Программа факультативного курса «Замечательные кривые»

Пояснительная записка

Предлагаемый курс призван развить творческие способности учащихся, расширить представление о теоретических и практических методах решения геометрических задач, ознакомить с нестандартными подходами к их решению.

Структура курса предполагает высокую активность учащихся, поскольку занятия построены как уроки-практикумы, что создает условия для постоянного самосовершенствования учеников. При изучении курса удачно используются приемы парной, групповой деятельности для выполнения элементов самооценки, взаимооценивания, умения работать с математической литературой.

Приобретенные знания, умения преодолевать трудности и самостоятельно решать достаточно сложные геометрические задачи пригодятся при дальнейшем обучении в профильных учебных заведениях.

Цель курса - привлечь учащихся к процессу решения достаточно сложных, интересных задач прикладного направления.

Задача курса:

• совершенствование математической культуры и творческих способностей учащихся на основе коррекции базовых математических знаний;

• развитие логического мышления учащихся и закрепление базовых математических понятий на уровне практического использования;

• расширение математических представлений по некоторым темам;

• формирование поисково-исследовательских навыков;

• развитие аналитического мышления, памяти, формирования умений преодолевать трудности при решении более сложных задач.

Тематическое планирование

Изучение курса проходит в течение одного года, недельная нагрузка составляет 45 минут. Распределение может быть изменено учителем в зависимости от уровня подготовки учащихся и их заинтересованности.

Занятие №1. Вводное занятие

Исторически сложилось, что зарождение основных геометрических понятий началось еще в доисторический период. Первые реальные предпосылки возникновения научных знаний по геометрии связаны с трудовой деятельностью человека, с необходимостью создания орудий труда и средств существования. Материальные потребности заставляли людей изготавливать орудия труда, строить жилье, культовые сооружения, лепить глиняную посуду. Выполняя эти операции тысячи раз, люди постепенно пришли к одному из первых абстрактных геометрических понятий - прямой линии. Примерно таким же образом возникли и другие геометрические понятия: точки, поверхности геометрического тела, тому подобное. Именно этот начальный период развития геометрии характеризуется скоплением фактов и установлением первых простейших зависимостей между геометрическими образами и объектами. Наиболее древними письменными источниками, в которых упоминается о геометрии и дается описательная классификация основных геометрических понятий, являются: египетские папирусы Райнд (датируется 1800-1600 гг. до н.э., хранятся в Британском музее в Лондоне и частично в Нью-Йорке, названы именем английского египтолога, который их нашел) и так называемый Московский папирус, который хранится в Московском музее изобразительных искусств им. А.С.Пушкина и датируется 1900 г. до н. э., а также многочисленные клинописные керамические таблички, найденные на территории современного Ирака. Их найдено около 500 000 .

Некоторые из них содержат тексты и решения задач, другие - числовые таблицы. По сравнению с египтянами вавилонские математики сделали шаг вперед в развитии геометрии. Квадрат и треугольник они воспринимали как абстрактные фигуры, о прямоугольнике говорили - это «то, что имеет длину и ширину», о трапеции - «лоб быка», о круге - «изгиб». Терминов «точка», «прямая», «линия», «поверхность», «плоскость», «Параллельность», «перпендикулярность» еще не было.

Примерно в VI в. до н. е. начальные геометрические сведения из Египта и Вавилона были привнесены в Грецию, где они постепенно начали оформляться в стройную систему фактов, строго доказываться, то есть началось формирование геометрии как науки. Именно в Древней Греции, начиная с VIИ ст. до н.э. начинается новый этап развития геометрии. Она приобретает абстрактное направления: в ней возникают доказательства, делаются первые попытки систематизации геометрических понятий. Дальнейшее развитие основные геометрические понятия приобрели в трудах древнегреческих математиков Гиппократа Хиосского, Евдокса Книдского, Феодора Киренского, Фалеса Милетского, Архита Тарентского, Евклида, Архимеда, Аполлония и многих других. Греки составили также первые систематические и доказательные труды по геометрии. Так благодаря переходу от набора правил к установлению общих закономерностей геометрия начала постепенно превращаться в науку.

