Растояние от точки до плоскости

Лекция по теме «Расстояние от точки до плоскости» Ранее было рассмотрено, что через точку А, не лежащую на плоскости  одну прямую, перпендикулярную к этой плоскости. α , можно провести только Дана плоскость  α  и точка А, не лежащая на ней. Проведем из точки А прямую, перпендикулярную к плоскости  пересечения проведенной прямой с плоскостью  .α α . Обозначим буквой Н точку  α Определение 1: Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости  АН. Точка Н называется основанием этого перпендикуляра. , называется отрезок  α Возьмем произвольную точку М, принадлежащую плоскости  А и М.  и отличную от Н. Соединим точки Определение 2: Отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости  Точка М называется основанием наклонной. . α Соединим точки М и Н. Определение 3: Отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость  .α α Имеется точка А и два отрезка, проведенных из этой точки к плоскости  АМ. Как вы думаете, какой из этих отрезков меньше? : отрезок АН и отрезок Рассмотрим отрезки АН и АМ. Для этого рассмотрим треугольник АНМ. Это прямоугольный треугольник, так как угол АНМ  α равен 90 градусам (так как АН перпендикулярна плоскости  катетом, а сторону АМ гипотенузой. Но гипотенуза всегда больше катета. Поэтому АН < АМ. ). Тогда сторону АН можно назвать Значит, перпендикуляр, проведенный из точки, не лежащей на плоскости, к этой же плоскости,  всегда меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой же плоскости. Таким образом из всех расстояний от точки А до разных точек плоскости  является расстояние до точки Н. α  наименьшим  Определение 4: Расстоянием от точки А до плоскости  проведенного к плоскости  .α α  называется длина перпендикуляра АН,  Рассмотрим решение типовой задачи по теме. Задача. α Из точки А, не принадлежащей плоскости  наклонные АМ и АН. Известно, что АО = 3 единицам, АМ = АН = 5 единицам. Найти расстояние между основаниями наклонных. , проведены перпендикуляр АО и две равные Решение: Из прямоугольного треугольника АОМ найдем ОМ по теореме Пифагора. ОМ² = 25 –  9 = 16 или ОМ=4 единицы. Тогда МН=2*ОМ = 8 ед. Ответ: МН=8 ед. Рассмотрим три замечания к теме, которые необходимы для решения задач. Замечание 1: Пусть даны две параллельные плоскости  равноудалены от плоскости  .β α β  и  α . Тогда все точки плоскости   будут  Действительно. На плоскости  опустим перпендикуляры АН и МО соответственно. Следовательно, перпендикуляр АН  параллелен перпендикуляру МО. β  взяты произвольные точки А и М. Из этих точек на плоскость    α Эти перпендикуляры будут равными, по второму свойству параллельности плоскостей, которое  звучит так: отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями,  равны. Определение. Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от  произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой. На рис расстоянием между параллельными плоскостями   является отрезок, например, МО. α β  и  Замечание 2: Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой  плоскости. Выберем любую точку А на прямой а, опустим перпендикуляр АО на плоскость  .α Определение. Длина перпендикуляра  АО  называется расстоянием между прямой а и  параллельной ей плоскостью  .α Задача. Найдите расстояние между прямой МН и плоскостью параллельного ей прямоугольника АВСД,  если известно, что МН=6см; угол МНО=45 градусам (см. рис 015). Дано: МН || АВСД; МН=6см; МНО=45°; МО АВСД Найти: МО Решение: МНО прямоугольный. Используя определения тригонометрической функции тангенс  (Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета  к прилежащему катету), имеем МО=tg45°*6=1*6=6см Ответ: 6см Замечание 3: Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Тогда плоскость  прямую а, параллельна прямой b (по теореме: Через каждую из двух скрещивающихся прямых  проходит плоскость, параллельная другой прямой и притом только одна.). α , проходящая через  Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между  одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.