Применение метода рационализации при решении неравенств с модулем

Дорофеев В. А. Применение метода рационализации при решении неравенств с модулем  Метод   рационализации   не   ограничивается,   конечно,   возможностью   решения   лишь логарифмических неравенств. Вообще, суть метода в том, чтобы заменить «неудобные» части в выражении более простыми, которые имеют такой же знак, что и исходные части при   тех   же   значениях  .   Поэтому   метод   рационализации   применим   к   множеству различных неравенств. В том числе, к неравенствам с модулями. К решению любого неравенства с модулем можно подойти стандартным образом. Раскрывать модули в зависимости от знаков подмодульных выражений при различных значениях  Знак выражения  . Однако, можно воспользоваться следующим свойством.  совпадает со знаком выражения при   любых   значениях  методом рационализации. Неравенство типа .   Это   и   используется   при решении   неравенств   с   модулями равносильно неравенству Здесь знак  Покажем это: известно, что  , логическое «и» означает любой из знаков  ,  . Тогда обе части неравенства можно возвести в квадрат, перенести всё в одну сторону и воспользоваться формулой «разность квадратов»: ,   или  .  и  В   этом   и   состоит   суть   метода   рационализации   неравенств,   содержащих   модули. Рассмотрим конкретный пример. Пример 1. Решите неравенство: Воспользуемся методом рационализации для решения данного неравенства. Заменим его равносильным и более простым неравенством: Приведём подобные слагаемые в обеих скобках: Из первой скобки вынесем множитель ­10, а из второй — множитель  части неравенства на ­20, поменяв при этом его знак:  и разделим обе Видно, что выражение слева может быть меньше нуля только при   (так как второй множитель   всегда   неотрицателен,   ибо   является   полным   квадратом),   а   равно   нулю при  . Итак, окончательный ответ к данному неравенству:  или  . 1Вот такое простое и изящное решение. При этом можете себе представить, что было бы,  если  бы  мы  решили  воспользоваться  стандартным  методом  решения  неравенств   с модулями и стали бы раскрывать модули при различных значениях  Рассмотрим ещё один пример решения неравенства с модулем методом рационализации. На этот раз из реального прототипа заданий для ЕГЭ по математике. . Пример 2. Найдите все значения  , при каждом из которых неравенство выполняется при всех  . Воспользуемся   методом   рационализации   для   решения   данного   неравенства   с модулем. Заменим исходное неравенство равносильным ему неравенством без модулей: После   преобразования   выражений,   находящихся   в   скобках,   получаем   следующий результат: Поскольку     при   всех   значениях  (так   как   при   решении соответствующего   квадратного   уравнения  D  <   0   и   при  a  =   1   график   функции y=x2+x+1   расположен   в  верхней  полуплоскости),  то  можно  дважды  умножить   обе части полученного неравенства на   , не меняя при этом знак неравенства. В результате приходим к следующему неравенству: Умножая обе части неравенства на ­1, получим : Последнее неравенство может быть выполнено для любых   только в том случае, если обе соответствующие параболы, ветви которых направлены вверх, целиком лежат выше   оси  Oх.   Это   условие   выполняется   в   том   случае,   если   дискриминанты   обоих квадратных трёхчленов отрицательны. То есть имеет место система неравенств: Решением этой системы является промежуток:  На самом деле предложенный метод, конечно, работает не только с неравенствами, но и с уравнениями. Рассмотрим для примера решение следующего примера из реальных прототипов заданий ЕГЭ по математике. Пример 5. Найдите все значения  , при каждом из которых уравнение имеет более двух различных корней. 2Заменим данное уравнение следующим равносильным ему уравнением: Или после упрощения выражений, стоящих в обеих скобках: После вынесения общих множителей из скобок получаем: Заметим,  что  при   корень   может  быть   любым   числом.  Этот  случай   нам подходит. Для   разделим обе части этот уравнения на  , тогда имеем: Данное уравнение может иметь от 1 до 3 корней. Нам нужны случаи, когда будет 3 различных   корня.  Один   из   этих   корней   обязательно   будет   равен    (при   (x  –  3)  =  0). Следовательно,   задача   сводится   к   поиску   всех   значений   параметра a,   при   каждом   из которых квадратный трёхчлен, стоящий в скобках имеет два корня, причем  каждый из них отличен от  3. Это условие достигается тогда и только тогда, когда дискриминант этого   квадратного   трехчлена   положителен   (то   есть   D=x(1−a)2−4(4−3a)>0 )     и значение многочлена в скобках при    не равно нулю. То есть имеет место система неравенств: Эту систему можно упростить: Решением этой системы является промежуток: . 3