Формирование общего определения линии и поверхности продолжалось более 2000 лет, от определение Евклида к строгому внутренне геометрического определения П.С. Урисона.

Центральное место среди работ по геометрии периода ее развития занимают составленные около 300 лет до н. е. «Начала» Евклида. В фундаментальной научной работе Евклида «Начала», геометрия изложена в логической последовательности на основе четко сформулированных основных положений – аксиом и основных пространственных представлений, таких как точка, прямая линия, плоскость, геометрическое тело. Линию Евклид означает, как длину, что лишена ширины. Пределами линии есть точки. В его понимании прямая линия - это линия, содержит все свои точки на одном уровне, ни одна промежуточная точка которой не отклоняется вверх или вниз. Кривая линия - это такая, что может быть частью круга. Смешанная линия - это такая линия, не является прямой и не может быть частью круга. Поверхность - это то, что имеет длину и ширину, пределами поверхности является линии. Плоская поверхность - это такая поверхность, все линии которой расположены на одном уровне. Но такие определения нельзя считать не только строгими, но даже конкретными, потому что в них одно неизвестное (линия) обозначается с помощью других неизвестных (длина, ширина, край поверхности), которые в свою очередь требуют определения.

В XVII веке значительным вкладом в развития геометрии стало открытие Р. Декартом (1596-1650) и П.Ферма (1601- 1665) координатного метода (1637) и создание на его основе нового направления в геометрии - аналитической геометрии [9]. Рене Декарт, вместо геометрического понимания числа, предлагает использовать алгебраическое. С помощью системы координат ученый выводит науку аналитической геометрии на новый уровень. Именно этот период следует считать зарождением аналитической геометрии как науки. Декарт разработал математическую символику, которая стала основой для современной. Базовым понятием аналитической геометрии является понятие системы координат. Впервые относительно строгое и общее определение линии он предложил в первой половине 17 в., где рассматривает линию как алгебраическую кривую, которая может быть описана уравнением вида F(x,y) = 0, степень многочлена F(x,y) определяет порядок алгебраической линии. Однако такое определение линии является неполным, поскольку уже даже в то время были известны кривые, которые нельзя было описать уравнением вида F(x,y) = 0. Примером такой кривой может служить спираль Архимеда.

Более четкое параметрическое определение плоской линии предложил во второй половине XIX в. французский математик К.Жордан (1838-1922). Линия - это плоская кривая, которая является совокупностью точек плоскости, координаты которых удовлетворяют параметрическим уравнение: х= φ(t) и y= ψ(t)  являются непрерывными функциями аргумента t на отрезке 0 ≤ t ≤ 1если разным значениям аргумента t из отрезка [1,0] соответствуют различные точки плоскости, то линия называется простой или линией (кривой) без крайних точек. Когда же значением 0 и 1 аргумента t отвечает одна и та же точка плоскости - это линия называется замкнутой.

Но вскоре в 1890 итальянский математик Дж.Пеано доказал, что определение линии Жордана может не согласовываться с привычным представлениям о линии. В частности, он показал, что можно так подобрать функции φ и ψ непрерывные на отрезке 0  ≤ t ≤ 1, что совокупность точек, координаты которых удовлетворяют уравнению х= φ(t) и y= ψ(t)  заполняет целый квадрат. То есть, какую бы точку А (x, y) из этого квадрата мы ни взяли, всегда найдется такое значение параметра 0 ≤ t ≤ 1, которое будет удовлетворять уравнения х= φ(t) и y= ψ(t) . Кривой Пеано называют любую кривую Жордана, графиком которой является некоторый квадрат (рис. 1).

Рисунок 1. Кривая Пеано

Иными словами, кривая Пеано проходит через любую точку некоторого квадрата. В связи с этим говорят также, что кривая Пеано заполняет квадрат. А это свидетельствует о том, что определение Жордана также является общим. В связи с этим снова встал вопрос об уточнении понятия линии.

