Преемственность между начальной и основной школой при изучении обыкновенных дробей.

Содержание Введение...................................................................................................................3 ГЛАВА 1. Теоретические основы системы преемственности в системе обучения ...................................................................................................................................7 1.1. Методологические основы преемственности обучения.................................7 1.2. Основные направления в исследованиях преемственности обучения.......20 1.3 Анализ состояния и проблемы преемственности в практике обучения......32 ГЛАВА 3. Осуществление преемственности при изучении обыкновенных дробей младшими школьниками..........................................................................60 ЗАКЛЮЧЕНИЕ..........................................................................................................72 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ............................................................75 Приложение 3.........................................................................................................93 2 Введение Вопросы,  связанные   с  преемственностью,  рассматривались   с  момента появления   ступеней   в  образовательном   процессе.   Исследованиям   в  данной области уделяли внимание такие авторы как Ш.И. Ганелин, С.М. Годник, О.А. Анищенко, М.Н. Костикова, А.В. Батаршев,  IO.A. Кустов, А Н. Адриянчик, А.Я. Блаус, С.М. Годник, Ю.А. Кустов и пр. В   начале   XXI   века   в   обществе   возникает   вопрос   об   индивидуально­ ориентированном   подходе   к   образованию   ребенка   на   всех   ступенях образовательного процесса. В ответ на данный запрос в российской системе образования   возникают   новые   технологии   и   системы   обучения,   предметы, сопровождающиеся разработкой новых программ обучения, альтернативных учебников. Но это порождает всевозможные риски, связанные, в частности, с нестыковкой   учебных   пособий,   организационных   форм   и   методов, используемых  на различных  этапах   обучения. Практика  работы  в  школе  и наблюдение   за   педагогическим   процессом   показывает,   то,   несмотря   на разнообразие   учебно­методических   комплексов,   используемых   в   начальной школе, большинство детей испытывают трудности при переходе из начальной в основную школу [19]. Одним из путей решения этой проблемы стало создание в 2000 году Концепции непрерывного образования (дошкольное и начальное звено). Но по мнению авторов, успешной реализации данного проекта мешает ряд проблем, вызванных   неготовностью   значительной   части   педагогических   кадров   к осознанному   выбору   вариативной   программы   обучения   и   ее   адекватной реализации. Вариативность влияет на увлечение предметным обучением, что приводит   к   снижению   качества   образования   и   перегрузке   детей. Игнорирование   создателями   учебников   закономерностей   психического развития   ребенка,   отсутствие   утвержденных   на   государственном   уровне 3 стандартов   образования   препятствует   установлению   преемственности   в системе образования между начальной и основной школой.  В   2010   году   был   принят   Федеральный   государственный   обра­ зовательный   стандарт   начального   общего   образования.   Одна   из   целей принятия   стандарта   ­   разрешение   проблемы   преемственности   между начальной и основной школой, что будет способствовать устранению разрыва между начальным и основным образованием, который ощущается на практике. Таким образом, преемственность активно обсуждается на государственном, научном,   общественном   уровнях.   Вместе   с   тем,   остается   нерешенной проблема   отсутствия   инструментов   по   устранению   этого   разрыва   между ступенями   образования   (начальной   и   средней)   ­   технологий,   позволяющих младшему школьнику безболезненно пройти процесс адаптации при переходе из начальной школы в основную [1]. Актуальность.  В   соответствии   с   программой   по   математике   в начальных классах должна быть проведена подготовка к изучению дробей в V и VI классах. Это значит, что в начальных классах надо создать конкретные представления о доли и дроби. Цель исследования­ разработка системы заданий по изучению дробей, обеспечивающие   непрерывность   и   преемственность   курса   "Математика"   в начальной и основной школе. Предмет исследования – процесс обучения   математике. Объект исследования  –процесс обучения учащихся начальной школы математике. Цель,   объект   и   предмет   исследования   позволили   сформулировать гипотезу:  применение   преемственности   в   процессе   обучения   математике позволяет   углубить   и   расширить   знания   и   умения   обучающихсяпо   теме «Дроби». Задачи исследования: 4 1) проанализировать   научную   литературу   и   выявить   сущность преемственности; 2) Разработать   систему   заданий   с   учетом   преемственности   для   непрерывность   между учащихся   начальных   классов,   обеспечивающую   начальной и основной школой; 3)  Разработать методические рекомендации для учителя. База исследования:МОУ Борисоглебская СОШ № 1, пос. Борисоглебский, Ярославской области. В  работе мы использовали следующие методы:  Теоретические:   изучение   и   анализ   психолого   ­   педагогической литературы по проблеме.  Эмпирические: наблюдение, анализ продуктов деятельности учащихся, опытно­экспериментальная работа. Структура   работы   обусловлена   предметом,   целью   и   задачами исследования.  Содержание работы: работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения. литературы   списка   и   Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования. В первой главе «Теоретические основы системы преемственности в системе обучения»   рассмотрены   основы   преемственности   и   направления   в преемственности. исследованиях Во второй главе «Понятие «дробь» и методика изучения дробей в начальной   школе» дано понятие «дробь» и рассмотрены проблемы понимания данной темы. 5 В   третьей   главе   «Осуществление   преемственности   при   изучении обыкновенных   дробей   младшими   школьниками»   описывается   опытно   – экспериментальная работа. В   заключении   формулируются   выводы. Список литературы состоит из 50 источников. 6 ГЛАВА 1. Теоретические основы системы преемственности в системе обучения 1.1. Методологические основы преемственности обучения Методологическими   основами   преемственности   в   процессе   развития являются   диалектические   законы   единства   и   борьбы   противоположностей, перехода количественных изменений в качественные, отрицание отрицания. Особая роль принадлежит последнему закону. Как известно, новое не просто отрицает старое, оно постепенно вызревает в старом и в последующем сох­ раняет его черты. [58] Общеметодологические   идеи   преемственности   в   процессе   своего развития были реализованы применительно к таким наукам, как педагогика и психология. Концептуальные основы преемственности в психологическом   аспекте представил Л.С. Выготский, который выдвинул положение о ведущей роли обучения в психическом развитии личности. Он подчеркивал, что педагогика должна   ориентироваться   не   на   вчерашний,   а  на   завтрашний   день   детского развития. Только тогда она сумеет в процессе обучения вызвать к жизни те процессы развития, которые сейчас лежат в зоне ближайшего развития. Обосновывая это положение, Л.С. Выготский отмечал, что обучение и развитие   в   школе   соотносятся   друг   с   другом   так,   как   зона   ближайшего развития и уровень актуального развития. «Только  то обучение в детском возрасте хорошо, которое забегает вперед развития и ведет его за собой. Но обучить ребенка возможно только тому, чему он способен обучиться... Значит, обучение   должно   ориентироваться   на   уже   пройденные   циклы   развития,  на свой низший порог; однако оно опирается не столько на созревшие, сколько на созревающие функции. Оно всегда начинается с того, что у ребенка еще не 7 созрело.   Возможности   обучения   определяются   законом   его   ближайшего развития». Эти положения, выдвинутые Л.С. Выготским, задают четкую систему координат для теоретической трактовки преемственности, с одной стороны, в развитии личности, с другой ­ в развитии и динамике самого воспитательно­ образовательного процесса. Преемственность возможна благодаря тому, что новое   опирается   на   достигнутый   уровень   развития,   а   также   благодаря осуществляемому на этой основе прогнозу, что и определяет в итоге логику необходимую педагогического последовательность,   а  значит,  и   преемственность   в   формах,   содержании   и обеспечивая ему     процесса,     методах работы. В последнее время большую роль в понимании сути преемственности сыграли вопросы построения системы непрерывного образования, реформы средней   школы.   Отстаиваются   позиции   гуманизации   всей   структуры образования,   утверждается   личностно­ориентированный   подход.   Отсюда   и принципиально   новые   модели   построения   воспитательно­образовательного процесса,   опирающегося   на   закономерности   развития   личности   ребенка, становление его социальной активности. [49] Проблема   преемственности   в   обучении   и   воспитании   является  комплексной,   ее   разрешение   требует   совместных   усилий   специалистов различных   областей:   медиков,   психологов,   педагогов,   социологов   и   др. Поэтому   ее   нельзя   определить   лишь   как   взаимосвязь   между   отдельными элементами   педагогического   процесса   в   детском   саду   и   начальной   школе. Так, А. В. Запорожец отмечает, что под преемственностью следует понимать «...внутреннюю   органическую   связь   общего   физического   и   духовного развития,   внутреннюю   подготовку   к   переходу   от   одной   ступени формирования личности к другой». 8 Под   преемственностью   понимается   непрерывность   на   границах   двух этапов или форм обучения: детский сад ­ школа, единая организация этих этапов   в   рамках   целостной   системы   образования.   Таким   образом,   непре­ рывность   и   преемственность   предполагают   разработку   и   принятие   единой системы целей и содержания образования на всем протяжении обучения от детского   сада   до   средней   школы.   Преемственность   между   звеньями образования   следует   рассматривать   как   связь   и   согласованность   каждого компонента образования (целей, задач, содержания, методов, средств, форм, организации),   обеспечивающих   эффективное   поступательное   развитие ребенка,   его   успешное   воспитание   и   обучение   на   данных   ступенях образования. Вся работа с детьми должна исходить из принципа «не навреди» и быть направленной   на   сохранение   здоровья,   эмоционального   благополучия   и развитие индивидуальности каждого ребенка. Одним   из   результатов   реализации   преемственных   связей   между звеньями   должно   стать   развитие   ведущей   деятельности   каждого   периода детства   как   важнейшего   фактора   психического   и   личностного   развития ребенка и безболезненной адаптации к последующей ступени образования. Преемственность ­ это система мер, направленная на выбор технологий воздействия   на   развитие   ребенка   и   создание   условий,   обеспечивающих сохранение психического и физического здоровья детей. [61] Преемственность   между   обучением   детей   всегда   относилась   к   числу наиболее   важных   педагогических   проблем.   «Школа   не   должна   вносить резкого перелома в жизнь детей. Пусть, став учеником, ребенок продолжает делать   сегодня   то,   что   делал   вчера.   Пусть   новое   появляется   в   его   жизни постепенно и не ошеломляет лавиной впечатлений». 9 Однако,   проблема   преемственности   снова   и   снова   обсуждается   на самом   разном   уровне   ­   среди   ученых,   работников   образования,   широкой общественности.  Это   обусловлено   не   только   важностью   данной   проблемы   и необходимостью ее корректировать в соответствии с социальной ситуацией. Главная причина такого положения (по мнению Н.Ф. Виноградовой, доктора педагогических   наук,   профессора)   состоит   в   том,   что   она   решается «смежниками» параллельно.  Преемственность как одно из условий непрерывного образования есть,  во­первых, определение общих и специфических целей образования на данных ступенях, построение содержательной линии, обеспечивающей эффективное поступательное   развитие   ребенка,   его   успешный   переход   на   следующую ступень образования, во­вторых, связь и согласованность каждого компонента методической   системы   образования   (целей,   задач,   содержания,   методов, средств, форм организации). Итак,   в   содержании   преемственности   можно   выделить   два   аспекта: закономерности   развития   личности;   содержание,   цели,   формы   и   методы   С педагогической   деятельности,   обеспечивающей   это   развитие. психологической точки зрения преемственность заключается в формировании определенного   уровня   готовности   к   школе   и   в   обеспечении   условий   для благоприятной   адаптации   детей   к   систематическому   обучению. Следовательно, основная задача педагогов будет заключаться в том, чтобы создать   необходимые   педагогические   условия   для   завершения   подготовки детей к школе, что является предпосылкой для овладения основами учебной деятельности, усвоения новой социальной роли ­ роли ученика, для успешной адаптации шестилеток к школьной жизни. Проблема   преемственности   в   развитии   математического   образования школьников весьма актуальна. Являясь одним из дидактических принципов 10 обучения, преемственность характеризуется требованиями, предъявляемыми к   основным   компонентам   педагогической   системы   и   обеспечивающими сохранение качества и углубления содержания при переходе от одной ступени обучения   к   другой.   Принцип   преемственности   предполагает   установление необходимых связей и правильных соотношений между различными частями учебного материала и организацией учебного процесса на разных ступенях его изучения. С изменением целей обучения принцип преемственности сохраняется. Преемственность рассматривается не только как усложнение содержания и увеличения объема передачи эффективных способов деятельности. Изменение   содержания,   принципа   преемственности   требует   иных подходов к построению школьного курса математики. Общая цель современного математического образования школьников – формирование   всесторонне   образованной   и   инициативной   личности,   до сознания   которой   доведена   система   взглядов,   идейно­нравственных, культурных   и   эстетических   принципов,   норм   поведения,   которые в   ходе   учебно­воспитательного   процесса   и   готовят складываются  подрастающее   поколение   к   активной   деятельности   и   непрерывному образованию в быстро меняющемся мире. Образование   в   XXI   веке   все   меньше   связывается   с   конкретным временным   моментом   или   периодом,   в   который   приобретаются   знания   и умения.   Оно   становится   не   только   потенциалом   успеха   в   повседневной деятельности,   но   и   функцией,   и   средством   управления.   Такая   роль образования сегодня определяется динамикой развития, резким усложнением  безопасности   жизнедеятельности, проблем   (экологии,   качества   жизни, конкуренции,   изменения   структуры   интересов   и   пр.).   Само   развитие производства и общества требует непрерывного образования, а это означает необходимость “включения” его в повседневную деятельность человека. 11 Современное образование призвано обеспечить у школьника готовность к дальнейшему развитию. Это, значит, «учить детей так, чтобы даже самые глубокие изменения в  окружающем мире  не смогли поставить их в тупик. Ориентировать ребенка на возможное обучение, в создании которого ему так или   иначе   придется   участвовать,   а   не   на   мифологическое   прошлое, продолжающее жить в виде стереотипных формул, рекомендаций и установок, и даже не на многоликое, еще как следует не осмысленное настоящее – мы все равно не угадаем, что из него останется жить завтра и послезавтра». Необходима ориентация на творческое начало в  учебной деятельности школьников, в частности, на потребность и умение самостоятельно находить решение не встречавшихся ранее учебных и внеучебных задач. Проект  Федерального  компонента  государственного  образовательного стандарта   предполагает   необходимость   сохранения   традиционной   для российской школы ориентации учащихся на приобретение фундаментальных знаний   и   умений,   составляющих   основу   миропонимания,   на   всемерное развитие математического мышления. Предполагается знакомство учащихся с   теориями, некоторыми   основными   концепциями   и   гипотезами   математической   науки,   с   методами   ее закономерностями,   учениями, исследования   и   языком   математики.  В   ней   получают   дальнейшее   развитие такие   сквозные   направления,   как  гуманизация,  социология,  философия, которые должны  способствовать формированию  общей  культуры  молодого поколения. Поскольку  проект  стандарта   предполагает   изучение   математических знаний на всех трех ступенях обучения, математические знания в начальной школе   должны   “вплетаться”   в   существующие   системы   основной   школы.   В процессе изучения математики в сознании школьников должна формироваться математическая картина мира, которая отражает представления человека о пространственных формах и количественных отношениях – от простейших, 12 усваиваемых   в   непосредственном   опыте   людей,   до   достаточно   сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Она является, несомненно,   основополагающим   элементом   математической   культуры человека. Математическая культура учащихся формируется на протяжении всего   школьного   образования.   К   элементам   математической   культуры относят,   в   частности,   овладение   языком   научных   фактов   –   основой эмпирических знаний. Язык математических названий во многом определяет особенности математического языка в целом. [50] Знание   определенного   объема   математической   номенклатуры   служит одним   из   признаков   математической   культуры.   Теоретические   знания объективно сложнее эмпирических, поэтому для учащихся начальной школы наиболее  доступными  будут   именно   эмпирические   знания.   Следовательно, уже   на   первой   ступени   обучения   математическим   знаниям   должны   быть заложены элементы математической культуры. Применительно к обучению математическим знаниям в начальной школе на сегодняшний день остается нерешенным вопрос об оптимальной сложности изучаемого   материала.   В   дидактике   имеется   несколько   показателей сложности учебного материала, в частности отношение к теоретическому и   сложнее. эмпирическому   уровню   познания. Соотношение доли эмпирических знаний относительно доли теоретических в   Теоретические   знания, содержании   начального   обучения   –   одна   из   ключевых   проблем преемственности между начальной и основной ступенями обучения. Для развития познавательного интереса у учащихся содержание должно включать темы, требующие обсуждения какой­либо нравственной проблемы,   Следовательно, ценностной   ориентации   или   принятия   решения. математическое   содержание   для   начальной   школы   должно   отбираться   с учетом   идеи   гуманизации   и   идеи   практической   направленности 13 математического образования, как в формировании знаний, так и умений, по возможности приближенных к реальным жизненным ситуациям. [50] Такой подход к построению содержания в начальной школе согласуется с целями математического образования в основной школе и начальной. Преемственность, как философская категория, есть одно из проявлений законов   и   закономерностей   диалектики   и   определяется   как   «связь   между различными этапами или ступенями развития, сущность которой состоит в сохранении элементов целого или отдельных его характеристик при переходе к новому состоянию» [2]. Преемственность предполагает сохранение из старого всего ценного и рационального,   без   чего   новое   не   может   существовать,   но   это   не   простое сохранение,   не   механическое   повторение   элементов   старого   в   новом,   а сохранение их в переработанном виде. Занимая место старого, сохраняя в нем все ценное, положительное, новое выступает как более высокое качественное образование. Проявляясь   в   природе,   обществе   и   познании,  преемственность   носит объективный и всеобщий характер. Она выступает не как случайный процесс, а как необходимое, закономерное явление, обеспечивающее поступательный характер развития. При отсутствии преемственности в изменении чего­либо не может быть и речи о его развитии [26]. В своей работе «Роль исторической преемственности в развитии науки» Г. Н. Исаенко[29] говорит по этому поводу: «Новое не возникает на пустом месте, не образуется из ничего. Оно имеет глубокие корни в прошедшем этапе развития,   порождается   прошлым,   вырастает   из   ушедшего,   как   дерево   из семени, и, в свою очередь, содержит в себе зародыши будущего. Поэтому, отсутствие   при   изменении   какого­либо   предмета,   вещи,   явления   элемента преемственности   говорит   либо   о   метафизическом   уничтожении   данного предмета, вещи, явления, либо о пустом топтании на месте, либо о таких 14 превращениях   их,   которые   также   не   являются   процессом   развития. Преемственность ­ это необходимая черта, характеризующая поступательный характер развития» [9]. Понятие развития в науке неразрывно связано с понятием системы: все системы   в   природе   и   обществе   находятся   в   состоянии   развития   и   не существует процессов развития, которые могли бы происходить вне какой­ либо системы. Система   в   науке   определяется   как   совокупность   взаимосвязанных элементов,   взаимосодействующих   друг   другу   в   выполнении   определенной функции.   