Презентация по математике по теме "Показательная функция и её применение"

«Показательная функция                «Показательная функция     и ее применение»                                          и ее применение»

у 1 0   у=2х          х

Презентация по теме:  «Показательная функция». Некоторые наиболее часто  встречающиеся виды  трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко  многим исследованиям. Л.Эйлер.

Показательная функция. Функция вида у=ах ,где а­заданное число, а>0, а≠1, х­ переменная, называется показательной. у 1 0 а>1          х у 1 0 0<а<1          х

Показательная функция обладает  следующими свойствами: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Д(у): множество R всех действительных чисел; Е(у):множество всех положительных чисел; Показательная функция у=ах является возрастающей на  множестве всех действительных чисел,если  а>1,и  убывающей,если 0<а<1; Не является ни четной, ни нечетной; Не ограничена сверху,ограничена снизу; Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения; Непрерывна; Если а>1 ,то функция выпукла вниз.

Графики функции у=2х  и у=(½)х  у у 1 0 1 0 у=(½)х   у=2х          х            х 1. График функции у=2х проходит  через точку (0;1) и расположен  выше оси Ох. а>1       Д(у): х є R              Е(у): у >0   Возрастает на всей области определения. 2. График функции у=     также  проходит через точку (0;1) и  расположен выше оси Ох. 1 2    х    0<а<1    Д(у): х є R                Е(у): у>0  Убывает на всей области определения.

Уравнения,у которых неизвестное находится в показателе степени,  Показательные уравнения. называются показательными. Способы решения: По свойству степени; Вынесение общего множителя за скобки; Деление обеих частей уравнения на одно и то же  выражение,принимающее значение отличное от нуля при всех  действительных значениях х; Способ группировки; Сведение уравнения к квадратному; Графический. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Например: 3  3                                                                                                                                                                                                                    х 2 6 х 2                                                                                                                                                                                                                                  Решение.              3х)2(3 3х2 .                                                                                       3х9   3х2  т.к.2   0, тогда  х 3   1 0    9 2          3 х   9  2   9  2   3х  ­3 х Ответ.  0    х   ­3. 1 27  9 х  1 Решение .       1 х  3  1  3  23     1 9  2 1 2  х  9 4­4х  13 4х   3,25 х Ответ.  х  3,25.

Используя свойства возрастания и убывания  показательной функции, можно сравнить  числа и решать показательные неравенства. 1. Сравнить: а) 53 и 55;  б) 47 и 43;   в) 0,22 и 0,26;  г) 0,92 и 0,9.  2. а) 2х>1;   б) 13х+1<133;  в) 0,7х­2>0,7;  г) 0,04х<0,22.  3. Неравенства, у которых неизвестное находится в  показателе степени, называются показательными. Решить: Решение показательных неравенств сводится к  решению неравенств ах>ав или ах<ав.  Если а>1, то х>в (х<в). Если 0<а<1. то х<в (х>в).

х х  11 1. По свойству степени; 2. Вынесение общего множителя за скобки; 3.Сведение к квадратному; 4. Графический.  6 11 Решение.      11 т.к. 1,  а) х          у  б) х         у Ответ  Построим функции   график           2        2   х 2­ 2­х   6­   х 6х       то Построим       график            3   2­   6х 3   2          у=√х+6   функции  х у :  х 6 у: 6 3 3 2 0 у     у=х 3 х 2 ­2                           Способы решения показательных неравенств.  3.   Некоторые показательные  неравенства заменой ах=t   сводятся к квадратным  неравенствам,которые  решают,учитывая,что t>0.

  81х2­х4 х­12  Решение.   х8      х8811х2­х4   х­12 х8   3х2­х22­2х2     х­1 33 3х2 х22­2х2  8  х22­2х2 2х22­8   2х22­2х2­   0 8­х22 2х2  х2   2  Пусть          t 8­2t   t     0,   тогда 8 0  8 0  х12  0            0                           t            2   0 8­2t  ­2 1 t 2t t 8 21t                                                      2)­(t 4) 0 (t   1t 2. 2     t ­4,     , 2 (t ­(t 4)    2)                         t   2     t ­4, t удовлетвор  яет условию При  не   ­4  0 t 2 х2   1  х Ответ  х:  1      t  0          + ­4 0 2 +

