что последняя цифра уменьшаемого равна 0. На втором шаге устанавливаем третью цифру вычитаемого. Она равна 9. На третьем шаге устанавливаем вторую цифру уменьшаемого. Она равна 7. И наконец, устанавливаем первую цифру вычитаемого. Она равна 3. Ответ: 6 750 – 3 894 = 2 856; ж) сначала, работая с последними цифрами, устанавливаем, что последняя цифра разности равна 9. На втором шаге устанавливаем третью цифру вычитаемого. Она равна 3. На третьем шаге устанавливаем вторую цифру уменьшаемого. Она равна 2. И наконец, устанавливаем первую цифру вычитаемого. Она равна 2. Ответ: 3 286 – 2 237 = 1 049; з) сначала, работая с последними цифрами, устанавливаем, что второй цифрой первого сомножителя может быть либо 3, либо 7. Поскольку произведение первого сомножителя на 5 является двузначным числом, а уже 23 ∙ 5 = 115 – число трёхзначное, то первой цифрой первого сомножителя может быть лишь 1. Осталось проверить произведения 13 ∙ 52  и 18 ∙ 52. Имеем: 13 ∙ 52 = 676 – подходит, 18 ∙ 52 = 936 – не подходит. Ответ: 13 ∙ 52 = 676; и) поскольку произведение первого сомножителя (являющегося трёхзначным числом) на 8 – число трёхзначное, а на первую цифру второго сомножителя – число четырёхзначное, то этой цифрой может быть только 9. Работая с последними цифрами,   устанавливаем,   что   последняя   цифра   первого   сомножителя   равна   либо   0,   либо   5.   Начинаем   проверять трёхзначные числа, начиная со 100, с последней цифрой 0 или 5, чтобы их произведение на 8 было трёхзначным, а произведение   на   9 –  четырёхзначным.  Числа  100,  105, 110  и  115  не   подходят,  т.к.  их   произведение   на  9  является трёхзначным числом. Числа 125 и больше не подходят, т.к. их произведение на 9 является четырёхзначным числом. Число 120 подходит, т.к. 120 ∙ 8 = 960 – число трёхзначное, а 120 ∙ 9 = 1 080 – число четырёхзначное.  © ООО «Баласс», 2014 8Ответ: 120 ∙ 98 = 11 760; к) поскольку произведение первого сомножителя (являющегося двузначным числом) на 8 – число двузначное, то этот сомножитель   может   быть   либо   10,   либо   11,   либо   12   (уже   13   ∙   8   =   104   –   число   трёхзначное).   Далее,   поскольку произведение первого сомножителя (являющегося двузначным числом) на вторую цифру второго сомножителя – число трёхзначное, то этой цифрой может быть только 9. И наконец, произведения 10 ∙ 9 = 90 и 11 ∙ 9 = 99 – числа двузначные, но это нас не устраивает, а 12 ∙ 9 = 108 – число трёхзначное, что нас устраивает. Таким образом, первый сомножитель равен 12, а второй – 89.  © ООО «Баласс», 2014 918. Предположим, что не найдётся. Тогда 0 волос на голове имеют 29 человек или меньше, 1 волос на голове имеют 29 человек или меньше, 2 волоса на голове имеют 29 человек или меньше, и т.д., вплоть до того, что 200 000 волос на голове имеют   29   человек   или   меньше.   Если   теперь   подсчитать   общее   количество   людей,   то   получится   сумма   из   200   001 слагаемого, каждое из которых или равно 29, или меньше. Ясно, что такая сумма или равна 200 001 ∙ 29 = 5 800 029, или меньше. Это противоречит тому, что общее количество людей около 8 млн. Ответ: найдётся. 1. Одно из возможных решений изображено на рисунке. Раздел «Любителям математики» (ч. 3) 2.  а) если начать выполнять  умножение столбиком, то уже после первого  шага станет ясно, что последней цифрой произведения будет 1. Ответ: 1; б) последняя цифра произведения двух сомножителей определяется уже после первого шага умножения столбиком и зависит только от последних цифр сомножителей. Ответ: верно. 3. а) Одно из возможных решений записано в виде таблицы. Записи «+1» стоят под теми числами, которые на данном ходе увеличиваются на единицу.  © ООО «Баласс», 2014 10Ответ: можно; б) одно из возможных решений записано в виде таблицы. Записи «+1» стоят под теми числами, которые на данном ходе увеличиваются на единицу.  © ООО «Баласс», 2014 11Ответ: можно; в) после каждого хода сумма чисел увеличивается на 2. Поскольку сумма начальных чисел равна 13, то после каждого хода сумма чисел остаётся нечётным числом. Если бы удалось получить четыре одинаковых числа, то их сумма тоже была бы чётным числом. Противоречие! Ответ: нельзя. Замечание. Ребята, достигнув успеха при решении пунктов а) и б), естественно, будут долго пытаться достичь успеха и в пункте в). После длительных тщетных попыток в какой­то момент у них должны возникнуть сомнения, возможно ли это вообще.   