В случае плоских линий эта проблема была окончательно решена немецким математиком Г.Кантором (1845-1918), который обозначил плоскую линию (кривую) как любое связное, компактное множество точек плоскости, которое не содержит в себе никакой внутренней точки. Определение Кантора наиболее строгое в случае плоских кривых, но оно совершенно непригодное в случае пространственных кривых. Поэтому возникла необходимость уточнить определение линии в случае пространственных кривых.

В начале ХХ в. начинается новый этап в развитии аналитической геометрии. Именно в этот период советским математиком П.С.Урисоном было дано наиболее общее определение линии (кривой), которым пользуются в современной топологии и которое пригодно для любого пространства. Линия - это связный континуум топологической размерности 1. Континуум, лежащий на плоскости, является линией в смысле П.С. Урисона тогда и только тогда, когда он не содержит внутренних точек. Определению Урисоном можно пользоваться не только в трехмерном пространстве, но и в любом n-мерном пространстве.

Обозначить достаточно класс линий позволяет метод координат, суть которого заключается в том, что с введением системы координат точки на плоскости отождествляются с парами действительных чисел, что позволяет задавать геометрические объекты с помощью соотношений между числами и при их исследовании использовать средства алгебры и анализа.

В аналитической геометрии ограничиваются рассмотрением линий в понимании Р. Декарта: плоская линия - это геометрическое место точек плоскости, координаты (x, y) которые в некоторой системе координат удовлетворяют уравнения F(x,y)=0, где F(x,y) – математическое выражение, которые содержат переменные x и y.

Сегодня линии классифицируют как алгебраические и трансцидентные.

В традиционных курсах аналитической геометрии алгебраические линии являются основным объектом изучения. Примерами таких линий являются: прямая - это алгебраическая линия первого порядка (рис. 2 а) эллипс, гипербола (рис. 2 б), парабола - основные алгебраические кривые второго порядке; декартов лист (рис. 2 в), циссоида, кубическая парабола и др. - кривые высших порядков.

          а) прямая                                б) гипербола                         в) декартов лист

Рисунок 2. Алгебраические линии

Уже математикам древней Греции  (Менехм, около 340 гг. до н.э.) было известно, что эти кривые возникают при сечении прямого кругового конуса плоскостью, которая не проходит через вершину. Именно эти линии называют коническими сечениями.

Наиболее полным произведением, посвященным этим кривым, была работа «Конические сечения» Аполлония Персидского (около 200 гг. до н.э.). Полное исследование конических сечений стало возможным благодаря появлению в 17 в. проективного и координатного методов. Благодаря мощности метода координат для исследования линий, пространственный подход к определению конических сечений был заменен планиметрическим.

Линии, которые в понимании Декарта, не являются алгебраическими, называются трансцидентными. Такие линии встречаются в школьном курсе математики в качестве графиков функций, в частности, показательной, логарифмической, тригонометрической и др.

В курсе аналитической геометрии к трансцидентным линиям относятся такие линии: цепная линия, спираль Архимеда, гиперболическая спираль, спираль Галилея, спираль Ферма и др.

Более подробно мы познакомимся с их свойствами в курсе факультатива «Замечательные кривые», а так же научимся строить такие кривые с помощью приложения Microsoft Excel.

Занятие 2.  Прямая и окружность

Движущаяся точка и на самом деле описывает прямую, когда она переходит из одного своего поло­жения в любое другое по кратчайшему пути. Если точка движется на плоскости, сохраняя неизменное расстояние от некоторой неподвижной точки той же плоскости, то она описывает окружность; на этом свойстве окружности основано ее вычерчивание посредством циркуля. Окружность - замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра). Прямая и окружность — две наиболее простые и вместе с тем наиболее замечательные по своим свой­ствам кривые.

Окружностью называется геометрическое место точек плос­кости, расстояние от каждой из которых до данной точки, на­зываемой центром, есть

Окружность с центром в точке (0, 0) можно задать:

1)                В декартовых координатах: x² + y² = a²

 a) уравнением (R = a радиус окружности) величина постоянная.

b) параметрическими уравнениями при t ∈ [0, 2π) (рис.1)

 , (R=a) или   , (R=

2)         В полярных координатах уравнение окружности ра­диуса a с центром в точке (0, 0) имеет вид: r = a. Действительно, так как x² + у² = a² и x = r cos ф, у = r sin ф, то (r cos ф)² + (r sin ф)² = a².