Решение систем показательных  уравнений и неравенств.  17, 17.       2у2­х3 х 2 3  у2  . Решение 2)у(2­х 3  17, 1 2 у2   17. )х(3                                  )1  28  n 0,  0,  m n, Пусть тогда    17m 81m                         у2 m, х3                                                 )2                                                                                                        2n­m  17,   17. nm  17­m2n­    .2n)  m 2n  (17                                                                                                  3)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               17                                                                     17                                     34n ­                                                           n             17m  2n 2n    8 у2  8 у2 32   у        3            81 43                       4                                  2n) 34n Ответ.(4;3 ) х3 х3 х  ­272                     (17 ­ 289 ­ 2n  0,  ­

Экспонента Экспонента

Показательной функцией называется функция Показательной функцией называется функция    Где Где aa­заданное число, а ­заданное число, а>>о,о, График функции        ,х  NN  состоит из точек с  состоит из точек с  График функции        ,х   абциссами 1,2,3…, лежащие на некоторой  абциссами 1,2,3…, лежащие на некоторой  кривой,­ её называют Экспонентой Экспонентой кривой,­ её называют

Экспонента (exp) — функция exp( Экспонента  (exp) — функция exp(xx) =  ) = ee, где e — основание натуральных логарифмов. , где e — основание натуральных логарифмов. Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и больше нуля.  Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и больше нуля.  Основные свойства Основные свойства Обратная функция к ней — логарифм. Обратная функция к ней — логарифм. Экспонента бесконечно дифференцируема. Ее производная в нуле равна 1, поэтому  Экспонента бесконечно дифференцируема. Ее производная в нуле равна 1, поэтому  касательная в этой точке проходит по углом 45°. касательная в этой точке проходит по углом 45°. Основное функциональное свойство экспоненты: exp(aa +  Основное функциональное свойство экспоненты: exp( функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид exp(ctct), где  функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид exp( )exp(bb). Непрерывная  ). Непрерывная  ), где cc —   —  ) = exp(aa)exp(  + bb) = exp( Экспонента является решением дифференциального уравнения yy' =  Экспонента является решением дифференциального уравнения  ' = yy с граничным   с граничным  условием yy(0) = 1. Кроме того через экспоненту выражаются общие решения однородных  (0) = 1. Кроме того через экспоненту выражаются общие решения однородных  условием  Экспоненциальная функция может быть определена двумя эквивалентными способами.  Экспоненциальная функция может быть определена двумя эквивалентными способами.  некоторая константа. некоторая константа.  Дифференциальные уравнения  Дифференциальные уравнения дифференциальных уравнений. дифференциальных уравнений.  Формальное определение  Формальное определение Через ряд Тейлора: Через ряд Тейлора:

Многообразные применения показательной (или как еще ее называют экспонентой) функции  Многообразные применения показательной (или как еще ее называют экспонентой) функции  вдохновили английского поэта Элмера Брила, он написал «Оду экспоненте»  вдохновили английского поэта Элмера Брила, он написал «Оду экспоненте»  …Ею порождено многое из того,  …Ею порождено многое из того,                                Что достойно упоминания,                               Что достойно упоминания, Как говорили наши Как говорили наши Англосаксонские предки. Англосаксонские предки. Могущество ее порождений Могущество ее порождений Заранее обусловлено ее Заранее обусловлено ее Собственной красотой и силой, Собственной красотой и силой, Ибо они суть, физическое воплощение Ибо они суть, физическое воплощение Абстрактной идеи ее. Абстрактной идеи ее. Английские моряки любят и знают ее  Английские моряки любят и знают ее  Под именем «Гунтер» Под именем «Гунтер» Две шкалы «Гунтера»­ Две шкалы «Гунтера»­ Вот чудо изобретательности. Вот чудо изобретательности. Экспонентой порождена Экспонентой порождена Логарифмическая линейка: Логарифмическая линейка: У инженера и астронома не было У инженера и астронома не было Инструмента полезнее, чем она. Инструмента полезнее, чем она. Даже изумные искусства питаются ею. Даже изумные искусства питаются ею. Разве музыкальная гамма не есть Разве музыкальная гамма не есть Набор передовых логарифмов? Набор передовых логарифмов? И таким образом абстрактно красивое И таким образом абстрактно красивое Стало предком одного из величайших  Стало предком одного из величайших  Человеческих достижений» Человеческих достижений» Были поэты, которые не посвящали од экспоненте, но упоминали их в своих стихах, Например,  Были поэты, которые не посвящали од экспоненте, но упоминали их в своих стихах, Например,  поэт Борис Слуцкий в стихотворении «Физики и лирики». поэт Борис Слуцкий в стихотворении «Физики и лирики».