Поведение   систем   подчинено   принципам   целостности   и структурности. Это значит, что оно зависит не столько от свойств отдельных элементов, сколько от их места и функций внутри целого и от свойств общей структуры системы. Система всегда имеет более или менее упорядоченную структуру, в которой имеются разные уровни, на которых расположены её элементы,   и   горизонтальные   и   вертикальные   связи   между   элементами. Горизонтальные   связи   связывают   элементы   одного   уровня,   вертикальные   ­ разных уровней [55]. Диалектика рассматривает преемственность по отношению к системам, то   есть   по   отношению   к   таким   «объектам»,   в   которых   можно   выделить внутреннюю структуру. Когда выделена структура, тогда сопоставление двух её   различных   состояний   позволяет   установить,   какие   элементы   и   связи системы   трансформировались,   а   какие   удержаны,   сохранены,   то   есть преемственно перешли в новое состояние. В структуре системы могут быть представлены   как   сложные,   крупные   блоки,   так   и   отдельные   элементы   и связи.   Выделение   элементарного   акта   проявления   преемственности   между различными   структурами   системы   обусловливает   всеобщность преемственности, которая заключается  в том, что вопрос об исследовании преемственности между крупными блоками системы или между отдельными 15 её элементами рассматривается с единых методологических позиций, т. к. в том   или   другом   случае   можем   представить   рассматриваемые   объекты   в определенной  системе. Например, преемственность  в  культурном  наследии разных эпох и преемственность между различными этапами одного урока. При   анализе   специфики   преемственности   в   зависимости   от   типов   Э.А.Баллер   [7]   прежде   всего   выделяет   «две   формы развития, преемственности:   преемственность   на   одном   уровне   и   преемственность   на различных на различных уровнях. Преемственность на одном уровне связана с количественными изменениями (эволюцией). Преемственность на различных уровнях характерна для качественных изменений (скачков)» [55]. Преемственность   на   одном   уровне   наблюдается   при   изменениях, происходящих   в   рамках   данного,   относительно   неизменного   качества,   и основное   содержание   преемственности   составляет   сама   структура.   Здесь сохраняется,   удерживается   организация   объекта.   Например,   процесс обучения   учащихся   в   течение   одного   учебного   года   можно,   в   какой­то степени рассматривать как реализацию преемственности на одном уровне. Преемственность   на   разных   уровнях   связана   с   качественными изменениями,   с   изменениями   в   структуре   и   организации   объекта,   и содержанием   преемственности   являются   лишь   отдельные   элементы, составляющие   связи   системы.   Например,   переход   из   начальной   школы   в среднюю можно рассматривать как осуществление преемственности на разных уровнях, так как в рассматриваемом случае происходит изменение структуры и организации обучения. Согласно   этому,   в   процессе   количественных   изменений   именно преемственность структуры является определяющей чертой развития, тогда как   в   процессе   качественных   изменений   определяющей   чертой   развития является преобразование структуры, а преемственность здесь выражается в 16 том,   что   на   каждом   последующем   этапе   изменяется   структуру предшествующего этапа. Качество   входящих   в   систему   структурных   элементов,   качество уровней   и   количество,   разнообразие   и   упорядоченность   связей   между элементами   определяют   степень   организации,   а,   следовательно,   степень развития системы. Все эти три тесно взаимосвязанных понятия характеризуют степень   внутренней   расчлененности   и   дифференцированности   структуры систем. Вместе с тем, чем более дифференцированна эта структура, тем более дифференцированно   и   разнообразно   поведение   системы   в   зависимости   от нюансов внешних и внутренних условий. Поэтому ясно, что более развитые и высокоорганизованные дифференцированными и по своей структуре, и по своему поведению [35]. являются всегда   системы   более     Таким образом, везде, где имеет место развитие, оно идет от состояний меньшей   дифференцированности   систем   к   состояниям   все   большей   их дифференцированности   и   иерархической   упорядоченности.   Это   положение получило статус ортогенетического принципа или закона развития. В   связи   с   этим   в   диалектике   вводят   два   типа   преемственности:   соответствующая   прогрессивным, поступательная   преемственность, поступательным   изменениям   и   инволюционная   преемственность, соответствующая   инволюционным,   регрессивным   изменениям.   «Сущность поступательной   преемственности   состоит   в   сохранении   и   развитии   на качественно   новых   уровнях   положительных   результатов,   достигнутых   на предшествующих   этапах.   Особенность   инволюционной   преемственности состоит в том, что сохранение определенных качеств изменяющейся системы сопровождается   вместе   с   тем   исчезновением,   утратой   тех   или   иных признаков,   некоторых   результатов,   достигнутых   ранее   в   процессе поступательного развития»[38] 17 Итак,   всеобщий   универсальный   принцип   или   закон   развития   систем состоит   в   том,   что   сложная   большая   развитая   система   никогда   не складывается, как из кирпичиков, из отдельных элементов. Она дробиться на элементы   в   процессе   своего   развития,   расчленяясь   на   все   более   и   более мелкие   части   с   все   более   и   более   специфическим   строением   и специализированными функциями. Категория преемственности, как необходимое условие развития систем в соответствии с всеобщим законом, имеет исключительно большое значение в развитии науки, культуры, образования. Так,   в   теории   числовых   систем   преемственность   выступает   как единство развития исторического и логического. Практическая деятельность человека, с одной стороны, и внутренние потребности математики ­ с другой, определили развитие понятия числа. Обобщенное   определение   преемственности   было   дано   В.А. Кругликовым   в   Большой   Советской   Энциклопедии.   Здесь   понятие преемственности   трактуется   как   «связь   между   явлениями   в   процессе развития,   когда   новое,   снимая   старое,   сохраняет   в   себе   некоторые   его элементы» [14]. «Преемственностью в обучении называется установление необходимой связи   и   правильного   соотношения   между   частями   учебного   предмета   на разных ступенях его изучения. Преемственность должна охватывать не только отдельные учебные предметы, но и отношения между ними». Анализ   педагогической   литературы   показывает,   что   понятие преемственности   достаточно   широко,  поэтому   в  образовательном   процессе можно выделить следующие компоненты преемственности. Все компоненты необходимо рассматривать во взаимосвязи и взаимовлиянии [61]. Целевая   преемственность  ­   согласование   целей   и   задач   обучения, воспитания и развития на разных ступенях образовательного процесса. 18 Содержательная   преемственность  ­   создание   согласованных   учебных планов,   разработка   «сквозных»   линий   в   содержании   на   разных   ступенях образовательного процесса. Содержательная преемственность обеспечивается через федеральный компонент программы. Технологическая   преемственность   ­   отбор   общих   для   всех   ступеней образовательного процесса форм, средств, приемов обучения и воспитания. Психологическая   преемственность   ­   совершенствование   форм организации учебно­воспитательного процесса и методов обучения с учетом общих возрастных особенностей. Психологическая преемственность влияет на все остальные компоненты и во многом определяет успешность адаптации учащегося в основной школе. В то же время, технологическая преемственность, будучи одним из главных компонентов,   во   многом   зависит   от   всех   остальных,   при   этом   оставаясь наиболее   уязвимой   и   менее   подверженной   контролю.   Целевой   и содержательный компоненты преемственности взаимосвязаны между собой и оказывают непосредственное влияние на технологическую компоненту. На практике целевой и содержательный компоненты преемственности   Успешность   образовательные   программы. определяются   через психологической преемственности во многом зависит от личности учителя и от степени сотрудничества учителей начальной и основной школы, поэтому реализация   этого   компонента   носит   отчасти   субъективный   характер. Технологическая   преемственность   наиболее   сложный   компонент   для реализации, поскольку на нее влияют все остальные компоненты. В заключении важно отметить, что проблема преемственности между дошкольным   и   начальным   образованием   особенно   актуальна   в   настоящее время   из­за   нарушения   преемственных   связей   по   основным   компонентам образовательной   системы.   Принятие   новых   Федеральных   Государственных 19 Образовательных Стандартов (ФГОС) школьного образования – важный этап преемственности деятельности в системе образования. В работе предполагается изучение преемственности в обучении. 1.2. Основные направления в исследованиях преемственности обучения Одним из важных направлений преемственности в обучении   является педагогический   мониторинг   и   диагностика   качества   обучения.   Анализ процесса   внедрения   вариативных   систем   начального   образования свидетельствует,   что   их   реализация   невозможна   без   диагностико­ технологического   обеспечения,   которое   позволяет   определить   проблемы   и трудности в обучении и организовать необходимую коррекционную работу с применением эффективных технологий. Как писал Аристотель «… развитие навыков должно предшествовать развитию   ума».   Навык   здесь   рассматривается   как   необходимое   условие развития ума, а их совершенствование ­ как важная составляющая  развития детей,   в   итоге   приводящая   к   успешности   их   в   обучении.   Из   множества определений   обучения   наиболее   точным,   по   нашему   мнению,   является «формирование   умений   и   навыков,   усвоение   знаний».   Последнее обстоятельство   определяет   выбор   характера   упражнений.   На   этапе обеспечения   эмоционального   настроя   лучше   использовать   самые   простые упражнения по уяснению цели, ориентировке в предстоящей деятельности, накоплению словарного запаса, освоению терминологии, основных понятий; для развития речи надо использовать рассказ и пересказ, то есть репродукцию материала; прежде чем самостоятельно усваивать знания, надо поработать над учебными   умениями,   что   способствует   развитию   воли;   только   после названных ступенек можно успешно усваивать знания, одновременно работая 20 над   развитием   мышления   и   воспитанием   нравственности.   