 Упростим, r²(cos² ф + sin² ф) = a². Окончательно имеем r=a  (Рис.2).

Рис.3.                                                                      Рис.3.

 , (R=   r = 1, (R=1)

Окружность с центром в точке (xo,yo) можно задать:

1)         В декартовых координатах

a)          уравнениями:

1) (x - x_o)² + (y - y_o)² = a²;

2) x² + y² — 2ax = 0

Чтобы перейти от уравнения x²+y² — 2ax = 0 к знакомому уравнению окружности, прибавим к обоим частям этого урав­нения а2. Получим x²+y²—2ax+a² = a2. Тогда (x—a)²+y² = a², т.е. окружность с центром в точке (a, 0) и радиусом a.

3) x² + y² — 2ay = 0

Уравнение окружности x² + (y — a)2 = a2 с центром в точке

(0, a) и радиусом a.

b)         параметрически:

                       ,  t ∈

2)               В полярных координатах для a>0 и b>0

a)r = a cos φ, φ ∈

b)r = - a cos φ, φ ∈

c)r = b sin φ, φ ∈

d)r = -b sin φ, φ ∈

e)r = a cos φ + b sin φ , φ ∈

f)r = a cos φ - b sin φ , φ ∈

g)r = - a cos φ + b sin φ , φ ∈

h)r = - a cos φ - b sin φ , φ ∈

На рисунках обозначены точки пересечения окружностей с лучами

 ϕ=0, ϕ=π/2 , ϕ=π, ϕ=3π/2

Рис.5

 Прямая

Все точки прямой линии обладают следующим свойством: проекция на ось n отрезка OM, проведенного из полюса O в точку M прямой, равна a (Рис.4).

Прямую можно задать уравнением r = , где a - расстояние от полюса,  α - угол между полярной осью и осью n, проходящей через полюс, перпендикулярно к прямой.

Рис.6

Занятие 3. Эллипс

Эллипс (греч. elleipsis - недостаток) - линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей все прямолинейные образующие одной полости этого конуса.

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса принято обозначать через F1 и F2.

F₁ , F₂ – фокусы . F₁ = ( c ; 0);

F ₂ (- c ; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Основные свойства эллипсa:

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом r₁ равен углу между касательной и фокальным радиусом r₂ 

2. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, соединяющий середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда будет проходить через центр эллипсa. (Это свойство дает возможность построением с помощью циркуля и линейки получить центр эллипса.)

3. Эволютой эллипсa есть астероида, что растянута вдоль короткой оси.

4. Если вписать эллипс с фокусами F₁ и F₂ у треугольник ∆ ABC, то будет выполнятся следующее соотношение:

Эллипс можно получить из описанной около него окружности, если все точки окружности приблизить к большой оси эллипса, сократив расстояния точек до большой оси в одно и то же число раз. На этом свойстве основан простой способ построения эллипса по точкам. Строим окружность, проводим какой-либо ее диаметр, а затем заменяем точки окружности другими, лежащими на перпенди­кулярах к диаметру, на расстояниях, в несколько раз

(в 1 у, 2, 3 и т. д.) более близких к нему. Получим

точки эллипса, большая ось которого совпадает с диа­метром окружности, а малая ось в соответствующее число раз (1 у, 2, 3 и т. д.) меньше диаметра.

В декартовых координатах эллипс с полуосями a и b с центром в точке (0, 0) можно задать:

a) уравнением 

b) параметрически:

В полярных координатах уравнение эллипса с полуосями a и b (a > b) с центром в фокусе можно задать уравнением r =  (φ ∈ )

, где P =  - фокальный параметр эллипса, a e =  =   - эксцентриситет эллипса.