Применение Применение показательной показательной функции в функции в природе и технике. природе и технике.

функция?? функция?? Подумайте !Где может  Подумайте !Где может  Тема «Показательная функция» Тема «Показательная функция» является основополагающей при является основополагающей при использоваться показательная  использоваться показательная  изучении таких тем, как изучении таких тем, как «Производная показательной «Производная показательной функции», «Термодинамика», функции», «Термодинамика», «Электромагнетизм», «Ядерная «Электромагнетизм», «Ядерная физика», «Колебания», физика», «Колебания», используется для решения используется для решения некоторых задач судовождения. некоторых задач судовождения.

Наглядный бытовой пример! Наглядный бытовой пример! Все, наверное, замечали, что если снять кипящий  Все, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей температурой чайника и температурой окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась То, а температура воздуха T1, то чайника равнялась То, а температура воздуха T1, то через t секунд температура Т чайника выразится через t секунд температура Т чайника выразится формулой: формулой: T=(T1-T0)e-kt+T1,  T=(T1-T0)e-kt+T1, где k - число, зависящее от формы чайника, материала,  где k - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится. нем находится.

При падении тел в безвоздушном пространстве  При падении тел в безвоздушном пространстве  скорость их непрерывно возрастает. скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе При падении тел в воздухе скорость падения тоже скорость падения тоже увеличивается, но не может увеличивается, но не может превзойти определенной превзойти определенной величины. величины.

Рассмотрим задачу о падении  Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что скорости падения парашютиста, т.е. что F=kv , то через t секунд скорость падения F=kv , то через t секунд скорость падения будет равна: v=mg/k(1-e-kt/m), где m - будет равна: v=mg/k(1-e-kt/m), где m - масса парашютиста. Через некоторый масса парашютиста. Через некоторый промежуток времени е-kt/m станет очень промежуток времени е-kt/m станет очень маленьким числом, и падение станет маленьким числом, и падение станет почти равномерным. Коэффициент почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от пропорциональности k зависит от размеров парашюта. Данная формула размеров парашюта. Данная формула пригодна не только для изучения падения пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пушинки и т.д. капли дождевой воды, пушинки и т.д.

Много трудных математических  Много трудных математических задач приходится решать в теории задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. межпланетных путешествий. Одной из них является задача об Одной из них является задача об определении массы топлива, определении массы топлива, необходимого для того, чтобы необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от самой ракеты (без топлива) и от скорости v0, с которой продукты скорости v0, с которой продукты горения вытекают из ракетного горения вытекают из ракетного двигателя. двигателя.

Если не учитывать Если не учитывать сопротивление воздуха и сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой: топлива определиться формулой: M=m(ev/v0-1) (формула M=m(ev/v0-1) (формула К.Э.Циалковского). Например, К.Э.Циалковского). Например, для того чтобы ракете с массой для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива. т топлива.

Если при колебаниях маятника,  Если при колебаниях маятника, гири, качающейся на пружине, не гири, качающейся на пружине, не пренебрегать сопротивлением пренебрегать сопротивлением воздуха, то амплитуда колебаний воздуха, то амплитуда колебаний становится все меньше, колебания становится все меньше, колебания затухают. Отклонения точки, затухают. Отклонения точки, совершающей затухающие совершающей затухающие колебания, выражается формулой: формулой: колебания, выражается s=Ae-ktsin(?t+?). Так как множитель Так как множитель s=Ae-ktsin(?t+?). е-kt уменьшается с течением течением е-kt уменьшается с времени, то размах колебаний времени, то размах колебаний становится все меньше и меньше. становится все меньше и меньше.