Задавшись определенными   критериями   для   оценки   признаков   преемственности   в обучении, можно рассчитать частоту проявления каждого из них для любой совокупности   учащихся,   то   есть   количественно   оценить   состояние   общего образования в классе, школе, городе. [60] Преемственность   в   обучении   –   установление   необходимой   связи   и правильного   соотношения   между   частями   учебного   предмета   на   разных ступенях   его   изучения;   понятие   преемственности   характеризует   также требования, предъявляемые к знаниям и умениям учащихся на каждом этапе обучения, формам, методам и приемам объяснения нового материала и ко всей   последующей   работе   по   его   усвоению.   Преемственность   в   изложении учебного   материала   и   выборе   способа   деятельности   по   овладению   этим содержанием   происходит   с   учетом   следующих   факторов:   содержания   и логики математической науки и закономерностей процесса усвоения знаний. Преемственность   должна   осуществляться   и   между  видами   деятельности учащихся при усвоении учебного материала. Учащиеся должны выступать не как объект обучения, а становиться субъектами учебной деятельности. Выполняя задания, совершая поиск ответа, учащиеся от урока к уроку получают возможность наблюдать, размышлять, применять волевые усилия. Одновременно   учитель   должен   продолжать   развивать   у   учащихся   умения: анализировать   и   систематизировать,   абстрагировать   и   конкретизировать, классифицировать и группировать. Принцип   обучения   на   высоком   уровне   трудности   предусматривает создание   в   процессе   обучения   таких   условий,   при   которых   овладение   умениями   и   навыками   происходит   с знаниями, интеллектуальных знаний и эмоциональных сил, а также воли.  напряжением Принцип   ведущей   роли   при   обучении   теоретическим   знаниям   в значительной   мере   определяет   содержание   учебного   материала,   которое 21 обеспечивает   обучение   на   высоком   уровне   трудности.   Этим   материалом являются   математические   понятия,   их   отношения,   свойства,   законы   и закономерности.   Особое   место   отводится   усвоению   терминов,   так   как   за каждым термином стоит понятие со всеми его существенными признаками. Ученики   познают   теоретический   материал   в   процессе организованной   учителем   поисковой   деятельности,  специально   основанной   на анализирующем наблюдении, сравнении, сопоставлении. Принцип   изучения   программного   материала   быстрыми   темпами ориентирует учителя на построение учебного процесса в соответствии с этой закономерностью   умственной   деятельности.   Смысл   принципа   осознания школьниками   самого   процесса   учения   и   себя   в   нем   заключается,   в определенной степени, в познании пути протекания учебной деятельности, ее закономерностей.   Для   реализации   этого   принципа   на   уроке   создавать ситуации, в которых ученик должен выполнять  самоконтроль, самооценку, самоанализ,   что   постепенно   приводит   его   к   осознанию   своей   учебной деятельности, а затем и своего внутреннего мира. Принцип   работы   над   развитием   всех   учащихся,   как   сильных,   так   и слабых,   предусматривает   создание   при   обучении   условий   для   развития каждого ученика. Задания необходимо строить так, чтобы при работе над тем или иным вопросом как для сильных, так и для слабых учеников нашлась бы посильная и полезная работа, которая способствовала бы их продвижению в развитии. Задача   школы   научить   учащихся   мыслить,   учиться,   действовать творчески. На учителя возлагается обязанность квалифицированно решать эти задачи. [60] Диалектическая взаимосвязь преемственности и развития относится в полной   мере   к   формам   человеческого   познания:   восприятию,   памяти, мышлению, воображению. 22 Многие психологи изучали процесс формирования понятий у ребенка (Н.А.Менчинская   [45],   Д.Н.Богоявленский   [13],   В.В.Давыдов   [24]   и   др.)   и стремились   установить,   как   надо   формировать   нужные   понятия   у   детей   в учебной работе. Несмотря на различие предлагаемых исследователями путей, ясна необходимость подвести детей к выделению в разных предметах общих существенных   признаков.   Для   образования   понятия   ребенок   должен научиться обобщать, опираясь на общность существенных признаков разных предметов.   Трудности   выделения   и   распознавания   объекта   по   его существенным   признакам   часто   приводят   детей   к   неудаче   в   установлении соподчиненности   понятий.   На   этот   факт   обратил   специальное   внимание Ж.Пиаже. Что   же   касается   слова,   этой   единственной   формы   существования понятия, то введение соответствующих терминов в программу современного начального обучения показало не только доступность их усвоения детьми 7 ­ 10­летнего   возраста,   но   и   высокую   эффективность,   а,   следовательно,   и необходимость их включения в учебную работу младших школьников. Координацию   требований   преподавателей   различных   учебных предметов к учащимся, соблюдение преемственности в изучении не только отдельных   тем,   но   и   учебных   предметов,   преемственности   обучения   в младших, средних и старших классах [63]. По   мнению   А.В.Усовой,   Ю.К.Кустова,   преемственность   в   обучении   а   следует нельзя   ограничивать   систематичностью   и   научностью, рассматривать   как   самостоятельный   дидактический   принцип   [65].   Такая опора на пройденное, такое использование и дальнейшее развитие у учащихся знаний, умений и навыков, при которых у учащихся создаются разнообразные связи, раскрываются основные идеи курса, взаимодействуют старые и новые знания,   в   результате   чего   у   них   образуется   система   прочных   и   глубоких знаний. 23 Мендыгалиева   А.К.   утверждает,   что   преемственность   в   обучении «состоит   в   установлении   необходимой   связи   и   правильного   соотношения между частями учебного предмета на разных ступенях его изучения. Понятие преемственности характеризует также требования, предъявляемые к знаниям и умениям учащихся на каждом этапе обучения, формам, методам и приемам объяснения нового учебного материала и ко всей последующей работе по его усвоению [44]. Автор понимает преемственность в обучении как связь между этапами работы   учителя   по   развитию   личности   ученика,   достигаемую   тем,   что   в процессе обучения учитывается не игнорируется, а используется достигнутый учениками уровень развития, образования, воспитания в целях дальнейшего непрерывного совершенствования [38]. В работе отмечается важное значение «вычленения различных аспектов»   воспитательного, преемственности   в   обучении:   дидактического, психологического, организационно­педагогического, социального. По мнению автора,   «преемственность   между   ступенями   будет   успешной»,   если:   при определении целей обучения выявляются различия, а так же закономерные противоречия   между   требованиями   к   усвоению   знаний   и   развитию, предъявляемые   к   ученикам   на  разных   этапах   обучения;   учебный   материал преподносится в возможно более широких и разносторонних связях, которые обеспечиваются   логической   последовательностью   изложения   материала, применением   познавательных   задач,   вопросов,   упражнений   на   сравнение, сопоставление, классификацию, способствующих переосмыслению знаний и осознанию   учащимися   трансформации   знаний,   их   усложнения;   проводится разностороннее   выявление   результатов,   полученных   в   ходе   усвоения,   для учета их в новом цикле процесса обучения. В работе Ковпак И.О. преемственность в обучении рассматривается с позиции перспективности и ретроспективности, и преемственность в усвоении 24 системы знаний учащимися начальных и средних классов определяется как взаимодействие   перспективных   и   ретроспективных   связей   в   учебной деятельности   школьников.   К   педагогическим   условиям   осуществления преемственности   в   усвоении   системы   учебного   материала   учащимися начальных   и   средних   классов   автор   относит:   наличие   системы   в   знаниях младшего школьника; ознакомление учащихся начальных классов с идеями учебного   материала,   изучаемого   в   последующих   классах;   формирование   у учеников начальной школы умения делать самостоятельно вывод из данной совокупности   знаний   и   применять   знания   в   измененных   условиях,   и   дает рекомендации учителю по соблюдению этих условий, основная идея которых заключается в следующем [35]:  1) «собирать» опорные конспекты в виде рисунков, схем, памяток и т.д. по принципу укрупнения информации в «Тетради для справок»;  2) обучать младших школьников умению самостоятельно делать выводы и применять знания в разнообразных условиях;  3) на обобщающих уроках знакомить  учеников с развитием  знаний о новых   идеях,   вводить   в   уроки   элементы   опережения,   использовать внеклассные занятия для более подробного разъяснения;  4)   в   четвертом   классе   выделять   несколько   уроков   на   повторение узловых вопросов за начальную школу, используя «Тетради для справок»;  5)   практиковать   самостоятельное   ознакомление   учеников   четвертых классов   с   тем   учебным   материалом,   который   непосредственно   основан   на знаниях и умениях за начальную школу;  6)   создавать   познавательные   перспективы   для   учеников   средних классов, знакомя с идеями старших классов. Анализ дидактических работ по проблеме преемственности позволяет констатировать,   что   при   выявлении   общих   закономерностей   процесса обучения,   дидактическая   наука   придавала   большое   значение   понятию 25 преемственности,   которая   рассматривалась   как   необходимое   условие формирования у учащихся прочных знаний, умений и навыков. Теоретическое осмысление   понятия   преемственности   обучения   с   точки   зрения   развития учащихся, формирования их личности, необходимости вычленения в понятии   дидактического, преемственности   обучения   различных   аспектов: воспитательного,   психологического,   организационно   ­   педагогического, социального, на дидактическом уровне делает только первые шаги. На методическом уровне основным предметом исследования проблемы преемственности явилось содержание математического образования, так как оно занимает ведущее положение по отношению ко всем другим компонентам процесса обучения и, как отмечает Калиниченко А.