Занятие 4. Гипербола

Гипербола (греч. hyperbole) - плоская кривая линия. Это линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающая обе его полости.

Иными словами гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Т.е. если F1 и F2 - данные точки, то гипербола образуется точками М, для которых . Неравенство здесь выражает, что разность двух сторон F1F2М меньше третьей. Фокусы гиперболы принято обозначать через F1 и F2, а расстояние между ними - через 2с.

Гипербола имеет интересное оптическое свойство. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.

По гиперболе движутся тела, навсегда покидающие Землю, скорость которых больше, чем 2-я космическая (11,2 км/c). Также по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома. (Математический энциклопедический словарь)

1) В декартовых координатах гиперболу с полуосями a и b с центром в точке (0, 0) можно задать:  a) уравнением;

b) параметрически: 

2) В полярных координатах уравнение правой ветви гиперболы с полуосями a и b с центром в фокусе можно задать уравнением r =   (ϕ удовлетворяет неравенству 1 – e cos ϕ > 0), где p =   - фокальный параметр гиперболы, e =  - эксцентриситет гиперболы.

Стоит отметить что в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами (для эллипса e < 1, для гиперболы e > 1, для параболы e=1). Значения угла ϕ удовлетворяют неравенству r(ϕ) > 0.

Занятие 5. Парабола

Парабола (греч. parabole) - кривая второго порядка. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до директрисы - буквой p. Величину р называют параметром параболы.

У параболы имеется “оптическое” свойство, если: в фокусе параболы поместить источник света, тогда отбитые от параболы лучи будут параллельными оси Ox. Это свойство учитывают при изготовлении прожекторов, зеркальных телескопов, теле- и радио антенн.
  Камень, брошенный под углом к горизонту, или снаряд, выпущенный из пушки, летят по траектории, имеющей форму параболы.

Если вращать параболу вокруг ее оси симметрии, то получится поверхность, которую называют параболоидом вращения. форму такого параболоида примет поверхность воды, если сильно размешать воду в стакане ложечкой, а потом вынуть её. Если же параболоид вращения поворачивать вокруг его оси с подходящей скоростью, то равнодействующая центробежной силы и силы тяжести в каждой точке параболоида будет направлена перпендикулярно его поверхности.

 В декартовых координатах параболу с параметром p и вершиной в точке

(0, 0) можно задать уравнением y ² = 2px.

 В полярных координатах уравнение параболы с параметром p c центром в фокусе можно задать уравнением r =   (ϕ удовлетворяет неравенству 1−e cos ϕ > 0), где p - фокальный параметр параболы, e = 1 - эксцентриситет параболы.

Занятие 6. Спирали

Спираль Архимеда

Спираль Архимеда - плоская кривая, траектория точки M, которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O.

Спираль Архимеда можно задать в полярных координатах уравнением

r = a + bϕ, ϕ∈ [ a b ,∞). Если a = 0, то r = bϕ, ϕ ∈ [0, ∞).

Логарифмическая спираль

Логарифмическая спираль - плоская кривая, траектория точки M, которая движется вдоль луча OV со скоростью пропорциональной расстоянию OM, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O . Логарифмическую спираль можно задать в полярных координатах уравнением r = aϕ . Различают спирали: a) r = a ϕ , a > 1, ϕ ∈ [0,∞)

b) r = a ϕ , 0 < a < 1, ϕ ∈ [0, ∞)

Занятие 7. Астроида

Астроида представляет собой траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по внутренней стороне другого, неподвижного круга, радиус R которого в четыре раза больше Всякая точка M астроиды есть основание перпендикуляра |PM| к отрезку |AB| постоянной длины a, движущемуся так, что концы его все время находятся на координатных осях.

Астроиду можно задать уравнением  .

параметрически:

и в полярных координатах:  r = a

Занятие 7. Розы Гвидо Гранди

Розами, или кривыми Гвидо Гранди, назы- вают семейство кривых, полярное уравнение которых записывают в виде ρ = asinkϕ или в виде ρ=acoskϕ ,

где a и k — постоянные (будем считать их положительными числами).

