Предел функции

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УПРАВЛЕНИЕ АЛТАЙСКОГО КРАЯ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И ДЕЛАМ МОЛОДЕЖИ КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ НЕМЕЦКОГО НАЦИОНАЛЬНОГО РАЙОНА» ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. проект урока Выполнила:  Гайер Алевтина Александровна, преподаватель математики 2 Гальбштадт 2016 СОДЕРЖАНИЕ Введение………………………………………………………………………. Методика подготовки урока ………………………………………………… План урока …………………………………………………………………… Проект урока…………………………………………………………………. Заключение …………………………………………………………………… Список источников и использованной литературы ……………………….. Приложение 1.Работа в микрогруппах….………………………………….. Приложение 2. Практическая работа………… ………………………………      16     Приложение 3 .Презентация……………. ……………………………………...   18  3 4 6 7 10 11 12 3 ВВЕДЕНИЕ             Понятие «предела» неразрывно связано со многими науками и теоремами, с которыми   мы   сталкиваемся   на   каждом   шагу.   Тем   не   менее   тема   «пределов» довольно сложна для понимания как школьникам так и студентам. И дело не в том, что трудно решить пример или посчитать какое­ то значение функции.         В основном проблема в изучении этой темы состоит в понятии таких фраз как «предел»,   «бесконечность»,   «почему   нужно   по   заданному   е   находить соответствующее значение б, а не наоборот; затрудняет в ряде случаев процесс отыскания б по заданному значению є » и вообще, зачем это надо и как это можно представить. Кроме того геометрически проиллюстрировать связь «є и б» (эпсилон и дельта) довольно сложно.      В  данной  разработке    приводится     определение  самого  предела  (по  Коши), которое дается в математическом анализе. 4                                                       МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ УРОКА                  На первом этапе преподаватель выбирает тему урока в соответствии с календарно­тематическим   планированием   и   программой;   определяет   его   цели, содержание учебного материала, дозировку и последовательность его подачи на уроке;   разрабатывает   структуру   урока;   определяет   его   тип   и   наиболее целесообразные методы  и приёмы обучения на нём.                      Следующий этап – постановка цели урока.   Именно на данном этапе возникает внутренняя мотивация студента на активную, деятельностную позицию, возникают   побуждения:   узнать,   найти,   доказать.   Организации   данного   этапа требует   продумывания   средств,   приемов,   мотивирующих   студентов   на предстоящую деятельность.           При выборе приемов целеполагания необходимо использовать следующие условия:   учет   уровня   знаний   и   опыта   студентов;   доступность;   направленность работы   на   активную   мыслительную   деятельность.   Следует   отметить,   что   все приемы строятся на диалоге. Существуют различные приемы по формированию действия целеполагания. На данном уроке был использован прием «Работа над понятием». Студентам  предлагается для зрительного восприятия название темы урока.   Необходимо   объяснить   значение   каждого   слова.   Отыскать   в   учебнике основные   понятия   и   формулы.  Далее,   от   значения   понятий   определяется   цель урока.         При изучении нового материала, на следующем этапе уроке я  использовала   как   компьютерную   презентацию, такую   информационную   технологию, разработанную   в   среде   Power   Point.  Проведение   уроков   с   использованием 5 информационно­коммуникационных технологий – это мощный стимул в обучении. В   процессе   обучения   активизируются   психические   процессы:   восприятие, внимание,   память,   мышление;   гораздо   активнее   и   быстрее   происходит возбуждение   познавательного   интереса.   ИКТ   представляют   информацию   в различных формах и тем самым урок проходит более эффективно.         