В. «является связующим звеном между преподаванием и учением» [32]. Начиная   с   70­х   годов,   в   связи   с   введением   новых   программ   по математике для начальной и средней школы, методические исследования по проблеме   преемственности   были   связаны   с  поиском   преемственных   связей между двумя ступенями обучения: начальными классами и средним звеном. Это было обусловлено прежде всего введением нового курса «Математика», который изучался в начальной и средней школе. Исследования по проблеме преемственности сыграли огромную роль в содержательном   обогащении   начального   математического   образования   и способствовали повышению его теоретического уровня. Углубление преемственных и перспективных связей путем «некоторого усиления элементов арифметической теории в начальных классах» должно проходить в следующих направлениях в следующих направлениях:  1)   углубить   и   расширить   знания   учащихся   третьего   класса   о натуральных числах и нумерации;  2)   при   обучении   элементам   арифметической   теории,   относящейся   к сложению   и   вычитанию,   во   всех   классах   с   первого   по   четвертый   изучать 26 сочетательный   закон   сложения,   который   совместно   с   переместительным законом обосновывает устные и письменные вычисления;  3)   при   обучении   элементам   теории,   относящейся   к   умножению   и делению, во втором классе ввести распределительный закон умножения не только   относительно   сложения,  но   и  вычитания;   в   третьем   классе   изучать сочетательный   закон   умножения,   который   обосновывает   умножение   чисел, кратных   разрядным   единицам;   в   третьем   классе   изучать   свойство   деления произведения   на   число,   которое   дает   возможность   обосновывать   устное   и письменное деление круглых чисел» [53]. Необходимость комплексного системного подхода для характеристики преемственности   обучения,   учитывающего   все   компоненты   методической системы (цели, содержание, методы, средства, формы обучения), подчеркивал А.М.Пышкало.   Сформулированные   им   принципы   условия   развития методической науки не потеряли своей актуальности и на современном этапе [52]. Принцип   преемственности   говорит   о   том,   что   совершенствование методической   системы   обучения   математике   должно   отправляться   от сложившейся   в   школе   системы   обучения   и   воспитания   учащихся   и органически входить в эту систему. С точки зрения выяснения методических аспектов   преемственности   в   обучении   математике   играет   роль   не   только принцип,   который   определен   и   назван   принципом   преемственности. «Нетрудно   заметить,   что   каждый   из   описанных   весьма   кратко   принципов совершенствования методической системы обучения математике  неизменно должен учитываться при любом подходе к изучению как «внешних», так и «внутренних» интерпретаций и модификаций проблемы преемственности».   Более   глубокое   понимание   проблемы   преемственности   может   стать серьезным орудием в методических исследованиях.  Эти слова подчеркивают 27 значение преемственности, как инструмента, позволяющего проникнуть в суть методических проблем, исследовать их, совершенствовать и развивать [59]. Для   более   глубокого   понимания   преемственности   Сизова   М.Н. предлагает соотносить такие понятия как [54].: Преемственность и повторение. «...Далеко не всякое повторение может обеспечить   преемственность   в   процессе   развития   понятия   или   системы понятий.   Если   мы   хотим,   чтобы   преемственность   осуществлялась   по существу, а не по форме, то повторение должно быть органически включено в новую   тему   и   по   мере   развития   темы   должно   соответственным   образом меняться,   не   сводясь   лишь   к   механическому   повторению   одних   и   тех   же упражнений». Преемственность   и   пропедевтика.   Правильно   решить   вопрос   о пропедевтике   можно   лишь   во   взаимосвязи   с   понятием   преемственности. «Понимание преемственности поможет выделить существенные части темы и расположить их так, чтобы ее прохождение представляло в полном смысле слова   развитие   с   надлежащим   образом   установленными   связями   между отдельными частями и этапами изучения». Преемственность и «переучивание». В данном случае «переучивание» заключается   не   в   изменении   неправильно   сформированного   понятия,   а   «с показом   учащимся   разных   точек   зрения   на   один   и   тот   же   предмет... «Переучивание»   не   только   не   вредно,   но   необходимо   и   полезно   для правильного осуществления преемственности». Сурикова   М.А.,   исследуя   преемственные   связи   процесса   обучения основам   наук   в   школе,   разделил   эти   связи   на   внутрипредметные   и межпредметные, отметив при этом, что «раскрытие сущности и структуры тех и   других   связей   представляет   определенный   интерес   на   основе   их   единой классификации». Используя классификацию преемственных связей на уровне знаний   и   видов   деятельности,   Сурикова   М.А.   отмечает   положительные 28 стороны изучения этих связей на уровне знаний и говорит о том, что «слабо изучены или неполно реализуются отдельные стороны преемственных связей обучения   математике   в  школе   на   уровне   видов   деятельности,  в  частности осуществление   внутрепредметных   связей   посредством   методов   обучения» [58]. В дискуссии, развернувшейся на страницах журнала «Начальная школа» в связи с публикацией статьи «О необходимости улучшения программы по математике для четырехлетней начальной школы», также нашли отражение вопросы преемственности и возможные пути их решения [61]. Авторы   данной   статьи   предлагают   решить   вопросы   преемственности путем   ознакомления   «детей   в   соответствующих   местах   с   рядом отсутствующих   сейчас   в   программе   понятий,   таких   как:   объем прямоугольного параллелепипеда, признаки делимости на 2, 5, 10, задачи на построение с помощью транспортира, циркуля и линейки, задачи на проценты с   круглыми   числами,   без   которых   математика   начальных   классов   не математика». Считая такой путь решения проблемы преемственности не приемлемым, Шадрина   И.В.   пишет,   что   «скорее   всего,   решение   задач   преемственности начальных   и   средних   классов   нужно   искать   не   столько   на   пути   простого переноса тех или иных тем из старших классов в начальную школу, сколько на пути улучшения качества обучения и его развивающих функций» [69]. С   проблемой   исследования   методических   аспектов   преемственности тесно связаны работы, посвященные формированию тех или иных понятий у школьников. В   русле   проводимого   исследования   особый   интерес   представляет работа   В.М.Кухарь   (1955   г.)   «Развитие   понятия   числа   в   средней   школе». Несмотря   на   свою   давность,   она   содержит   материал,   который   не   потерял актуальности   и   на   современном   этапе.   Подчеркивая   исключительную 29 важность   реализации   идеи   развития   понятия   числа   в   школьном математическом   образовании,   автор   отмечает,   что   эта   идея   часто недооценивается   методистами.   Комментируя   свои   мысли   в   русле проводимого   исследования,   он   указывает   на   целый   ряд   недостатков   из школьной практики: «Далеко   не   всегда   проводится   подготовительная   работа   к   введению новых чисел: а) к осознанию необходимости введения новых чисел в связи с требованиями   практики   (в   широком   смысле   слова);   б)   к   осознанию   идей, лежащих   в   основе   расширения   понятия   о   числе,   путем   систематизации основных сведений об известных уже числах. Исторический обзор развития понятия о каждом виде чисел часто или совсем не дается, или же учащимся сообщаются ряд оторванных друг от друга сведений,   не   объединенных   одной   общей   идеей.   Внимание   их   нередко фиксируется   на   второстепенных   фактах,   в   то   время   как   главные, принципиальные   в   идейно­теоретическом   отношении   вопросы   остаются невыясненными. Отдельные   виды   чисел   рассматриваются   разобщено.   После   введения новых   чисел   недостаточно   уделяется   внимания   обобщению   понятия   числа, выяснению   взаимосвязи   между   известными   числами   и   введенными,   их общности и особенностей. Нередко понятие о новых числах вводят наспех, стараясь   не   слишком   привлекать   к   этому   внимание   учащихся   и   быстрее перейти к действиям. При изучении действий в расширенной числовой области часто главное внимание обращают на усвоение учащимися техники действий, не выясняя вопроса их обоснования. Не всегда выясняется практическое применение введенных чисел и его роль в дальнейшем развитии понятия числа. 30 Полученные   учащимися   сведения   о   тех   или   иных   числах   не   всегда закрепляются   и   углубляются   в   процессе   изучения   последующих   разделов математики». Мы полагаем, что каждый из этих недостатков в той или иной мере связан   с   проблемой   преемственности,   сущность   которой   на   методическом уровне проявляется в методике формирования понятий. Второй работой, которая непосредственно связана с числовой линией курса   математики   5­6   классов   является   диссертационное   исследование А.В.Шевкина   (1991   г.).   Несмотря   на   большой   временной   разрыв,   который разделяет   эти   исследования,   А.В.Шевкин   также   отмечает,   что   «учащиеся усваивают правила действий, однако идея развития числа не осознается ими, остается в тени» [71]. В   исследовании   представлен   комплекс   дидактических   условий, учитывающих   содержательный   и   процессуальный   аспекты   преемственности   К   характерным   признакам   содержательной обучения   математике. преемственности в обучении учебному предмету автор относит [Воителева, Калинина, c.89]:  «Единообразие   в   трактовке   понятий,   в   терминологии,   в используемом языке; Постепенное   повышение   уровня   абстракции   при   развитии понятий;   Системность в изучении понятий; Использование   на   каждом   последующем   этапе   предметных   знаний, умений и навыков, полученных учащимися на предыдущем этапе, то есть актуализация опорных результатов обучения; Перспективный   характер   обучения,   то   есть   возможность   на каждом   предыдущем   этапе   закладывать   основы   обучения   предмету   в дальнейшем и, таким образом, ориентировать на требования будущего». К признакам процессуальной преемственности автор относит:  «Учет ведущего типа деятельности в каждом классе; 31  Взаимосвязь   в   методах,   формах   средствах   обучения,   то   есть применение в начальных классах форм, методов и средств, используемых при обучении в 5­6 классах и учет в 5­6 классах тех форм, методов и средств, которые использовались в начальных классах». Непременным условием реализации преемственности является единство содержательного   и   процессуального   аспектов   обучения.   