Если модуль , то есть k — число рациональное, то розы являются алгебраическими линиями, причём всегда чётного порядка.

 Поскольку правые части уравнений, которые задают кривые Гвидо Гранди, не могут превышать величины a, то вся кривая располагается внутри круга радиуса a. Поскольку sinkϕ является периодической функцией, то розы со- стоят из равных лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен a.

Количество лепестков зависит от величины модуля k.

 1. Если модуль k — целое число, то роза со- стоит из k лепестков при k нечётном и из 2k лепестков при k чётном.

2. Если модуль k — рациональное число, равное  (n >1 ), то роза состоит из m лепестков в случае, когда оба числа m и n нечётные, и из 2m лепестков, если одно из этих чисел является чётным; при этом, в отличие от первого случая, каждый следующий лепесток будет частично перекрывать предыдущий.

3. Если модуль k — число иррациональное, то роза состоит из бесчисленного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.

Всякая точка M четырехлепестковой розы есть основание перпендикуляра |OM| к отрезку |AB| постоянной длины 2a, движущемуся так, что концы его все время находятся на координатных осях .

Четырехлепестковую розу можно задать уравнением (x ² + y ² ) ³ = 4a²x²y²  или в полярных координатах  = a|sin 2ϕ|, ϕ ∈ [0, 2π].

 Трехлепестковая роза:

Занятие 8. Бернулли лемниската

Лемниската Бернулли - одна из самых замечательных алгебраических линий. Из вида уравнения кривой следует, что кривая состоит из двух симметричных лепестков (по внешнему виду эта кривая напоминает перевернутую восьмерку или бантик).

Лемниската - кривая, у которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных точек - фокусов - постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними. Ее автор - швейцарский математик Якоб Бернулли (1654-1705) дал этой кривой поэтическое название «лемниската». В античном Риме так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх.

Характеристическое свойство лемнискаты Бернулли: |F₁M|· |F₂M| = a ² , где F₁(−a, 0), F₂(a, 0).

Лемнискату Бернулли можно задать уравнением (x²+y²)² = 2a² (x² − y²),

в полярных координатах

Параметрическое задание лемнискаты  , t 

Занятие 9. Верзьера Аньези (локон Аньези)

Верзьера Аньези - плоская кривая, геометрическое место точек M, для которых выполнено соотношение:  , где OA – диаметр окружности, BC – полухорда этой окружности, перпендикулярная OA .

Уравнение верзьеры Аньези:

Занятие 11. Циклоида

Циклоида (от греч. слова kykloeides - «кругообразный») - плоская кривая. Циклоиду можно определить как траекторию точки, лежащей на окружности круга единичного радиуса (производящего круга), который без скольжения катится по прямой (направляющей прямой)

Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг (картонный или деревянный), прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую, называемую циклоидой. Одному обороту обруча соответствует одна «арка» циклоиды MM'M''N', если обруч будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.

Характеристическое свойство: кривая совпадает с траекторией точки M окружности радиуса a, которая катится без скольжения по оси Ox (в начальный момент времени точка M находится в начале координат). Параметрические уравнения циклоиды:

Занятие 12. Декартов лист

Декартов лист - линия, которая состоит из петли и двух бесконечных ветвей. Впервые в истории математики данная кривая определяется в письме Декарта к Ферма в 1638 г. как кривая, для которой сумма объемов кубов, построенных на абсциссе и ординате каждой точки, равняется объему параллелепипеда, построенного на абсциссе, ординате и некоторой константе. Форма кривой устанавливается впервые Робервалем, который находит узловую точку кривой, однако в его представлении кривая состоит лишь из петли. Повторяя эту петлю в четырех квадрантах, он получает фигуру, напоминающую ему цветок с четырьмя лепестками. Поэтическое название кривой “лепесток жасмина”, однако, не привилось. Полная форма кривой с наличием асимптоты была определена позднее (1692) Гюйгенсом и И. Бернулли. Название “декартов лист” прочно установилось только с начала 18 века.

Декартов лист можно задать уравнением x³ + y³ − 3axy = 0 или в полярных координатах  .

