Преобразование графиков функции

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА занятия по математике  по теме «Преобразование графиков функций» Методическая  разработка  адресована  преподавателям   математики  и   может  быть использована   в   рамках   изучения   раздела   «Функция,   ее   свойства   и   график»   курса математики на 1 курсе учреждений среднего профессионального образования, а также в 11 классе средней общеобразовательной школы при изучении курса алгебры и начала анализа.  Данная   методическая   разработка   может   быть   интересна   преподавателям   других дисциплин в качестве примера использования современных информационных технологий, привлечения студентов к самооценке. Разработка   содержит   подробную   технологическую   карту   занятия,   структуру занятия с хронологией, подробный ход занятия и приложения: лист самооценки, опорные таблицы и мультимедийное сопровождение лекции «Преобразование графиков функций». ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ Дисциплина:  математика   группа   1р1   курс первый      Преподаватель:  Старикова Наталия Валерьевна Тема: Преобразование графиков функций Тип занятия: комбинированное Вид/Форма: Лекция с элементами беседы / фронтальная, парная, индивидуальная Цель:  1. Обучающая:   ознакомить   с   видами   преобразований   графиков   функций;   научить преобразовывать графики функций. 2. Развивающая:   аналитических,   развитие   мыслительных,   познавательных способностей; способствовать развитию  логического мышления, умению оценивать себя. 3. Воспитательная: развивать умение работать в коллективе. 4. Методическая:   использование   продуктивных   вопросов   при   изучении   нового материала на занятиях математики; использование интерактивной доски. После изучения данной темы студент должен знать: виды преобразования графиков. уметь: преобразовывать графики функций. Обеспечение занятия: 1.ТСО, раздаточный материал и наглядные пособия: мел, доска, интерактивная доска, таблицы   «Преобразования   графиков»,   «Функции,   содержащие   знак   модуля»,   «Графики простейших элементарных функций»; листы самооценки, листочки ля теста. 2. Используемая литература: Дадаян А.А. Математика: Учебник – М., 2003 г. Мотивационный   компонент   занятия:  включение   студентов   в   учебную   деятельность; необычная форма обучения; привлечение студентов к оценочной деятельности. Междисциплинарные связи: электротехника, техническая механика Внутридисциплинарные связи: Тема: Что должен знать студент по материалу данной темы Функция и ее графики. Тригонометрические функции графики элементарных функций уметь преобразовывать графики функций СТРУКТУРА ЗАНЯТИЯ: I. Организационный этап (5 мин.)           ­ приветствие, работа с журналом      ­ мотивация      ­ сообщение темы, целей, постановка учебных задач II. Основной этап (75 мин.) 1. Актуализация знаний (10 мин)      – фронтальный опрос по ранее изученному материалу;      ­ подготовка к изучению новой темы. 2. Изучение нового материала (35 мин)      ­ с помощью презентации «Преобразование графиков», интерактивной доски, с применением продуктивных вопросов.      ­ решение проблемной ситуации 3. Первичное закрепление учебного материала (15 мин) ­ работа в  парах: решение задач на построение графиков функций 4. Проверка уровня усвоения знаний     ­ тест (10 мин)    ­ самопроверка (3 мин) III. Заключительная часть (7­10 мин) ­ Домашнее задание (2 мин) ­ Итог занятия (2 мин) ­ Рефлексия (3 мин) ХОД ЗАНЯТИЯ: I. Организационный этап            ­ Здравствуйте! Мы продолжаем изучать раздел «Функция, ее свойства и графики».  Тему и цели нашего занятия я хотела бы чтобы вы сформулировали сами. Я вам немного подскажу. Вот вам такое задание: постройте график функции у =  . (Работа с интерактивной  доской).  Как будете строить? (Найдем  ОДЗ, по точкам). Это сложно.  Постройте график функции у =  . (Вызов студента к интерактивной доске). Строить графики функций по точкам, т.е. с помощью составления таблицы не всегда удобно,   т.к.   для   каждой   новой   функции   приходиться   заново   производить   вычисления. Чаще из более простых графиков получают графики более сложных функций. Кто   может   сформулировать   тему?   «Преобразование   графиков   функций».   А   цель сегодняшнего   урока?   (Научиться   преобразовывать   графики   функций;   изучить   виды преобразований графиков.) В конце урока мы вернемся к нашей функции и построим ее график.   И   еще   одна   цель,   это   ­   овладеть   навыками   самооценки.   В   течение   урока   вы заполните лист самооценки и сформулируете одну, две фразы о том, что вам понравилось на уроке, или что вам запомнилось больше всего, или чему вы научились. Лист самооценки лежит   перед   вами   (Приложение   1).   