Когда радиоактивное вещество  Когда радиоактивное вещество распадется, его количество распадется, его количество уменьшается. Через некоторое время уменьшается. Через некоторое время остается половина первоначального остается половина первоначального количества вещества. Этот промежуток количества вещества. Этот промежуток времени to называется периодом времени to называется периодом полураспада. Вообще через t лет масса полураспада. Вообще через t лет масса m вещества будет равна: m=m0(1/2)t/t0, m вещества будет равна: m=m0(1/2)t/t0, где m0 - первоначальная масса где m0 - первоначальная масса вещества. Чем больше период вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее полураспада, тем медленнее распадается вещество. распадается вещество. Явление радиоактивного распада  Явление радиоактивного распада используется для определения возраста используется для определения возраста археологических находок, например, археологических находок, например, определен примерный возраст Земли, определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет, для поддержания около 5,5 млрд. лет, для поддержания эталона времени. эталона времени.

Задача: Период полураспада плутония равен 140  Задача: суткам. Сколько плутония останется через  10 лет, если его начальная масса равна 8г ? сут . Решение .  Т 140  10 t лет 0  m 8 г m = ? t mtm 0 )(  365 1 2  10 1 2  (8)( tm )  ,1 1345  7  10 13,1)( г  10  7 ( г ). t T ) ( дней ) 3650 ( 3650 140 Ответ: 1,13•10­7 (г).

Как Как видите, во всех видите, во всех приведенных приведенных выше исследованиях выше исследованиях использовалась использовалась показательная показательная функция. функция.

Вот некоторые из Нобелевских  Вот некоторые из Нобелевских лауреатов, получивших премию за лауреатов, получивших премию за исследования в области физики с исследования в области физики с использованием показательной использованием показательной функции: функции: Пьер Кюри - 1903 г.  Пьер Кюри - 1903 г. Ричардсон Оуэн - 1928 г.  Ричардсон Оуэн - 1928 г. Игорь Тамм - 1958 г.  Игорь Тамм - 1958 г. Альварес Луис - 1968 г.  Альварес Луис - 1968 г. Альфвен Ханнес - 1970 г.  Альфвен Ханнес - 1970 г. Вильсон Роберт Вудро - 1978 г.  Вильсон Роберт Вудро - 1978 г.

Она не перестаёт нас удивлять! Она не перестаёт нас удивлять! Показательная функция также  Показательная функция также используется при решении используется при решении некоторых задач судовождения, некоторых задач судовождения, например, функцию е-x используют например, функцию е-x используют в задачах, требующих применения в задачах, требующих применения биноминального закона биноминального закона (повторение опытов), закона (повторение опытов), закона Пуассона (редких событий), закона Пуассона (редких событий), закона Релея (длина случайного вектора). Релея (длина случайного вектора).

Понятие показательной функции  Понятие показательной функции было введено в XVII веке. Так вот было введено в XVII веке. Так вот сейчас ваши знания в этой области сейчас ваши знания в этой области находятся на уровне знаний ученых находятся на уровне знаний ученых того времени. Сейчас на дворе XXI того времени. Сейчас на дворе XXI век. Так что перспектива развития век. Так что перспектива развития ваших знаний велика. Дерзайте, ваших знаний велика. Дерзайте, достигайте уровня ученых наших достигайте уровня ученых наших дней. дней.

Применение  Применение  показательной функции показательной функции в биологии . в биологии .

Применение логарифмической  функции в биологии. В питательной среде бактерия  кишечной палочки делится каждую  минуту. Понятно, что общее число  бактерий за каждую минуту  удваивается. Если в начале процесса  была одна бактерия, то через х минут  их число (N) станет равной 2х , т.е.                          N(х) = 2х.

Задача: Ежемесячно на банковский вклад, равный S0  рублей начисляется  р%. На сколько процентов  возрастет банковский вклад за  х  месяцев? Решение. Пусть р = 2%,  х = 12 месяцев.  Тогда за год банковский вклад возрастет на  )( xS 0  S  S 12 02,1(  S )1 ,1( S S 0 0 0 0 268241  )1 S ,27,0 0 0  12 )02,01( 27,0 S S 0 0  27%100  %. Ответ: на 27%.

Задача: Процент инфляции показывает, на сколько  процентов (в среднем) выросли цены.     1) Выразите процент инфляции за  х  месяцев,  если ежемесячно инфляция составляет 3%.     2) Вычислите с помощью калькулятора годовой  процент инфляции. Решение.