Параметрические уравнения  , где t=tg

Декартов лист, повернутый на 135◦

Уравнение кривой, повернутой на 135^◦ , можно задать в прямоугольной системе , где  

или в полярных координатах

Параметрические уравнения

Занятие 13. Циссоида

Характеристическое свойство циссоиды: для всякого луча, исходящего из O(0, 0), |OM| = |BC|. Циссоиду можно задать уравнением: y²(2a − x) = x³ или в полярных координатах r = 2atgϕsinϕ.

Параметрические уравнения циссоиды:   ;   ; где u = tgt.

Занятие 14.  Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями.

Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной в параметрической форме   где ,  ,  .

Пример: Вычислите площадь области, ограниченной эллипсом .

Решение.

.

Занятие 14.  Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.

Пример: Найдите площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля .

Занятие 15.  Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая  на отрезке [a;b] – гладкая (т.е. производная  непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле

.

Пример: Вычислите длину дуги цепной линии  от  до .

Решение. ,          ,

Тогда

.

При параметрическом задании кривой , , где  и  – непрерывно дифференцируемые функции, длина дуги кривой, соответствующая изменению параметра t от  до  выражается интегралом

.

Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением , где , то длина дуги равна

.

Занятие 16.  Вычисление площади поверхности вращения

Если дуга гладкой кривой  вращается вокруг оси OX, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

.

Пример: Найти площадь поверхности, образованной вращением параболы  вокруг оси абсцисс от вершины до точки с абсциссой x=3a.

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , где , то площадь поверхности вращения равна

.

Если кривая задана в полярных координатах уравнением , где , то площадь поверхности вращения равна

.

Занятие № 17. Построение плоских кривых в декартовых координатах

Кривая на плоскости в декартовых координатах - это множество точек, координаты которых  связаны отношением  или ; первое выражение задает кривую явно, последний - неявно. Кривая, заданная уравнением , называется гладкой, если функция дифференцирована на интервале . В каждой точке гладкой кривой можно провести касательную, уравнение которой Уравнение нормали в той же точке имеет вид .

График гиперболического косинуса  построен на интервале  для количества точек 100. Формула для приращения по  в ячейке F2: =(D2-C2)/E2. Первые значения  в ячейке А2 равно : =C2. В ячейку А3 вводим формулу: =A2+$F$2, где ссылка на ячейку с приращением по  дается в абсолютной адресации. Далее формула из ячейки А3 копируется через Автозаполнитель на другие ячейки столбца А, последняя равна . В ячейку В2 вводиться формула для вычисления гиперболического косинуса:  и копируется на другие ячейки столбца В. Для построения графика используется тип диаграммы Точечная (рис. 3).

Рисунок 3. График гиперболического косинуса .

Занятие № 18. Построение плоских кривых заданных параметрически

Уравнения , которые устанавливают зависимости декартовых координат  точки от значения параметра , определяют кривуюу, заданную в параметрической форме. Поскольку производная функции  заданной параметрически уравнениями , в точке, которая является особой точкой кривой, вычисляется по формуле , то уравнение касательной и нормали к кривой через точку , имеют вид, соответственно:

Построение кривой, заданной параметрически.

График астроиды  построено на интервале  для количества точек 100 в декартовых координатах  (рис. 4).

Рисунок 4. График астроиды .

Занятие № 19. Построение плоских кривых заданных в полярных координатах

Определенные кривые на плоскости удобно описывать как функции радиуса-вектора  и полярного угла  - в полярных координатах.

Так, уравнение единичного круга в полярных координатах имеет вид . Уравнение кривой в полярных координатах обычно имеет вид . Декартовы координаты точки  на плоскости связанные с полярными координатами  выражениями  Если известны декартовы координаты точки, то ее полярные координаты определяются по формулам , . Угловой коэффициент касательной к графику функции, заданной уравнением , в точке  равно , а декартовы координаты точки  равны  і .

Декартов лист можно задать уравнением x³ + y³ − 3axy = 0 или в полярных координатах  .

