Презентация "Сфера, вписанная в конус или многогранник и сфера, описаннная около конуса или многогранника"

Сфера, вписанная в конус Сфера  называется  вписанной  в  конус,  если  она  касается  его  основания и боковой поверхности (касается каждой образующей).  При этом конус называется описанным около сферы. В любой конус (прямой, круговой)  можно вписать сферу. Ее центр  находится на высоте конуса, а радиус  равен радиусу окружности, вписанной  в треугольник, являющийся осевым  сечением конуса. Напомним, что радиус r окружности,  вписанный в треугольник, находится по  формуле r  S p , где S – площадь, p – полупериметр  треугольника.

Упражнение 3 Радиус  основания  конуса  равен  1.  Образующая  наклонена  к  плоскости основания под углом 45о. Найдите радиус вписанной  сферы. Решение. Высота SH конуса  2 равна 1. Образующая       .  1 Полупериметр p равен 2. По формуле r = S/p, имеем  2 1.  2 1.  r  1  1 2 r  Ответ:

Упражнение 4 Высота  конуса  равна  8,  образующая  10.  Найдите  радиус  вписанной сферы. Решение. Радиус основания конуса  равен 6. Площадь треугольника  SFG равна 48, полупериметр 16. По  формуле r = S/p имеем r = 3. Ответ: r = 3.

Сфера, описанная около конуса Сфера  называется  описанной  около  конуса,  если  вершина  и  окружность основания конуса лежат на сфере. При этом конус  называется вписанным в сферу.  Около любого конуса (прямого,  кругового) можно описать сферу. Ее  центр находится на высоте конуса, а  радиус равен радиусу окружности,  описанной около треугольника,  являющимся осевым сечением конуса. Напомним, что радиус R окружности,  описанной около треугольника,  abc находится по формуле S 4 , где S – площадь, a, b, c – стороны  треугольника. R 

Упражнение 1 Около  конуса,  радиус  основания  которого  равен  1,  а  образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус. Решение. Треугольник SAB  равносторонний со стороной 2.  Высота SH равна         Площадь S  равна        По формуле R = abc/4S  3. получаем 3. R  2 3 3 .

Упражнение 2 Около  конуса,  радиус  основания  которого  равен  4,  описана  сфера радиуса 5. Найдите высоту h конуса. Решение. Имеем, OB = 5, HB = 4.  Следовательно,  OH = 3. Учитывая,  что SO = OB = 5, получаем h = 8. Ответ: h = 8.

Многогранники, вписанные в сферу Теорема. Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда,  когда около основания этой призмы можно описать окружность. Ее  центром  будет  серединой  отрезка,  соединяющего  центры  окружностей,  описанных  около  оснований  призмы. Радиус сферы R вычисляется по формуле  точка  O,  являющаяся  где  h  –  высота  призмы,  r  –  радиус  окружности,  описанной  около  основания призмы. R   r 2 , 2 h   2   

Упражнение 1 Найдите радиус сферы, описанной около единичного куба. Ответ: R  3 2 .

Упражнение 2 Найдите ребро куба, вписанного в единичную сферу. Ответ: a  2 3 3 .

Многогранники, описанные около сферы Многогранник называется описанным около сферы, если плоскости  всех его граней касаются сферы. Сама сфера называется вписанной  в многогранник. Теорема. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу, и  притом только одну. Теорема. В призму можно вписать сферу тогда и только тогда,  когда в ее основание можно вписать окружность, и высота призмы  равна диаметру этой окружности.

Упражнение 1 Найдите радиус сферы, вписанной в единичный куб. Ответ: r  1 2 .

Упражнение 2 В куб вписана сфера радиуса 1. Найдите ребро куба. Ответ: 2.