Презентация по математике на тему "Простейшие тригонометрические уравнения" предназначена для первых уроков по теме "Тригонометрические уравнения". В презентации содержатся все виды простейших тригонометрических уравнений.Презентация составлена к учебнику "Алгебра и начала математического анализа" 10 класс (базовый уровень). авт.: Г.К. Муравин, О.В.Муравина
Данная презентация поможет в проведении урока по любому учебно-методическому комплексу
Простейшие
тригонометрические уравнения
Учитель высшей категории Евсеенкова И.Ю.
МОУ СОШ №13 Копейского городского округа
10 класс по УМК Г.К.Муравина, О.В.Муравиной.
Тригонометрические
уравнения
Уравнения вида:
sinx=a; cosx=a; tgx=a; ctgx=a
называются простейшими
тригонометрическими
уравнениями.
Уравнение sinx=a
Что называется синусом
числа x на числовой
окружности.
x
М(a ;b)
b
Синусом числа x на
числовой окружности
называют ординату
соответствующей точки
окружности
b sin
x
Уравнение sinx=a
Решим простейшее уравнение
вида sin x = a с помощью
числовой окружности.
sin x
5
6
1
2
,2
Zkk
x
x
6
5
6
,2
Zkk
6
1
2
Решим
уравнение
sin x
3
5
С помощью числовой
окружности получим
решение.
,21
x
Zkk
x
2
2
Zkk
x
,
x
1
x
длина
дуги
АМ
2
дуги
x
длина
АP
)
( 2xР
С
3
5
В
)
( 1xM
А
П
АС
что
оскольку
РС а ,
2
x
АР
x
1
,РСАС
АМ,
получаем,
Решим
уравнение
? Что это за число x1?
В рассмотрение введён
новый символ
3
5
arcsin
«арксинус трёх пятых»
( 2xР
)
( 1xM
)
3
5
С помощью введённого символа можно записать
корни
x
1
arcsin
x
2
3
5
arcsin
2
k
2
k
( 2xР
)
3
5
arcsin
3
5
это
число
(длина
дуги
АМ),
( 1xM
)
3
5
синус
которого
равен
и
которое
3
5
отрезку
0;
2
принадлежи
т
sin
x
3
5
В
С
( 2xK
)
3
5
А
( 1xL
)
Решим
уравнение
С помощью числовой
окружности получим
решение.
x
x
,21
Zkk
x
2
Zkk
x
,
2
1
x
2
x
дуги
длина
АL
дуги
длина
x
1
arcsin
АK
,
3
5
взятые
со
2
2
;
минус
знаком
С помощью числовой окружности сравним
arcsin
3
5
и
arcsin
3
5
Дуги AM и AL
равны по длине и
противоположны
по направлению
arcsin
3
5
arcsin
3
5
3
5
3
5
M
L
arcsin
А
arcsin
3
5
3
5
Получим
sin
x
x
arcsin
3
5
Zkk
2
,
В
3
5
С
( 2xK
)
3
5
А
( 1xL
)
x
arcsin
3
5
Zkk
,2
Определение
arcsin
то
(
a
,1
а
Если
арксинус
)
а
такое
число
из
отрезка
2
2
,
;
это
синус
которого
.
а
равен
Если
,1
а
то
a
arcsin
a
x
sin
x
2
x
.
2
sin
x
a
уравнение
,1
а
Если
то
две
имеет
серии
решения
,2
x
arcsin
a
Zkk
,2
arcsin
x
a
Zkk
,
.
Существует три частных случая решения уравнения
sin x = a
sin x
,0
sin x
,1
sin
x
,1
x
x
x
;k
2
2
;2
k
.2
k
Пример 1.
Вычислить:
)а
arcsin
1
2
Пусть
arcsin
1
2
.
x
Тогда
sin
x
1
2
xи
;
.
2
2
2
2
;
.
Значит
,
x
6
,
поскольку
sin
1
62
и
.
6
6
arcsin
1
2
Пример 1.
)б
arcsin
arcsin
Пусть
2
2
Вычислить:
2
2
Тогда
.
x
sin
x
и
x
2
2
2
2
и
4
;
2
2
2
2
;
.
Значит
,
x
4
,
поскольку
sin
arcsin
2
2
4
4
любого
а
Для
формула
a
arcsin(
)
,1;1
справедлив
а
arcsin
.
a
Дуги АМ и АL равны по
модулю и
противоположны по
направлению.
M
L
arcsin
А
arcsin(
a
a
)
Пример 2.
Решить уравнение
a
sin )
x
3
2
x
arcsin
3
2
x,2
k
arcsin
3
2
.2
k
3
2
arcsin
3
2
3
x
3
x,2
k
,2
Zkk
Пример 2.