Параметрические уравнения  , где t=tg

График функции декартов лист , a=2 построен в интервале для количества точек 100 в декартовых координатах  (рис. 3).

Рисунок 5. График функции декартов лист .

Занятие № 5. Построение улитки Паскаля

Улитка Паскаля - алгебраическая кривая 4-го порядка на плоскости, конхоида круга. Названа по имени Этьена Паскаля, который ее впервые рассмотрел. Уравнения в полярных координатах имеет вид:

Рисунок 6. Три улитки Паскаля - конхоида круга: внешний , средний  (кардиоида) и внутренний .

Кардиоида - линия на плоскости, описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижному кругу того же радиуса. Получила свое название из-за сходства своих очертаний со стилизованным изображением сердца. Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля и синусоидальной спирали. Уравнения в полярных координатах имеет вид:

Рисунок 7. График кардиоиды

Занятие № 20. Построение спирали Архимеда

Спираль Архимеда - спираль, кривая на плоскости, траектория точки M, равномерно движется вдоль луча OV с началом в точке O, при этом сам луч OV равномерно вращается вокруг O. То есть расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Уравнение архимедовой спирали в полярной системе координат имеет вид:  или  где k - смещение точки M по лучу r при повороте на угол в один радиан, число a - шаг спирали.

Рисунок 8. График Спирали Архимеда                                                                                        

Занятие № 21. Построение гипоциклоиды, циклоиды, эпициклоиды

Гипоциклоида - кривая на плоскости, описываемая точкой окружности, которая катится внутренней стороной круга.

Гипоциклоида для меньшего круга с радиусом r = 1,0 и более широкого круга с радиусом R = 3,0:

Рисунок 9. Построение гипоциклоиды.

Параметрические уравнения гипоциклоиды:  де

 - радиус неподвижной окружности;  - радиус окружности, которая катится.

Модуль величины  определяет форму гипоциклоиды. При  гипоциклоида являет собой диаметр неподвижной окружности, при  является астроидой.

Рисунок 10. Примеры гипоциклоид

Циклоида – трансцендентная кривая на плоскости, которая описывается параметрическими уравнениями:  Являет собой траекторию движения точки окружности радиусом r, которая катится по прямой (по горизонтальной оси координат - рис. 10).

Рисунок 10. Построение циклоиды

Рисунок 11. График циклоиды

Эпициклоида - кривая на плоскости, создана точкой окружности, катящейся по другому кругу. Эпициклоида описывается параметрическими уравнениями:

x = (R + mR)cos(mt) − mcos(t + mt),

y = (R + mR)sin(mt) − msin(t + mt),

де ; R - радиус неподвижной окружности; r - радиус окружности, которая катится. При m= 1 эпициклоида образует кардиоид.

Модуль величины m определяет форму эпициклоида. На рисунке 12 показаны эпициклоида при m = 1/10 m = 1/3 и m = 2/3.

Рисунок 12. Примеры эпициклоид

Занятие № 22. Построение логарифмической спирали

Логарифмическая спираль - кривая на плоскости, которая описывается в полярных координатах уравнением:

Рисунок 13. График логарифмической спирали

Занятие № 23. Построение трехлепестковой розы

Трехлепестковая роза - кривая на плоскости, описывается в полярных координатах уравнением:  или .

Рисунок 14. График трехлепестковой розы  и

Занятие № 24. Построение двенадцатилепестковой розы

Дванадцятилепестковая роза - кривая на плоскости, описывается в полярных координатах уравнением: или .

Рисунок 15. График дванадцятилепестковой розы и .

Занятие № 25. Построение лемнискаты Бернулли

Лемниската Бернулли описывается в полярных координатах уравнением

Рисунок 16. График лемнискаты Бернулли

Занятие № 26. Построение гиперболического синуса и каппы

Гиперболический синус описывается в декартовых координатах уравнением .

Рисунок 17. График гиперболического синуса .

Каппа - кривая на плоскости, описывается в полярных координатах уравнением .

Рисунок 18. График каппы ,

Скачано с www.znanio.ru