Так   же   автором разработаны требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся по каждому из   классов   начальной   школы,   предусматривающие   поэтапную   реализацию преемственности в обучении математике. Проведенный   анализ     показывает,   как   в   педагогической   науке развивалось   и   обогащалось   само   понятие   «преемственность   обучения»   на дидактическом и методическом уровнях. Не вызывает сомнения., что в свете понимания математического образования как процесса становления личности человека   посредством   овладения   им   основами   математических   знаний   и умений математической деятельности, для характеристики преемственности в обучении   необходим   комплексный,   системный   подход,   в   котором   находят отражение: логика построения основных содержательно методических линий курса,   учитывающая   взаимосвязь   и   развитие   изучаемых   школьниками понятий,   психологические   основы   развитие   мышления   учащихся, формирования учебной деятельности. Реализация этого подхода при изучении натуральных чисел и дробей в начальной школе и 5­6 классах основной школы потребовала   анализа   состояния   преемственности   в   практике   обучения математике на этих двух образовательных ступенях. 1.3 Анализ состояния и проблемы преемственности в практике обучения 32 На современном этапе развития общества обнаруживается стремление к консолидации социальных институтов, упорядочиванию взаимосвязей между ними и внутри них. В связи с этим становится понятным усиление внимания к развитию института образования как социальной структуры, имеющей прямое или косвенное отношение к другим институтам, осознание необходимости его реформирования с позиций непрерывности.  В Национальной доктрине образования в РФ до 2025 г. подчеркивается, что   приоритетной   задачей   системы   образования   является   непрерывность образования   в   течение   всей   жизни   человека,   которая   в   свою   очередь обеспечивается   преемственностью   различных   уровней   и   ступеней образования. Для реализации этой задачи государство призвано обеспечить решение целого   комплекса   проблем,   что   постепенно   воплощается   в   федеральных государственных   стандартах   образования,   уровневой   дифференциации областей и ступеней образовательной системы и т. п. Очевидно, что простое декларирование в любой системе не означает ее беспроблемного развития. Для   уточнения   особенностей   преемственности   непрерывной   системы образования   следует   определиться   с   тем,   что   скрывается   под   терминами «непрерывность» и «преемственность», поскольку они тесно взаимосвязаны друг   с   другом   и   каждое   в   определенной   степени   обусловливает   развитие другого. Непрерывность — понятие методологическое, широко применяемое для характеристики явлений и процессов, протекающих в природе и обществе. Непрерывность противопоставляется прерывности, дискретности. Прерывность   в   системе   образования   ­   это   суть   ее   строения, совокупность   элементов:   возрастные   группы   и   классы;   содержание образования   на   начальной,   средней   и   высшей   ступенях   обучения; организационные условия образовательного процесса в разных учреждениях и пр.  33 Исходя из этого непрерывность в образовании ­ это такое условие его развития и саморазвития, в котором органично представлены согласованные уровни,   программы,   образовательные   учреждения   и   прочее   как   элементы системы   образования,   что,   с   одной   стороны,   обеспечивает   целостность образования   как   социального   института,   а   с   другой   ­   становится неотъемлемой   частью   жизни   индивида,   адекватной   процессу   личностного развития последнего.  Очевидно, что важнейшей сущностной характеристикой непрерывности образования является не только наличие уровней (ступеней) образовательной системы и соответствующих образовательных программ,но и особые средства, обеспечивающие связи между ними.  Таким необходимым средством связи форм и содержания образования выступает   преемственность.   Изучению   преемственности   в   образовании посвящены разноплановые работы по педагогике и методикам обучения.  Практически   все   известные   труды   открывают   пути   к   пониманию преемственности   с   позиций   дискретности   (прерывности)   системы образования.   Позитивно,   что   такой   подход   позволяет   обнаруживать несовпадения   в   содержательных   аспектах,   образовательных   формах   и технологиях и факторах, препятствующих стабильности и качественности в процессе получения образования. Однако необходимо констатировать, что в настоящее   время   такой   вариант   изучения   преемственности   является непродуктивным,   так   как   не   дает   ответа   на   вопрос   «В   чем   сущность преемственности   как   условия   непрерывности   образования?».   В   широком смысле   слова   преемственность   имеет   смысл   рассматривать   как   процесс   и результат последовательной и системной соподчиненности всех структурных уровней и ступеней образования, а также как процесс и условие непрерывного образования личности, обеспечивающие ее становление и развитие. 34 В   более   узком   смысле   преемственность   «позволяет   объединить   и иерархизировать отдельные учебные ситуации в единый целостный учебный процесс   постепенного   освоения   закономерных   связей   и   отношений   между предметами и явлениями мира». В   каждый   момент   времени   в   учебном   процессе   решаются   частные педагогические задачи, интеграция которых позволяет плавно переходить от предыдущих событий к последующим, от простых к более сложным формам познания, поведения и деятельности учащихся. В целом преемственность в системе   образования   будет   обеспечивать   непрерывное   воспроизводство, изменение и развитие самой образовательной системы на различных уровнях ее функционирования за счет баланса накопленных традиций и нововведений.   процесс Основываясь   на   положениях   педагогики   взаимодействий, преемственности   можно   обозначить   как   последовательную   смену   циклов социально­педагогических  взаимодействий,  которые   реализуются   в  системе образования.  При   этом   особая   роль   отводится   собственно   педагогическим взаимодействиям,   которые   разворачиваются   в   пространстве   нелинейно, взаимосвязано.  В   2003   г.   была   издана   Концепция   содержания   непрерывного образования   (дошкольное   и   начальное   звено),   которая   должна   была упорядочить   связи   между   детским   садом   и   начальной   школой   в   смысле преемственности.   Однако   этого   не   случилось,   возможно,   потому,   что   в концепции   заложено   специфическое   понимание   непрерывности   и преемственности:   «Непрерывное   образование   понимается   как   связь, согласованность и перспективность всех компонентов системы (целей, задач, содержания, методов, средств, форм организации воспитания и обучения) на каждой  ступени  образования  для  обеспечения  преемственности  в  развитии ребенка» [23]. 35 Сложилось   так,   что   именно   в   последние   десять   лет   нормативно закрепилась   другая   позиция,   требующая   понимания   преемственности   не столько   в   отношении   непрерывности   развития   человека,   сколько непрерывности в его образовании и образовательной системы вообще. Кроме того, подход, заложенный в обсуждаемой концепции, направлен на построение каждой ступени образования как автономной, являющейся собственно базой для   последующей,   а   это   усекает   понимание   преемственности   как двунаправленного   процесса.   В   связи   с   этим   необходимо   усилить   работу   в направлении исследования построения концептуальных и методологических оснований преемственности в едином образовательном пространстве РФ.  В   мезосфере,   составленной   взаимосвязями   локальной   системы образования   на   уровне   региона,   области,   муниципалитета   и   т.   д., преемственность   определяет   характер   сближения   вариативных образовательных   программ.   Как   известно,   Федеральные   образовательные стандарты   для   школ   и   вузов,   Федеральные   государственные   требования   в области дошкольного образования являются нормативными, обязательными документами,   предназначенными   для   реализации   всеми   субъектами   РФ, имеющими   порой   существенные   культурные   различия.   Именно   потому   в документах   подчеркивается,   что   каждый   регион,   каждое   образовательное учреждение имеет характерные особенности, что необходимо учитывать при разработке образовательных программ.  Например, при разработке образовательных программ для дошкольных образовательных   учреждений   рекомендуется,   чтобы   объем   обязательной части   программы   составлял   не   менее   80%   времени,   необходимого   для реализации программы, а части, формируемой участниками образовательного процесса, — не более 20% от общего объема программы. Часть, формируемая участниками   образовательного   процесса,   отражает   видовое   разнообразие учреждений,   наличие   приоритетных   направлений   деятельности,   специфику 36 национально­культурных,   демографических,   климатических   условий,   в которых осуществляется образовательный процесс [23]. Этот   пример   не   является   исключением   для   ступени   школьного   и высшего   образования   и   наглядно   показывает,   что   преемственность   в мезосфере   педагогических   взаимодействий   имеет   прежде   всего горизонтальный   вектор   интеграции   образовательной   системы   (взаимосвязь   основных   и различных   образовательных   учреждений, дополнительных образовательных программ одного образовательного уровня   организаций, и пр.).  Результатом   горизонтальной   преемственности   является последовательность   в   изучении   материала,   сформированность   целостного знания, единство образовательных технологий, схожесть методик обучения, т. е.   в   целом   сближение   образовательных   программ   с   учетом   конкретных условий   ближайшего   образовательного   пространства.   В   микросфере,   в непосредственной   связи   участников   образовательного   процесса,   следует говорить о преемственности, которая имеет место в работе учителей одного класса,  о   согласованности   воспитательных   позиций   родителей  и   учителя   в формировании нравственных качеств конкретного ребенка, о взаимодействии общеобразовательного   учреждения   и   учреждений   дополнительного образования   детей   и   т.   п.   Здесь   внимание   будет   акцентировано   на проектировании   технологий   учебных   предметов,   дидактических   условий   с учетом   динамики   познавательного   развития   обучающихся,   на   организации педагогического   процесса   в   конкретном   образовательном   учреждении (расписание и режим занятий, учебный план, план воспитательной работы и др.).  Вместе   с   четко   наметившейся   тенденцией   к   консолидации   в   рамках педагогических   взаимодействий   в   микросфере   происходит   и   обострение проблем, касающихся преемственности. Вероятно, это связано с трудностями 37 реализации   гуманистической   парадигмы   в   частных   случаях,   когда   доля нормирования интенсивно возрастает, тем самым закономерно снижая объем личностного вклада смотивированных на творческий подход лиц (педагогов, детей, родителей, руководителей системы образования и др.).   Одним   из   вариантов   решения   сложных   ситуаций   в   обеспечении преемственности   может   стать   формирование   ценностно   ­   ориентационного единства   в   отношении   всего   педагогического   процесса   как   в   отдельном педагогическом   коллективе,   так   и   в   микросоциуме   образовательного учреждения.   