Приближенные решения уравнений. Метод итераций.
Оценка 4.8

Приближенные решения уравнений. Метод итераций.

Оценка 4.8
Лекции
docx
математика
11 кл +1
13.05.2020
Приближенные решения уравнений. Метод итераций.
Все мы знаем, что программируемый калькулятор или компьютер может решать весьма сложные задачи. Достаточно ввести условие или какие-либо данные. Одним нажатием клавиши мы получаем ответ. Но мало кто задумывается, как это происходит. В основе всех такого рода программ лежит Теория приближенных вычислений. Данный курс я начинал разрабатывать в конце 90-х - начале 2000-х годов, будучи старшим преподавателем АГПУ. Элементами этой теории я решил с вами поделиться.
Приближенные решения уравнений. Метод итераций..docx

В. А. Дорофеев

 

Приближенные решения уравнений. Метод итераций.

 

Рассмотрим вначале сущность итерационного метода. В отличие от прямых или точных методов, итерационные дают возможность получить решение лишь приближенно, путем повторения некоторой совокупности операций, позволяющей по исходному приближенному значению решения определить его уточненное значение. Выполнение этой совокупности операций составляет одну итерацию. Многократное повторение итераций позволяет получать все более точное решение при условии, что итерационный процесс сходится к искомому решению.

         Если данное уравнение

f(x)=0

приведено к виду

x=j(x), где |j'(х)|£r<1

всюду на отрезке [a, b], на котором оно имеет единственный корень, то исходя из некоторого начального значения х0, принадлежащего отрезку [a, b], можно построить такую последовательность:

х1=j(х0), х2=j(х1),…, хn=j(xn-1),… .

 Пределом этой последовательности является единственный корень уравнения f(x)=0 на отрезке [a, b].Погрешность приближенного значения xm корня  определяется неравенством:

.

 

Пример: Методом итераций решить с точностью до 0,01 уравнение x3-12x-5=0.

              5    y

 

 

 

 

                    1

O                                                                  

          -1       M  1                                    x                   

                                                                  

                                                                    

Решение:

Найдем интервал изоляции действи- тельного корня уравнения. представим данное уравнение в виде x3=12x+5 и построим графики двух функций  y = x3  (1) и y=12x+5   (2). Абцисса точки М пересечения этих графиков находится в промежутке [-1,0], поэтому за начальное значение  можно взять . Запишем исходное уравнение в виде: .

Здесь , , то есть  в промежутке [-1,0] и поэтому метод итераций применим. Найдем теперь первое приближенное значение:

Найдём второе и последующие приближения:

;

;

.

Следовательно, искомый корень x»0,42.

Замечание 1. Уравнение y=f(x) можно записать иначе. Одним из самых распространенных представлений является представление в виде: x=x+cf(x), где с является произвольной постоянной.

Замечание 2. Для нахождения приближенного значения корня с погрешностью, не превышающей e, достаточно определить m так, чтобы выполнялось неравенство .


 

В. А. Дорофеев Приближенные решения уравнений

В. А. Дорофеев Приближенные решения уравнений

Здесь , , то есть в промежутке [-1,0] и поэтому метод итераций применим

Здесь , , то есть в промежутке [-1,0] и поэтому метод итераций применим
Скачать файл