Обучение происходит более целенаправленно и эффективно, если студенты работают в микрогруппе. Лучше   всего   запоминается   тот   материал,   который   человек   объяснил другому. Работа в микрогруппе дает всем студентам возможность оказаться в роли преподавателя   и   направлять   остальных   в   работе.   Таким   образом,   студенты продвигают   друг   друга   в   учебе,   оказывая   конкретную   помощь,   обмениваясь знаниями и поощряя любые усилия друзей в этом направлении. Они объясняют, обсуждают, передают друг другу имеющиеся у них знания.          В микрогруппе студенты работают над одной и той же проблемой, изучают одну и ту же тему или пытаются общими усилиями, на основе единого мнения, выдвинуть   свежие   идеи,   комбинации   или   нововведения.   При   этом   студенты приобретают   знания   и   навыки   не   только   по   конкретному   предмету,   но   и общеучебные компетентности, развитие которых важно для становления личности студентов, их поведения во взрослой жизни.         При организации проверочной  работы  студентам необходимо   сообщить   в каких тетрадях ее выполнять,  какие  задания   им  предназначены,  как  озаглавить работу, как оформить решение, время выполнения работы. При этом  следить  за самостоятельностью выполнения работы каждым студентом. При  изучении  математики  важно,  чтобы  студенты  не  только   знали теоретический  материал,  но  и  умели  применять  его  к  решению  задач  и упражнений.   Эти   умения   и   навыки   могут   быть   по настоящему проверены только  в  письменной  работе. 6                                                         ПЛАН УРОКА Тема занятия: Вычисление предела функции Цели     занятия:  создание   условий   для   введения   студентами   понятий   предела функции, левый (правый) предел и формирование умения применять правила для нахождения предела функции.  Задачи занятия:         ­Обучающие:  обеспечить   восприятие,  осмысление   и   запоминание   формулы предела   функции;   сформировать   навыки   использования   правил   вычисления предела   функции;   продемонстрировать   возможности   использования   полученных знаний при решении задач практической направленности.         ­Развивающие:  развивать:   логическое   мышление   (умение   анализировать, сравнивать,   обобщать   делать   выводы);   самооценку   деятельности   на   учебном занятии; умение анализировать свои ошибки и исправлять их в процессе решения задач; коммуникативные навыки;        ­Воспитательные: воспитывать: умение слушать друг друга; добросовестное отношение к учебному труду; ответственность; честность; умение сопереживать успехам и неудачам одногрупников. Тип занятия: занятие изучение нового материала, формирование новых знаний, умений и навыков.  Вид занятия: урок. Форма организации учебного занятия: фронтальная, групповая. Материально­техническое   обеспечение   занятия:  компьютер,   мультимедийный проектор,  мультимедийная презентация Методическое   и   дидактическое   обеспечение   занятия:  справочник,   учебники Богомолов Н.В «Практические занятия по математике» 7 Педагогические   технологии:  технология   системно­деятельностного   подхода, проблемное обучение, технология критического мышления.   Формируемые компетенции: ОК 1.Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество   ОК   2.Брать   на   себя   ответственность   за   работу   членов   команды,   результат выполнения заданий. ОК   3.Осуществлять   поиск,   анализ   и   оценку   информации,   необходимой   для постановки и решения задач. ОК 4.Работать в коллективе, обеспечивать его сплочение, эффективно общаться с коллегами.                                        Ход урока 1. Организационный момент ­ 3мин 2.Постановка цели урока ­ 3  мин 3.Изучение нового материала­ 7 мин 4. Закрепление  материала (работа в микро группах)­10мин 5. Практическая работа (по вариантам)­15 мин 6. Подведение итогов ­ 3 мин 7. Рефлексия ­ 2 мин. 8.