Это   обязательная   перспектива,   но   сегодня   она   читается   как задача будущего. Подводя итог, отметим, что преемственность в образовании детерминирована   социокультурной   ситуацией,   обеспечивает   целостность социально­педагогических,   психолого   ­   педагогических   и   собственно   характеризуется   последовательностью   и педагогических   процессов, одновременно   относительной   непрерывностью,   предполагает   постоянный мониторинг и при необходимости соответствующую коррекцию. Таким   образом,  в  первой   главе   были   рассмотрены   методологические   направления   в   исследованиях основы   преемственности   обучения, преемственности обучения, анализ состояния и проблемы преемственности в практике обучения. Успешность   реализации   преемственности   как   условия   обеспечения непрерывного образования в области усвоения дробных чисел определяется заинтересованностью,   согласованностью,   активностью   и   продуктивностью смежных   систем   ­   как   собственно   образовательных,   так   и   социальных.   В соответствии   с   этим   перспективными   должны   стать   разработки   общих   касающихся   изучения, положений   и   конкретных   рекомендаций, проектирования,   реализации,   отслеживания   продуктивности   форм   и содержания преемственности изучения в курсе математике дробных чисел в контексте непрерывности системы образования. 38 Анализ проблемы преемственности в обучении математике в начальной и основной школе показывает, что она остается в настоящее время одной из самых   актуальных   и   требующих   дальнейших   исследований.   Обращаясь   к проблеме   преемственности   различных   этапов   образования   в   рамках общеобразовательной школы, автор показывает, что наиболее остро она стоит   в   период   перехода   учащихся   из   начальной   в   основную   школу. Ключевые   слова:   преемственность   в   учебном   процессе,   математическая подготовка, умения.  На   современном   этапе   модернизация   образования   в   России   тесно связана с интенсивным поиском новых, более эффективных форм контроля за качеством обучения и воспитания учащихся.  Одним из важных направлений преемственности в обучении является педагогический   мониторинг   и   диагностика   качества   обучения.   Анализ процесса   внедрения   различных   УМК   начального   образования свидетельствует,   что   их   реализация   невозможна   без   диагностико­ технологического   обеспечения,   которое   позволяет   определить   проблемы   и трудности в обучении и организовать необходимую коррекционную работу с применением эффективных технологий.  Диагностирование   помогает   рассматривать   результаты   в   связи   со способами их достижения, выявлять тенденции, динамику учебного процесса и   его   результатов.   Диагностирование   включает   проверку,   оценивание, накопление статистических данных, их анализ, прогнозирование дальнейших   способов   педагогического   взаимодействия   учителя   и   ученика. Диагностика рассматривается как процесс сбора достоверной информации в неразрывной связи с коррекционной работой, полагая, что содержательно и технологически   диагностика   и   коррекция   не   могут   применяться   отдельно друг от друга. 39 В начальной школе, обученность определяется как владение учеником системой заданных учебной программой знаний и умений, приобретенных за   Обученность   ­   это   результат определенный   период   обучения. предшествующего обучения и условие успешности обучения в дальнейшем.   Суть   и   содержание   диагностики   предметной   обученности   становится   Основные составляющей   целостного   педагогического   мониторинга. потребители информации о результатах образовательного процесса ­ все его участники: учителя, ученики и родители. [19] Педагогический мониторинг позволяет учителю при меньших затратах добиваться   более   значимых   результатов,   более   высокого   качества обученности. Это, в свою очередь, положительно влияет на профессиональное развитие учителя, приносит ему удовлетворение, повышает авторитет среди коллег и родителей.  Ученику   мониторинг   дает   возможность   отслеживать   свой   рейтинг, приобретать позитивную мотивацию, успешнее продвигаться к учебной цели. Родители же постоянно видят реальную картину достижений своего ребенка, получают   достоверную   оценку   его   учебной   деятельности,  участвуют   в   его развитии.  Руководители   школы   получают   возможность   в   динамике контролировать  совместную   деятельность  учителя  и  учащихся,  объективно   анализ   образовательного   процесса, проводить целенаправленно,   а   главное,   адресно   планировать   методическую   работу   в сравнительный   школе на основе диагностического анализа затруднений учителя и учеников. И,   как   следствие,   компетентно   и   более   эффективно   управлять образовательным процессом.  40 ВЫВОДЫ ПО IГЛАВЕ В   данной   главе   мы   рассмотрели   методологические   основы преемственности,    проблему,  основы  и положения,  которые  выдвигал  Л.С. Выготский. Дали понятие преемственности [61].  В содержании преемственности выделили два аспекта: закономерности развития   личности;   содержание,   цели,   формы   и   методы   педагогической деятельности, обеспечивающей это развитие. Принцип   преемственности   предполагает   установление   необходимых связей   и   правильных   соотношений   между   различными   частями   учебного материала   и   организацией   учебного   процесса   на   разных   ступенях   его изучения. 41 Мы   выяснили,   что   общая   цель   современного   математического образования   школьников   –   формирование   всесторонне   образованной   и инициативной   личности,   до   сознания   которой   доведена   система   взглядов, идейно­нравственных,   культурных   и   эстетических   принципов,   норм поведения, которые складываются в ходе учебно­воспитательного процесса и готовят подрастающее поколение к активной деятельности и непрерывному образованию в быстро меняющемся мире.[67] Понятие развития в науке неразрывно связано с понятием системы: все системы   в   природе   и   обществе   находятся   в   состоянии   развития   и   не существует процессов развития, которые могли бы происходить вне какой­ либо системы. При анализе специфики преемственности в зависимости от типов развития,   Э.А.Баллер   [7]   прежде   всего   выделяет   «две   формы преемственности: преемственность на одном уровне и преемственность на различных   на   различных   уровнях.   Преемственность   на   одном   уровне связана с количественными изменениями (эволюцией). Преемственность на различных   уровнях   характерна   для   качественных   изменений   (скачков)» [55]. Преемственность   на   одном   уровне   наблюдается   при   изменениях, происходящих в рамках  данного, относительно неизменного качества,  и основное содержание преемственности составляет сама структура. Здесь сохраняется,   удерживается   организация   объекта.   Например,   процесс обучения   учащихся   в   течение   одного   учебного   года   можно,  в   какой­то степени рассматривать как реализацию преемственности на одном уровне. Преемственность   на   разных   уровнях   связана   с   качественными изменениями,   с   изменениями   в   структуре   и   организации   объекта,   и содержанием   преемственности   являются   лишь   отдельные   элементы, составляющие связи системы. Например, переход из начальной школы в среднюю   можно   рассматривать   как   осуществление   преемственности   на 42 разных уровнях, так как в рассматриваемом случае происходит изменение структуры и организации обучения. Таким   образом,   везде,   где   имеет   место   развитие,   оно   идет   от состояний   меньшей   дифференцированности   систем   к   состояниям   все большей   их   дифференцированности   и   иерархической   упорядоченности. Это положение получило статус ортогенетического принципа или закона развития. В   связи   с   этим   в   диалектике   вводят   два   типа   преемственности:   соответствующая   прогрессивным, поступательная   преемственность, поступательным   изменениям   и   инволюционная   преемственность, соответствующая инволюционным, регрессивным изменениям. «Сущность поступательной   преемственности   состоит   в   сохранении   и   развитии   на качественно новых уровнях положительных результатов, достигнутых на предшествующих   этапах.   Особенность   инволюционной   преемственности состоит   в   том,   что   сохранение   определенных   качеств   изменяющейся системы   сопровождается   вместе   с   тем   исчезновением,   утратой   тех   или иных   признаков,   некоторых   результатов,   достигнутых   ранее   в   процессе поступательного развития» [38] Анализ   педагогической   литературы   показывает,   что   понятие преемственности достаточно широко, поэтому в образовательном процессе можно   выделить   следующие   компоненты   преемственности.   Все компоненты необходимо рассматривать во взаимосвязи и взаимовлиянии [61]. Проблема   преемственности   между   дошкольным   и   начальным образованием   особенно   актуальна   в   настоящее   время   из­за   нарушения преемственных   связей   по   основным   компонентам   образовательной системы. Принятие новых Федеральных Государственных Образовательных 43 Стандартов   (ФГОС)   школьного   образования   –   важный   этап преемственности деятельности в системе образования. Мы   определили,   что   одним   из   важных   направлений преемственности   в   обучении   является   педагогический   мониторинг   и диагностика качества обучения. Анализ процесса внедрения вариативных систем   начального   образования   свидетельствует,   что   их   реализация невозможна   без   диагностико­технологического   обеспечения,   которое позволяет определить проблемы и трудности в обучении и организовать необходимую   коррекционную   работу   с   применением   эффективных технологий. Преемственность в обучении – установление необходимой связи и правильного   соотношения   между   частями   учебного   предмета   на   разных ступенях   его   изучения;   понятие   преемственности   характеризует   также требования,   предъявляемые   к   знаниям   и   умениям   учащихся   на   каждом этапе обучения, формам, методам и приемам объяснения нового материала и   ко   всей   последующей   работе   по   его   усвоению.   Преемственность   в изложении   учебного   материала   и   выборе   способа   деятельности   по овладению этим содержанием происходит с учетом следующих факторов: содержания и логики математической науки и закономерностей процесса усвоения   знаний.   Преемственность   должна   осуществляться   и   между видами   деятельности   учащихся   при   усвоении   учебного   материала. Учащиеся   должны   выступать   не   как   объект   обучения,   а   становиться субъектами учебной деятельности. Также   мы   рассмотрели   работы   Н.А.Менчинской,   Ю.К.Кустовой, Д.Н.Богоявленского, Мендыгалиевой   А.