б
x
sin )
x
arcsin
arcsin
Решить уравнение
3
2
3
2
xk
,2
3
2
arcsin
3
2
3
2
arcsin
3
x
3
,2
xZkk
,
4
3
Zkk
,2
Пример 2.
Решить уравнение
в
sin )
x
7
12
x
arcsin
7
12
,2
xk
arcsin
7
12
Zkk
2
,
г
sin )
x
2,1
,12,1 ..
кТ
то
имеет
корней
не
.
уравнение
sin
x
2,1
Принята общая формула решения
тригонометрического уравнения sin x = a
Zkk
,2
,
a
,2
Zkk
,2
,
Zkk
2(
),1
k
.
Zk
.
a
x
x
x
x
arcsin
a
arcsin
arcsin
a
arcsin
1
n
x
arcsin
a
Znn
,
,
Уравнение cosx=a
Что называется
косинусом числа x на
числовой окружности.
Косинусом числа x на
числовой окружности
называют абсциссу
соответствующей точки
окружности
x
М(a ;b)
a
a
cos
x
Уравнение cosx=a
Решим простейшее уравнение
вида cos x = a с помощью
числовой окружности.
cos x
1
2
x
3
Zkk
,2
1
2
3
3
Решим
уравнение
cos x
4
9
С помощью числовой
окружности получим
решение.
x
x
,21
x
2
,2
x
Zkk
Zkk
;0
x
1
( 1xM
)
4
9
( 2xР
)
2
Решим
уравнение
? Что это за число x1?
В рассмотрение введён
новый символ
4
9
arccos
«арккосинус четырёх
девятых»
Arcus в переводе с латинского
значит дуга (арка)
( 1xM
)
4
9
( 2xР
)
1 x
arccos
x
2
arccos
Получим
4
9
4
9
4
9
4
9
arccos
cos x
Уравнение
Имеет корни
x
( 1xM
)
4
9
( 2xР
)
2
,
kk
Z
Решим
уравнение
x
4
9
cos
С помощью числовой
окружности получим
решение.
( 1xM
)
4
9
x
x
,21
x
2
,2
x
Zkk
Zkk
2
1x
)
( 2xР
;
Обозначив новыми символами,
получим
arccos
x
1
2
к
arccos
4
9
4
9
x
2
2
к
Объединив две формулы в одну, получим:
x
arccos
4
9
2
,
kk
Z
Определение
a
arccos
то
а
(
,1
Если
число
такое
отрезка
из
которого
равен
.
а
арккосинус
;0
)
а
косинус
,
это
Если
а
,1
то
arccos
a
x
cos
0
x
a
.
x
уравнение
cos
x
a
,1
а
Если
два
имеет
x
arccos
то
решения
,2
a
Zkk
.
Существует три частных случая решения уравнения
cosx = a
cos x
,0
cos x
,1
cos
x
,1
;
x
k
2
x
;2 k
.2 k
x
Пример 1.
Вычислить:
)а
arccos
1
2
Пусть
arccos
1
2
3
,
Значит
x,
поскольку
cos
xи
1
2
1
32
и
.
;0
.
;0
.
x
Тогда
cos
x
3
3
.
arccos
1
2
Вычислить:
2
2
x
.
Тогда
2
2
Пример 1.
)б
arccos
3
4
Пусть
arccos
Значит
x,
,
поскольку
cos
cos
x
xи
.
;0
3
4
и
.
;0
3
4
2
2
2
2
arccos
2
2
3
4
Для
любого
а
равенство
arccos
я
выполняетс
,1;1
arccos(
.
a
a
)
a
АМ
arccos
это
длина
дуги
arccos(
)
a
дуги
это
длина
A
P
дуга
дуге
АМ
равна
P
В
M
C
А
а
а
PC
arccos
a
arccos(
a
)
AM
AP
PC
AP
AC
На практике полученное соотношение
используют в другом виде:
a
)
arccos(
Например,
arccos
a
,
где
0
а
.1
arccos
2
2
arccos
2
2
3
4
4
Пример 2.
Решить уравнение
a
)
cos
x
3
2
x
arccos
3
2
2
k
x
6
Zkk
,2
Пример 2.
Решить уравнение
3
2
б
x
)
cos
x
3
arccos
2
3
arccos
2
5
6
x
2
k
arccos
Zkk
2
,
3
2
5
6
6
Пример 2.
Решить уравнение
в
)
cos
x
8
13
x
arccos
8
13
2
k
г
)
cos
x
2,3
2,3 ..
то
кТ
.
имеет
не
корней
,1
уравнение
cos
x
2,3
Простейшие тригонометрические уравнения.pptx
