Презентация "Пирамида, вписанная в сферу, и пирамида, описанная около сферы"

Фронтальный опрос В. Какой многогранник называют вписанным в сферу? В. Существует ли тетраэдр,  вокруг которого нельзя  описать сферу? В. Может ли центр сферы, описанной около  треугольной пирамиды, находиться вне этой  пирамиды?  В. Каким свойством должен обладать многоугольник,  лежащий в основании пирамиды, чтобы около нее  можно было описать сферу?     Где находится центр сферы, описанной около  пирамиды?

Многогранники, вписанные в сферу Многогранник  называется  вписанным  в  сферу,  если  все  его  вершины  принадлежат  этой  сфере.  Сама  сфера  при  этом  называется  описанной  около  многогранника. Теорема. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда  около основания этой пирамиды можно описать окружность. Около любой  треугольной пирамиды можно описать  сферу и притом только одну. Центр  такой сферы находится на пересечении прямой, проходящей перпендикулярно  через центр основания, и плоскости, проходящей перпендикулярно через  середину бокового ребра.

Упражнение 1 Найдите радиус сферы, описанной около единичного тетраэдра. Решение. В тетраэдре SABC имеем:  BE =         SE  = , 3 3 6 3 . В прямоугольном треугольнике OBE  имеем: 2 2 6 3  R   3  3  R 2 . Решая это уравнение относительно  R, находим R  6 4 . К          

Упражнение 2 Найдите ребро правильного тетраэдра, вписанного в единичную  сферу. Подсказка: Пусть ребро  тетраэдра равно а К Ответ: a  2 6 3 .

Фронтальный опрос В. Каким свойством должна обладать  призма, чтобы вокруг нее можно было  описать сферу? В. Где находится центр сферы,  описанной около призмы?

Многогранники, вписанные в сферу Теорема. Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда,  когда около основания этой призмы можно описать окружность. Ее  центром  будет  серединой  отрезка,  соединяющего  центры  окружностей,  описанных  около  оснований  призмы. Радиус сферы R вычисляется по формуле  точка  O,  являющаяся  где  h  –  высота  призмы,  r  –  радиус  окружности,  описанной  около  основания призмы. R   r 2 , 2 h   2 О1 О2   

Упражнение 3 Найдите радиус сферы, описанной около единичного куба. О1 Ответ: R  3 2 .

Упражнение 4 Найдите ребро куба, вписанного в единичную сферу. О1 Ответ: a  2 3 3 .

Фронтальный опрос В. Какой многогранник называют вписанным в сферу? В. Каким свойством должен обладать многоугольник,  лежащий в основании пирамиды, чтобы около нее  можно было описать сферу? В. Где находится центр сферы, описанной около  В. Где находится центр окружности, описанной около  пирамиды? треугольника? В. Каким свойством должна обладать призма, чтобы  вокруг нее можно было описать сферу? В. Где находится центр сферы, описанной около  призмы? В. Какой треугольник называют описанным около  окружности, где находится центр такой окружности?

Сфера, описанная  около правильной  четырехугольной пирамиды

Многогранники, описанные около сферы Многогранник  называется  описанным  около  сферы,  если  плоскости  всех  его  граней касаются сферы. Сама сфера называется вписанной в многогранник. Теорема. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу, и притом  только одну. Центр такой окружности находится на пересечении  биссектральных плоскостей, образованных боковыми гранями пирамиды с  основанием. Теорема. В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда в ее  основание можно вписать окружность, и высота призмы равна диаметру этой  окружности.

Упражнение 1 Найдите радиус сферы, вписанной в единичный тетраэдр. Решение. В тетраэдре SABC имеем:  SD =         DE =          SE  = , , 3 2 3 6 6 3 . Из подобия треугольников SOF и  SDE получаем уравнение :   r : r  3 6 6 3 решая которое, находим 3 2 , r  6 12 . Ответ: r  6 12 .     

Упражнение 2 В правильный тетраэдр вписана единичная сфера. Найдите  ребро этого тетраэдра. Ответ: a  2 6.

Сфера, вписанная в  четырехугольную пирамиду

Упражнение 3 Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную  пирамиду, сторона основания которой равна 2, и двугранные углы  при основании равны 60о. Решение. Воспользуемся тем, что  центр вписанной сферы является  точкой пересечения биссектральных  плоскостей двугранных углов при  основании пирамиды. Для радиуса  сферы OG имеет место равенство OG FG tg OFG    . Следовательно,  tg r 30   3 3 .

Упражнение 4 Найдите радиус сферы, вписанной в правильную  четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны 1. Решение. Радиус сферы равен радиусу  окружности, вписанной в треугольник SEF,  2 в котором SE = SF =        EF=1, SG =        2 Воспользуемся тем, что для радиуса r  окружности, вписанной в треугольник,  имеет место формула: r = S/p, где S –  площадь, p – полупериметр треугольника. 3 2 , . В нашем случае S =         p =  , 2 4 Следовательно, r  6 2 . 3 . 1  2  4

Упражнение 5 Найдите радиус сферы, вписанной в правильную треугольную  пирамиду, сторона основания которой равна 2, и двугранные  углы при основании равны 60о. Решение. Воспользуемся тем, что  центр вписанной сферы является  точкой пересечения биссектральных  плоскостей двугранных углов при  основании пирамиды. Для радиуса  сферы OE имеет место равенство OE DE tg ODE    . Следовательно,  3 3  r tg 30   1 3 .