Вы   видите   какие   этапы   занятия   нам   предстоит преодолеть. Это.. Надеюсь, что вы будете активно работать. II. Основной этап (75 мин.) 1. Актуализация знаний (10 мин)      – фронтальный опрос по ранее изученному материалу Перед изучением новой темы вспомним определение функции, ее основные свойства. ­ Что такое функция? (Функция – это зависимость переменной у от переменной х, при   которой   каждому   допустимому   значению   х   соответствует   единственное   у)   Кто поправит, дополнит? Все согласны? ­ Как называется переменная х? у? (аргумент, значение функции)   Как вычислить у? (Заданный х подставить в функцию у = f(х) и вычислить) ­ Чем отличается область определения функции от области значения функции? Как смотрим   на   графике?   (Область   определения   –   множество   всех   допустимых   значений аргумента   (х   –   смотрим   по   оси   Ох),   область   значений   –   множество   всех   возможных значений функции (у) ­ смотрим по оси Оу) ­   Что   такое   график   функции?   (Множество   точек   координатной   плоскости, удовлетворяющих уравнению функции) (х; у) или (х; f(х))      ­ подготовка к изучению новой темы.   Перед   вами   графики   функций   и   некоторые   функции.(Работа   с   интерактивной доской) Слайд в программе SMART Notebook Задание: Назовите область определения и область значения функции у =  .                 (Д(у)= [0; +∞), Е(у)= [0; +∞)) Как изменить область значения этой функции? (Изменить у, значит прибавить, отнять, умножить, разделить все значение функции) Приведите пример: у =  Как вы думаете изменится ли от этого график функции? (Да)  ­ 2; у = 3   и т.д. Что с ним произойдет? (сдвиг вверх, вниз, сжатие, растяжение) Как изменить область опредления? (Изменить х, значит прибавить, отнять, умножить, разделить х) Как изменится график? (сдвиг влево, вправо, растяжение, сжатие по оси Ох) Теперь можно перейти к изучению темы «Преобразование графиков функций» 2. Изучение нового материала (35 мин)          ­ лекция с помощью мультимедийной презентации «Преобразование графиков» (Приложение 4), интерактивной доски, с применением продуктивных вопросов. На столах у студентов лежат опорные таблицы: «Преобразование графиков  функций», «Функции, содержащие знак модуля», «Графики элементарных функций»  (Приложение 2) Итак, более детально рассмотрим «Виды преобразований графиков функций» Слайд 1 Вопросы для беседы: Как вы думаете что понимаем под параллельным переносом? Деформацией? Отражением? Слайд 2 А) Вопросы для беседы:  у   =  f(х­а)   Что   изменяется?   (х)   Значит..?   (Область   определения)   Как   идет изменение графика? (по оси Ох) Как? (влево, вправо) От чего это зависит? (от а) у =  f(х) и у =  f(х­а) имеют то же значение, если х = х +а, т.е. х увеличивается (увеличение идет вправо, значит график сдвигается вправо), если а>0. Аналогичные рассуждения проводим для а<0. Б) Вопросы для беседы:  у = f(х)+b Что изменяется? (у) Значит..? (Область значения) Как идет изменение графика? (по оси Оу) Как? (вверх, вниз) От чего это зависит, когда вверх, когда вниз? (от  b, если  b>0, то каждое  значение функции  увеличивается  на  b, поэтому график смещается вверх, аналогично рассуждаем для b<0 ­ вниз) Делаем ссылку «Назад». Задание:   Приведите   пример   смещения   графика   функции   у   =   х2  параллельным переносом   вверх,   вниз,   влево,   вправо  (перенос   рассматриваем   с   помощью интерактивной доски) Слайд 3 Пример:  С помощью графика функции у = х2 построить график функции у = (х – 2)2 + 3 (рассматриваем перенос с помощью интерактивной доски) Слайд 4 А) Вопросы для беседы:  у = kf(х) Что изменяется? (у) Как? (Увеличиваются у в k раз) Как идет изменение графика?   (сжатие,   растяжение   по   оси   Оу.   Если  k>1,   то   каждое   значение   функции увеличивается   в  k  раз,   поэтому   график   растягивается   по   оси   Оу,   аналогично рассуждаем для k<1 ­ сжатие) Б) Вопросы для беседы:  у = f(mх) Что изменяется? (х) Как? (Увеличиваются или уменьшаются х в m раз) Как идет изменение графика? (сжатие, растяжение по оси Ох) у = f(х) и у = f(mх) имеют то же значение, если х =х/m, у остаются без изменения. Поэтому если m>1 – сжатие, если m<1 – растяжение по оси Ох. Делаем ссылку «Назад». Задание: Приведите пример деформации графика функции у = х2 по оси Ох, Оу (деформацию рассматриваем с помощью интерактивной доски) Слайд 5 Резерв:   Слад   6   –   носит   ознакомительный   характер,   подробное   изучение самостоятельно Слайд 7 Главное – соблюдать последовательность преобразований!    ­ решение проблемной ситуации. Вернемся к началу занятия и построим график нашей функции у =  .  (построение с помощью интерактивной доски) 3. Первичное закрепление учебного материала (15 мин) ­ работа в  парах: решение задач на построение графиков функций С помощью графика функции у = х3 построить график функции у = ­ (х+2)3 – 1 Проверка у интерактивной доски. 