К.,   Ковпак   И.О.,   Калиниченко   А.В.,   А.М.Пышкало,   В.В.Давыдова,   А.В.Усовой, Сизова М.Н., Суриковой М.А., А.В.Шевкина. 44 Исследования   по   проблеме   преемственности   сыграли   огромную роль   в   содержательном   обогащении   начального   математического образования   и   способствовали   повышению   его   теоретического   уровня. Углубление   преемственных   и   перспективных   связей   путем   «некоторого усиления элементов арифметической теории в начальных классах» должно проходить   в   следующих   направлениях   в   следующих   направлениях:  1) углубить и расширить знания учащихся третьего класса о натуральных нумерации;  числах и     2)   при   обучении   элементам   арифметической   теории,   относящейся   к сложению и вычитанию, во всех классах с первого по четвертый изучать сочетательный  закон  сложения, который  совместно  с переместительным законом   обосновывает   устные   и   письменные   вычисления;  3) при обучении элементам теории, относящейся к умножению и делению, во втором классе ввести распределительный закон умножения не только относительно   сложения,   но   и   вычитания;   в   третьем   классе   изучать сочетательный закон умножения, который обосновывает умножение чисел, кратных разрядным единицам; в третьем классе изучать свойство деления произведения на число, которое дает возможность обосновывать устное и письменное деление круглых чисел». Мы полагаем, что каждый из этих недостатков в той или иной мере связан с проблемой преемственности, сущность которой на методическом уровне проявляется в методике формирования понятий. Одним   из   вариантов   решения   сложных   ситуаций   в   обеспечении преемственности может стать формирование ценностно ­ ориентационного единства в отношении всего  педагогического процесса  как в отдельном педагогическом   коллективе,   так   и   в   микросоциуме   образовательного учреждения. Это обязательная перспектива, но сегодня она читается как задача   будущего.   Подводя   итог,   отметим,   что   преемственность   в 45 образовании   детерминирована   социокультурной   ситуацией,  обеспечивает целостность   социально­педагогических,   психолого   ­   педагогических   и характеризуется собственно последовательностью   и   одновременно   относительной   непрерывностью, педагогических процессов,       предполагает   постоянный   мониторинг   и   при   необходимости соответствующую коррекцию. Суть   и   содержание   диагностики   предметной   обученности становится   составляющей   целостного   педагогического   мониторинга. Педагогический   мониторинг   позволяет   учителю   при   меньших   затратах добиваться   более   значимых   результатов,   более   высокого   качества обученности.   Это,   в   свою   очередь,   положительно   влияет   на профессиональное   развитие   учителя,   приносит   ему   удовлетворение,   родителей.  повышает Ученику   мониторинг   дает   возможность   отслеживать   свой   рейтинг, авторитет коллег среди и         приобретать   позитивную   мотивацию,   успешнее   продвигаться   к   учебной цели. Родители же постоянно видят реальную картину достижений своего ребенка,   получают   достоверную   оценку   его   учебной   деятельности, участвуют в его развитии. Глава 2. Понятие «дробь» и методика изучения дробей  в начальной школе 46 2.1 Понятие «дробь»  Большинство применений  математики  связано с измерением  величин. Однако для этих целей натуральный чисел недостаточно: не всегда единица величины   укладывается   целое   число   раз   в   измеряемой   величине.   Чтобы   в такой ситуации точно выразить результат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности: измерение длин, площадей, масс и других величин   привело   сначала   к   возникновению   дробных   чисел   –получили рациональные   числа,   а   вVв   до   н.э.   математиками   школы   Пифагора   было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. Позднее, в связи с решением этой   проблемы,   появились   числа   иррациональные.   Рациональные   и иррациональные   числа   назвали   действительными.   Строгое   определение действительного числа и обоснование его свойств было дано в XIX в. Взаимосвязи между различными множествами чисел (N, Z, Qи R) можно изобразить наглядно при помощи кругов Эйлера (рис. 1) Q N Z R          Рис. 1 47 Действительные числа – не последние в ряду различных чисел. процесс, начавшийся   с   расширения   множества   натуральных   чисел,   продолжается   и сегодня – этого требует развитие различных наук и самой математики. Знакомство учащихся с дробными числами происходит, как правило, в начальных классах. Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средней школе.   В   связи   с   этим   учителю   необходимо   владеть   понятием   дроби   и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для  того, чтобы математически   грамотно   ввести   понятие   дроби   и   обучать   младших школьников выполнять с ними действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных   чисел.   Без   их   понимания   нельзя   решить   проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы. Отметим особенность изложения материала данного параграфа, которая обусловлена   как   небольшим   объёмом   курса   математики   для   учителей начальных классов, так и его назначением: материал будет представлен во многом конспективно, часто без строгих доказательств; более подробно будет изложен материал, связанный с рациональными числами. Расширение множества Nнатуральных чисел будет происходить в такой  Q+положительных последовательности:   сначала   строится   множества рациональных   чисел,   затем   показывается,   как   его   можно   расширить   до множества R+положительных действительных чисел, и, наконец, очень кратко описывается расширение множества R+до множества R всех действительных чисел. Пусть   требуется   измерить   длину   отрезка  x  с   помощью   единичного отрезка e(рис. 2) I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I x I—I—I—I—I e При   измерении   оказалось,   что   отрезок  xсостоит   из   трех   отрезков, равные e, и отрезка, которые короче отрезка e. В этом случае длина отрезка x 48 не может быть выражена натуральным числом. Однако, если отрезок eразбит на четыре равные части, то отрезок  xокажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка  e. И тогда, говоря о длине отрезка  x, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка  eукладывается в отрезке 14 раз. Поэтому условились длину отрезка xзаписывать в виде 14/4 * E, где E– длина единичного отрезка e, а символ 14/4 называть дробью. В общем виде понятие дроби определяют так. Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из  m  отрезков, равных п­ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде  m/n* Е, где символ m/nназывают дробью (и читают «эм энных»). В   записи   дроби  m/n    числа  m  и  n  ­   натуральные,  m  называется числителем, n ­ знаменателем дроби. Дробь    m/n  называется  правильной,   если   ее   числитель   меньше знаменателя,   и  неправильной,   если   ее   числитель   больше   знаменателя   или равен ему. Вернемся   к   рисунку   2,   где   показано,   что   четвертая   часть   отрезка eуложилась в отрезке xточно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка e, которая укладывается в отрезке xцелое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка e, тогда отрезок xбудет состоять из 28 таких частей и его длина будет выражаться дробью 28/8. Можно взять шестнадцатую часть отрезка  e, тогда отрезок  x  будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью  56 16 . Вообще   длина   одного   и   того   же   отрезка  xпри   заданном   единичном отрезке  e  может   выражаться   различными   дробями,   причем,   если   длина 49 выражена дробью   m n , то она может быть выражена и любой дробью вида mk nk , где k– натуральное число. Теорема.Для того чтобы дроби   m n  и  p q выражали длину одного и  того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mq  = np. Доказательство этой теоремы мы опускаем. Определение. Две дроби m n  и  p q называются равными, если mq = np. Если дроби равны, то пишут  m n  =  p q . Например,   17 3   =   119 21 , так как 17*21 = 119*3 = 357, а   17 19   ≠ 23 27 , потому что 17*27=459, 19*23 = 437 и 459 ≠ 437. Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны и тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка. Нам   известно,   что   отношения   равенства   дробей   рефлексивно, симметрично   и   транзитивно,   т.е.   является   отношением   эквивалентности. Теперь, используя определение равных дробей, это можно доказать. Теорема.Равенство дробей является отношением эквивалентности. 50 Доказательство. Действительно, равенство дробей рефлексивно:  m n  = m n , так как равенство mn =nm справедливо для любых натуральных чисел m и n. Равенство дробей симметрично: если  m n  =  p q , то  p q  =  m n , так как из mq = npследует, что pn = qm (m, n, p, q ∊ N). Оно транзитивно: если m n  =  p q и  p q  =  r s , то  m n  =  r s . В самом деле, так как  m n  =  p q , то mq = np, а так как  p q  =  r s , то ps = qr.  Умножив обе части равенства mq = npна s, а равенства ps = qrна n, получим mqs = npsи nps = qrs. Откуда mqs = qrnили ms = nr. Последнее равенство означает, что  m n  =  r s . Итак, равенство дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, оно является отношение эквивалентности. Из   определения   равных   дробей   вытекает  основное   свойство   дроби. Напомним его. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной. На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю. Сокращение дробей – это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем. 51 Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся на единицу, то дробь называется несократимой. Например,  5 17  – несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу, т.е. D(5, 17) = 1. Приведение дробей к общему знаменателю – это замена данных дробей равными   им   дробями,   имеющими   одинаковые   знаменатели.   Общим знаменателем двух дробей  m n и  p q  является общее кратное чисел nи q, а наименьшим общим знаменателем – их наименьшее кратное K(n, q). Задача. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби   8 15   и 4 35 . Решение. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15 = 3 * 5, 35 = 5 * 7. Тогда K(15, 35) = 3 * 5 * 7 = 105. Поскольку 105 = 15 * 7 = 35 * 3, то 8 15  =  8∗7 15∗7  =  56 105 ,  4 35  =  4∗3 35∗3  =  12 105 .[57] Тема   «Дробные   числа»   присутствует   во   всех   программах   начальной школы. Младший школьник знакомится с образованием дробей, чтением  и записью, учится сравнивать дроби с опорой на наглядность, решает два вида задач: на нахождение дроби от числа и числа по дроби. Понятие   дроби   связано   с   расширением   множества   целых неотрицательных   чисел   до   множества   рациональных   чисел.   Однако   в начальной школе практически этого не происходит, поскольку понятие дроби в том виде, в каком оно рассматривается, с множеством чисел не связано. 52