Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Знать определение прямой перпендикулярной к плоскости зачастую недостаточно для успешного  решения задач. Поэтому на этом уроке учащиеся знакомятся с признаком перпендикулярности  прямой и плоскости. Пополнив таким образом свой багаж знаний, ученики смогут значительно  расширить круг решаемых задач. Конспект урока "Признак перпендикулярности прямой и плоскости"    Материал урока. На прошлых уроках вы познакомились с понятием прямой перпендикулярной к плоскости. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Но, так как плоскость содержит бесконечно много прямых, становится невозможным проверить перпендикулярность данной прямой ко всем прямым плоскости. И вообще, возникают сомнения в том, что такая прямая есть. Но мы с вами приводили примеры прямых перпендикулярных к плоскости из жизни. Очевидно, есть способ построения таких прямых. В этом помогает признак перпендикулярности прямой и плоскости. И звучит он так: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Докажем это утверждение. Но перед этим вспомним свойство, которое активно будем применять при доказательстве. А именно свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему. Ну, а каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Итак, рассмотрим плоскость α; прямые p и q, лежащие в ней и пересекающиеся в точке О; а также прямую a, перпендикулярную к прямым p и q. Нужно доказать, что прямая a перпендикулярна к плоскости α. То есть перпендикулярна к произвольной прямой m плоскости α. Рассмотрим случай, когда прямая a проходит через точку О. И через точку О проведём прямую l параллельную прямой m. Далее отметим на прямой a точки А и B так, чтобы точка О являлась серединой отрезка АB, и проведём в плоскости α прямую пересекающую прямые p, q и l в точках P, Q и L соответственно. Так как прямая a перпендикулярна к прямым p и q и точка О является серединой отрезка АB, то можно сказать, что прямые p и q являются серединными перпендикулярами к отрезку АB. Тогда, точка P равноудалена от концов отрезка АB, то есть равны отрезки AP и BP. Аналогично, точка Q равноудалена от концов отрезка АB, и равны отрезки AQ и BQ. Тогда треугольники APQ и BPQ равны по трём сторонам. Отсюда равны углы APQ и BPQ. Теперь рассмотрим треугольники APL и BPL. Они равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда равны отрезки AL и BL. Это означает, что точка L равноудалена от концов отрезка AB, а прямая l является серединным перпендикуляром к отрезку АB. Тем самым мы получили, что прямая l перпендикулярна к прямой a. Так как прямая m параллельна прямой l, а прямая l перпендикулярна к прямой a, то по лемме о двух параллельных прямых перпендикулярных к третьей получаем, что прямая m так же перпендикулярна к прямой a. Мы доказали теорему для случая, когда прямая a проходит через точку О. А теперь рассмотрим случай, когда прямая a не проходит через точку О. Проведём через точку О прямую a1 параллельную прямой a. Так как прямые a1 и a параллельны, а прямая a перпендикулярна к прямым p и q, то и прямая a1 перпендикулярна к данным прямым. А значит, по первой части доказательства, прямая a1 перпендикулярна к плоскости α. Но ведь прямая a параллельна прямой a1. Тогда и прямая a перпендикулярна к плоскости α. Что и требовалось доказать. На примере прямоугольного параллелепипеда, например, не трудно доказать, что ребро АА1 перпендикулярно к плоскости ABCD. Действительно, гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники. И можно отметить, что ребро АА1 будет перпендикулярно к ребру АБ, а также перпендикулярно к ребру АД. Рёбра АБ и АД, в свою очередь, пересекаются в точке А и лежат в плоскости АБЦД. Это означает, что, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ребро АА1 перпендикулярно к плоскости АБЦД. Воспользуемся доказанным признаком и решим следующую задачу. Задача. Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой. Решение. Если точка M лежит на прямой a, то, аналогично предыдущему доказательству, через прямую a проводят две плоскости и в них проводят перпендикуляры к прямой a через точку M. Плоскость, проходящая через две проведённые прямые, и является искомой. Стоит заметить, что плоскость γ будет единственной плоскостью проходящей через точку M и перпендикулярной к прямой a. Посмотрим, как можно применять полученные на этом уроке знания при решении задач. тетраэдр, где точка Задача. , Доказать, что плоскость треугольника прямой . . — середина ребра . перпендикулярна к Решение. Что и требовалось доказать. Решим ещё одну задачу. Задача. В треугольнике медиана. , см, см, . Найти , если см. Решение. Ответ. 13 см. При решении задачи мы воспользовались свойством прямоугольного треугольника. Вспомним его подробнее. В треугольнике ABC угол C равен 90° тогда и только тогда, когда медиана CM равна половине гипотенузы AB. Отсюда можно сформулировать два утверждения. Если в треугольнике ABC угол C равен 90°, то медиана CM равна половине гипотенузы АB. И второе утверждение: если медиана CM треугольника ABC равна половине гипотенузы АB, то угол C данного треугольника равен 90°. Действительно, если угол C= 90°, то треугольник не трудно достроить до прямоугольника. И зная, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, можно заметить, что CM действительно равно половине AB. Ну, а если же в треугольнике ABC медиана CM равна половине стороны AB, то она делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника. Равные углы треугольника ACM обозначим за α. А равные углы треугольника BCM за β. Запишем теорему о сумме углов треугольника для треугольника ABC. Получаем, что удвоенная сумма углов α и β равна 180°. Отсюда α+β= 90°. А величина угла C как раз таки и равна α+β и, значит, равна 90°. Подведём итоги нашего урока. Сегодня мы познакомились с признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Так же нами были рассмотрены примеры решения геометрических задач с помощью признака изученного на этом уроке.