Домашнее задание ­ 2 мин 8 , ы п а т Э и т с о н ь л е т я е д 1. Организа­ ционный  момент 3 мин 2. Постановка цели урока 3  мин 3. Изучение  нового  материала. 7 мин ь л е Ц Обеспе­ чить  внешнюю  обстановку для работы на уроке. Психоло­ гически  настроить  обучаю­ щихся на  целенапра­ вленную  деятель­ ность. Ввести понятие предела функции. Дидактическая структура занятия  ь т с о н ь л е т я е Д я л е т а в а д о п е р п Преподаватель  приветствует  студентов,  проверяет  готовность  студентов к  занятию. Отмечает  отсутвующих. Организует  студентов на  понимание цели урока. ь т с о н ь л е т я е Д в о т н е д у т с Студенты  приветствуют  педагога Формулируют  тему урока. Определяют цели  урока в  соответствии с  темой. Объясняет  примеры. Организует,  координирует. Работают с  учебником,  делают записи в  тетради.    ы д о т е М а м е и р п Сло­ весно­  нагляд ный Словес но нагляд­ ный (диа­ лог) Сло­ весно  нагляд­ ный,  репро­ дукти­ вный ы д о т е М я л о р т н о к Наблюде­ ние   е ы м е у р и м р о Ф ОК 1 и и ц н е т е п м о к Наблюде­ ние ОК 1 Устный  опрос,  наблюде­ ние ОК 1 ОК 3 9 Распределяет  задания по  микрогруппам,  проверяет решение  у доски. Решают в  микрогруппах,  записывают  решение на доске.  Наблюде­ ние,  самопро­ верка ОК 1 ОК 4 ОК 2 Практи ческий (осмыс ление, дискус сия) Распределяет  задания по  вариантам,  проверяет решение  у доски. Решают свой  вариант,  записывают  решение на доске, проверяют,  выполняют работу над ошибками. Практи ческий (словес ный) Наблюде­ ние,  самопро­ верка ОК 1 ОК 3 Постановка  контрольных  вопросов. Отвечают на  вопросы Словес ный Устный  опрос,  наблюде­ ние ОК 1 ОК 2 Задаёт вопросы о  достижении целей,  выслушивает  мнение  обучающихся. Отвечают на  вопросы,  высказывают свою точку зрения. Практи ческий (словес ный) Наблюде­ ние,  самопро­ верка ОК 1 ОК 4 Даёт устные  методические  рекомендации. Записывают,  воспринимают  информацию  Словес ный  Наблюде­ ние,  вопросы ОК 1 ОК 3 4. Закрепле­ ние   материала (работа в  микро  группах)10 5. П.р(работа  по  вариантам) 15 мин 6. Подведе­ ние итогов 3 мин 7. Рефлексия  2 мин 8. Информа­ ция о  домашнем  задании. 2 мин Обеспе­ чить  уровень  осмысле­ ния и  понимания  изученного материала. Обеспе­ чить  уровень  осмысле­ ния и  понимания  изученного материала. Развивать  умение  анализи­ ровать,  сравнивать и  обобщать. Создать  для  каждого  студента  ситуацию  успеха. Развивать  у  студентов  умение  оценивать  свои  результаты Понима­ ние  цели,  содержа­ ния  выполне­ ния  домашнего задания 10 Проект урока 11 ЗАКЛЮЧЕНИЕ                  В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов. Понятие предела,   впервые   появившееся   в   17   веке   в   работах   Ньютона,   используется   и получает   дальнейшее   развитие   в   теории   рядов.   В   этом   разделе   анализа исследуются   вопросы,   связанные   с   суммой   бесконечной   последовательности величин (как постоянных, так и функций).         Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков. Это свойство функции находит широкое применение в сфере экономики.      Поэтому понятия предела и непрерывности играют важную роль в исследовании функций нескольких переменных,  для построения графиков функций. Кроме того, в   дальнейшем   изучение   понятия   производной     без   знания   предела   функции невозможно. 12 СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Богомолов Н.В/ Практические занятия по математике / Н.В Богомолов – М.: Высшая школа, 1990. – 100 с. 2.   Райтман П.Б. "Повышение вычислительной культуры учащегося", Москва, изд. "Просвещение", 1985. 3. Башмаков, М.И. Алгебра и начало анализа.­ М.: Просвещение, 1992. 4. Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы.­ М.: Просвещение, 1888. 5.  Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Том 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. Москва: Дрофа, 2007 год, 512 с. 6.  Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.­ Мн.: Выш. шк., 2005. ­ 351 с. 13 Работа в микрогруппах.    Приложение 1 Задача №1  Вычислите:  Решение.   lim 2 x  x 1 ; 5  3 x    1 3 x   5 . Выражение х2 – 3х + 5 определено в любой точке х, в частности, в  lim 2 x  x точке х = 1. Следовательно, функция у = х2 – 3х + 5 непрерывна в точке   х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1. Имеем:   lim  x 1 2 x  3 x   3513 2 1 5 . Ответ: 3. Задача №2 Вычислите  ; 2 4 х х   3 2 lim 1  x 2 Решение.    2 4 х х   3 2 lim 1  x 2 .   Выражение    xf   2 4 х х   3 2   определено   в   любой   точке  х    ,   в 1 2 частности, в точке  х =   1 2 . Следовательно, функция  у =  f  (x)  непрерывна в точке , а потому предел функции при стремлении х к  14 х =  1 2   равен значению функции в 1 2 точке х =  . Имеем:  1 2 2 4 х х   3 2  lim 1  x 2 2 х  4 х   3  2   lim 1  x 2 lim 1  x 2  2 4 1  2 1  2 3 2 .   31  22  1 Ответ: 1. Задача №3 Вычислите:   Решение.   lim 2 x  x 1 ; 8  6 x  6 x  1    8 . Выражение х2 + 6х – 8 определено в любой точке х, в частности, в  lim 2 x  x точке х = ­ 1. Следовательно, функция у = х2 + 6х – 8 непрерывна в точке   х = ­ 1, а потому предел функции при стремлении х к ­ 1 равен значению функции в точке х = ­ 1. Имеем:   lim  x 1 2 x  6 x   8  2  1  816 1 . Ответ: ­ 1. Задача №4 Вычислите:     .  7 х 21 х 14  2 lim 1  x 3 .   Выражение      7 х 21 х 14  2 lim 1  x 3  xf    7 х 21 х 14  2 15   определено   в   любой   точке  х    ,   в 2 21 частности, в точке х =  1 3 . Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке     х =  1 3 , а потому предел функции при стремлении х к    равен значению функции в 1 3 точке х =  .  1 3 Имеем:   7 х 21 х 14  2  lim 1  x 3 7 х  14  21 х   2   lim 1  x 3 lim 1  x 3 Задача №5 Вычислите    ; lim  x 0 2 x  2 x x 2  14  1 3 27  . 2 3  11 9   105 7  21 1  3 1  3 14 2 Решение.   lim  x 0 2 x  2 x x .   Если   подставить   значение  х   =   0    в   заданное   выражение,   то   и   в числителе, и в знаменателе получится  0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить:  . 2 x  2 x 2 x  хx  1   x х   x 1   тождественны при условии  х    0, х    1. Значит, функции   y 2 x  2  x x   и   y  х 1 x Значит,  lim  x 0 2 x  2 x x  lim  x 0 x  x 1  0  10  0 . Ответ: 0. 16 Задача №6 Вычислите  ; lim  x 1 х 2 х  1  x Решение.   lim  x 1 х 2 х  1  x .  Если   подставить   значение  х   =   ­   1    в  заданное   выражение,  то   и  в числителе, и в знаменателе получится  0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить:  . x 2 x  1  x   1 x    хx 1  1 x   тождественны  при  условии  х    0,  х    ­ 1. Значит,  функции   у x  2 x  1  x   и   у 1 x Значит,  lim  x 1 x 2 x  1  x  lim  x 1 1 x  1  1  1 . Ответ: ­ 1. Задача №7 Вычислите в)  ; lim  x 3 2 x x   x 3 3 Решение.   lim  x 3 2 x x   x 3 3 .   Если   подставить   значение  х   =   3    в   заданное   выражение,   то   и   в числителе, и в знаменателе получится  0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить:  . x х  32  х 3    хx  х  3 3  х 17   и   у    тождественны   при  условии  х    3.  Значит, х Значит,  функции   у  2 x х   х 3 3 . lim  x 3 2 x x   х 3 3  lim  x 3 х  3 Ответ: 3. Задача №8 Вычислите     Решение. .   5 5 x х lim 2 х  5 x x 5   5 5   . Если подставить значение  х = ­ 5    в заданное выражение, то и в х lim 2 х  числителе, и в знаменателе получится  0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить:  x . x 2   5 5 x  x  5 x   хx 5 1 x     тождественны при условии  х    0, х    ­ 5. Значит, функции     и   у у   x 2  5 5 x x Значит,  lim  x 5 x 2   5 5 x x  lim  x 5 1 x  1  5  1 x . 1 5 Ответ: ­  . 1 5 18 Практическая работа. Приложение 2  Какая из функций, графики которых изображены на рис. 1­6, имеет предел при х  3? Чему равен этот предел? Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3  Рисунок 4 19 Рисунок 78  Рисунок 79 Рисунок 5  Рисунок 6 20 Приложение 3 МУЛТИМЕДИЙНАЯ ПРЕЗЕНТАЦИЯ 21