Очень   важно   не   торопить   этот   момент,   дать   ребятам   усомниться   в   возможности   успеха   самостоятельно. Выдвинув гипотезу о невозможности получения четырёх одинаковых чисел, ребята столкнутся с трудной проблемой – а как это доказать? Нужно постепенно подвести их к идее инварианта: имеется ли что­нибудь такое, что не изменяется после каждого хода. 4. Будем решать обратным ходом. Основная идея рассуждений на каждом шаге заключается в том, что если в некоторую кучку переложили фишек столько, сколько в ней уже было, то до перекладывания в ней было фишек в два раза меньше, чем после. Для краткости и наглядности рассуждения можно оформить в виде таблицы.  © ООО «Баласс», 2014 12Ответ: первоначально в первой кучке было 22 фишки, во второй – 14 фишек, в третьей – 12 фишек. 5. Если первый – правдун, то второй и третий – лгуны, и получается, что второй говорит правду, хотя является лгуном! Из этого рассуждения следует, что первый – лгун, а из того, что он говорит, следует, что или второй, или третий, или они оба являются правдунами. Рассмотрим возможные варианты в виде таблицы: Из таблицы видно, что для первой и второй строк высказывание второго находится в противоречии с тем фактом, кем он является. Это значит, что ситуации, описываемые первой и второй строками, невозможны. Единственная возможная ситуация описывается третьей строкой, т.е. второй и третий являются правдунами. Ответ: третий сказал: «Один». 6. а) Делители числа 6 – это 1, 2, 3. Их сумма равна 1 + 2 + 3 = 6, т.е. равна самому числу; б) других совершённых однозначных чисел, кроме 6, нет; в) единственным двузначным совершенным числом является 28; г) единственным трёхзначным совершенным числом является 496. 7. Объём прямоугольного параллелепипеда (кирпича) равен произведению трёх его размеров (длины, ширины и высоты). Если каждый из трёх сомножителей уменьшить в 4 раза, то произведение уменьшится в 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64 раза. Таким образом, объём, а значит, и масса игрушечного кирпича в 64 раза меньше, чем у настоящего, и равна 3 200 г : 64 = = 50 г. Ответ: 50 г. 8.  С   первого   взгляда   задача   кажется   чудовищно   сложной:   10   неизвестных!   Но   некоторые   конкретные   ситуации разрешаются иногда очень просто за счёт удачного наблюдения.  © ООО «Баласс», 2014 13Вычислим сумму десяти наименьших натуральных чисел. Она равна 55. Если вместо 10 взять 11, то сумма будет равна 56. Осталось убедиться, что других решений нет. Это можно сделать, например, так. Если наибольшее из чисел 12 или больше, то сумма оставшихся девяти чисел равна 44 или меньше. Но сумма девяти наименьших натуральных чисел равна 45! Если же наибольшее из чисел равно 11, то сумма оставшихся девяти чисел равна 45. А поскольку, как уже отмечено выше, сумма девяти наименьших натуральных чисел равна 45, то это как раз они и есть. Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11. 9. Прежде всего, отметим, что в волейболе не бывает ничьих, а в футболе бывают. Именно этим различаются пункты а) и б). В условии задачи об этом не говорится намеренно – ребятам даётся возможность осознать различие пунктов а) и б) и самостоятельно разобраться, в чём оно заключается: а) понятно, что в волейбольном турнире, где ничьих не бывает, не может быть двух команд, не одержавших ни одной победы, ведь любые две команды встречались между собой и одна из них одержала победу. Таким образом, команда, не одержавшая ни одной победы, может быть только одна и тогда в турнире участвовало шесть команд; б) докажем, что в футбольном турнире команд, не одержавших ни одной победы, может быть любое количество. Разобьём команды на две группы. Пусть команды, входящие в первую группу, сыграли все матчи между собой вничью и проиграли все свои матчи командам из второй группы. Тогда, независимо от того, как сыграли матчи между собой команды из второй группы, условия задачи выполнены – ни одной победы не одержали команды из первой группы, и только они. Поскольку по условию команды, не одержавшие ни одной победы, составляют шестую часть команд, участвовавших в турнире, а их может быть 1, 2, 3, 4 и т.д., то всего в турнире могло участвовать 6, 12, 18, 24 и т.д. команд (другими словами, любое разумное число, делящееся на 6). Ответ: а) 6; б) 6, 12, 18, 24 и т.д. (любое число, делящееся на 6).  © ООО «Баласс», 2014 14