4. Проверка уровня усвоения знаний     ­ тест (10 мин) Приложение 3    ­ самопроверка  (3 мин) III. Заключительная часть  ­ Домашнее задание. Конспект таблиц 1,2; Придумать примеры на преобразование функции у = 1/х и решить.  ­ Итог занятия  Студенты оценивают свою работу. Преподаватель выставляет оценки всем студентам. Итак, что мы сегодня с вами изучали? (Преобразование графиков функций) Какие виды преобразований графиков вы узнали?  (параллельный перенос – влево­ вправо, вверх­вниз; деформация – сжатие, растяжение; отражение – относительно Ох и Оу и их различные комбинации) ­ Рефлексия  Студенты выбирают одну из предложенных в листке самооценки пословиц. Спасибо вам за урок! До свидания. Самооценка ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Лист самооценки. Вид работы № 1 Фронтальный опрос при повторении материала. 2 Ответы на проблемные вопросы при изучении нового  3 4 материала Работа в парах. Тест. Общий итог: Пословицы: 1. Лучше меньше, да лучше. 2. Не так страшен чёрт, как его малюют. 3. Собором и чёрта поборем. 4. Терпение и труд всё перетрут. 5. Счастливые часов не наблюдают. ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Таблица 1. Преобразование графиков Дана функция y = f(x) – построен её график – (1). С помощью геометрических  преобразований возможно построение некоторых других графиков – (2). Вид преобразования графика y = f(x) Параллельный перенос    : а)  вдоль оси Ox: а>0 – вправо, а<0 – влево; Функция 6 6 Геометрическая  иллюстрация а)  y = f(x­a),  a y 1 x2 4 x2 6 4 6 0 0a 2  a  a x б) вдоль оси Oy: б) y = f(x)+b b>0 – вверх, b<0 – вниз Деформация: а) по оси Oу: k>1 – растяжение, 01 – сжатие, 00. 2. Симметрично   отобразить относительно оси Oy. Линии разного формата показывают очередность построения на графике 7 y = | f ( x ) | 1. Построить y=f(x). 2. Части,   расположенные ниже  Ox,   симметрично отобразить   относительно 2 этой оси a x y = | f ( | x | ) | Над построенным графиком  y = f ( x ) провести  последовательно  преобразования: 1. 2. f ( | x | ) = g ( x ); | f ( | x | ) | = | g ( x ) | у=1/|x| y 2 x 1 1 x x 2 2 x  x  x 2  x 2 1 1 y y y 4 1 x 1 2 3 y y 0 0 y x 0 y x 2 1 y 3 ln | x | 1 2 y  ln| | x || 0 1 10 x 1 x 10 7 2 2 ax .5 1 2 3 2 x 1 2 x 1 2 x 1.5 2 2. 5 ln x( ) ln x( ) x x 1 x 1 2 1 y 0 y 2 y y  x  x  x x 1 1 2 6 2 x 5 x x 0.5 2 y  3  2 0 4.5 y  x 2 x 2 1 2 1.5 x 0 y П р и м е р ы sin x( ) sin x( ) 2 32 x 5 x  6 x 0.5 4.5  y 5  0  1 2 sin x x x  2 x sin  7.5 ПРИЛОЖЕНИЕ 3   Тест по теме «Преобразование графиков функций» 1 Вариант    1.   Какое   число   в   функции   у= kfm(x – а) + b   (k, m, a или  b)   на   следующее указывает   преобразование графика функции у=f(x)?:            1) параллельный перенос влево    2)   параллельный   перенос вниз 3) растяжение по оси Оу 4) сжатие по оси Ох    График   какой   функции 2. изображен на рисунке?                              у                               у' 1) у=|х+3|+1     2) у=|х­3|+1       х'            3) у=|х­3|­1                                 О'                              о                                 3 х             4) у=|х+3|­1   1                           ­  Выберите   график   для 3.   функции   у=     2(х+1)2+1, получившегося   преобразованием графика функции у=х2:   у            у' 1) 2)                             у'               у                                  ­3                  0 х   ­ 1                  х'          3) у=|х­3|­1                                 О'   4) у=|х+3|­1 ­   Выберите   график   для 3.   функции   у=     2(х­1)2+1, получившегося   преобразованием графика функции у=х2:           1)                 у             у' 2)           у'       у                                                                    1 х'                                             О'                                  0           1 х                                ­1   у            у'                        3)                           у'             у 4)   1                          х'                              1                 х'               О'                                         ­1          0                  х                             ­1   3)                                                        4) 2 Вариант 1.   Какое   число   в   функции   у= kfm(x – а) + b   (k, m, a или  b)   на   следующее указывает   преобразование графика функции у=f(x)?:            1) параллельный перенос вправо    2)   параллельный   перенос вверх 3) сжатие по оси Оу 4) растяжение по оси Ох    График   какой   функции 2. изображен на рисунке?                                  у'                у 1) у=|х+3|+1   2) у=|х­3|+1