Разработка открытого урока "Основные понятия и аксиомы стереометрии"

Тема урока: Основные понятия и аксиомы стереометрии

Тип занятия: теоретическое

Вид занятия: урок усвоения новых знаний.

Цели урока:

Обучающая (образовательная)

·         активизировать интерес к изучаемому материалу, используя практико-ориентированные примеры,

·         создать условия для формирования знаний о предмете стереометрии, о ее логической структуре, об основных фигурах стереометрии, аксиомах и следствиях из них,

·         формировать представления о прикладном значении стереометрии – применении ее методов в быту, других науках и будущей профессии,

Развивающая

·         способствовать развитию пространственных представлений, логического мышления,

·         формировать и развивать навыки самостоятельной работы, самооценки, исследовательские умения (наблюдение, анализ, формулирование выводов)

Воспитательная

·         воспитывать аккуратность при выполнении чертежей, самостоятельность

Материально-техническое обеспечение занятия: мультимедийная установка

Методическое и дидактическое обеспечение занятия: макеты геометрических тел, раздаточный материал, презентация «Основные понятия и аксиомы стереометрии»

«Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Неслучайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида. Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается грамматикой архитектора»  

архитектор XX столетия Ле Корбюзье (франц.)

Ход Занятия

1. Организационный момент (1мин)

- здравствуйте. Садитесь

- староста, кто сегодня отсутствует?

2. Мотвационный этап и  этап целеполагания   (4мин)

- Итак, начнем занятие. Внимание на экран

- Просмотр  видеоролика «Родной Бузулук» (1,5 мин)

- Вы просмотрели фрагмент видеоролика о нашем родном городе – Бузулуке.  Песня, которая прозвучала, является гимном города Бузулука. Написал его и  исполнял известный бузулукский поэт и композитор Андрей  Петров.  А какое знаменательное событие ожидает наш город в этом году?

- Что больше всего привлекло ваше внимание при просмотре видеоролика? А как связаны архитектура города Бузулука и математика?  (в городе много зданий, которые в свою очередь являются геометрическими фигурами?)

- сегодня мы переходим к изучению одного из разделов геометрии.

- А как вы думаете,  свойства каких фигур мы  с вами будем изучать?  Городские здания – это какие фигуры? Каким общим свойством они обладают?  (данные фигуры обладают объемом; объемные)

– Действительно, с этого занятия мы начинаем изучение одного из разделов геометрии -    стереометрии, в котором изучаются свойства  объемных фигур, расположенных в пространстве.

-  В школьном курсе математики вы изучали раздел «Планиметрия».

- Что изучает планиметрия? (Планиметрия изучает свойства фигур на плоскости)
– Какие фигуры Вам известны из курса планиметрии? (Точка, прямая, отрезок, многоугольники – треугольники, четырехугольники разного вида, круг, окружность)

– Стереометрия – это один из самых интересных и важных разделов математики. «Стереометрия» – греческое слово, состоящее из двух частей: «стереос» – «пространственный» и «метрео» — «измеряю». Т.е. «стереометрия» обозначает «измерение в пространстве». Стереометрия знакомит нас с разнообразием пространственных форм, законами их восприятия и изображения. Это геометрия в пространстве.

– При изучении любого нового раздела или темы возникает вопрос «Зачем это изучать?» Давайте порассуждаем, где нам может пригодиться стереометрия. Какие у Вас возникают предположения?

 (Стереометрия может применяться при измерении и изображении окружающих нас предметов, которые похожи на объемные фигуры)

- А с какими пространственными фигурами вы уже встречались ранее? (куб, параллелепипед, пирамида, цилиндр, конус, шар)

–– Как Вы думаете, в какой сфере деятельности человека наиболее актуально применение законов стереометрии? (В промышленности, в архитектуре, в строительстве)
– Действительно, геометрические формы находят применение в архитектуре, строительстве, дизайне.

– Стоит ли серьезно отнестись к изучению стереометрии? Почему? (Да, она может пригодиться в жизни, в будущей профессии)

– В жизни Вам пригодится знание свойств геометрических фигур, умение производить измерения на плоскости и в пространстве и связанные с этим вычисления. Согласно словам французского архитектора Ле Корбюзье: (эпиграф)

– С чего обычно начинают изучать новые разделы математики? (С изучения новых понятий, определений, теории)

– Итак, как вы бы определили нашу задачу на сегодняшний урок (познакомиться с основными понятиями стереометрии, изучить определения и теоремы).

 - Да, мы сегодня должны с вами определить, что же является основными понятиями стереометрии и рассмотреть те факты, которые связывают основные понятия стереометрии.

3. Первичное усвоение новых знаний

-Запишите тему занятия «Основные понятия и аксиомы стереометрии».

– Все геометрические формы, имеющие разное внешнее представление, тем не менее, составляются из одних и тех же простейших элементов. (Рассматривают изображения и модели геометрических фигур – плоских (отрезков прямых, многоугольников, круга), объемных (выпуклых многогранников, круглых тел, звездчатых многогранников)

– Рассмотрите несколько изображений и моделей геометрических фигур и попробуйте увидеть, из каких самых простых объектов они составлены. (Фигуры и тела состоят из отрезков, углов, вершин, плоских частей, …)

– Вершины геометрических тел можно рассматривать как точки.

 -  А что такое точка? Как обозначаются точки? ( Точка – это идеализированный маленький объект, размером которого можно пренебречь. Точки на чертежах обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, … )

– Стороны многоугольников, ребра многогранников, отрезки представляют собой части прямых. Что  такое прямая? Как обозначаются  прямые? ( Прямая – это идеальная фигура, аналог натянутой нити, края крышки стола, луча света. Она не имеет толщины, ее длина считается бесконечной. Прямые изображаются как участки прямых, обозначаются одной строчной буквой латинского алфавита: a, b, c, …)  

– Плоские грани многогранников – это части плоскостей. Плоскость – это идеальный аналог ровной поверхности воды, стола, зеркала. Плоскость бесконечна во всех направлениях. Плоскость изображается как бесформенная фигура или параллелограмм, обозначается буквами греческого алфавита: α, β, γ,...

-  Другие поверхности – искривленные (например, сфера или цилиндр) рассматриваются как множество точек или отрезков

- Давайте теперь заполним рабочую карту: какие фигуры являются основными в стереометрии? Как обозначаются точки? Прямые? Плоскости?

– Введем обозначения, которых придерживаются при построении изображений (В рабочих картах  зарисовывают иллюстрацию с доски (выполнятся совместно с преподавателем) и записывают обозначения «принадлежит», «не принадлежит», «лежит», «пересекает»)

– Итак, в стереометрии основными фигурами являются точка, прямая и плоскость. Основные фигуры не имеют размерности. Кроме того, понятия «точка», «прямая» и «плоскость» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах и теоремах.

– Что такое «аксиома»? Что такое «теорема»? (Аксиома – это утверждение, принимаемое без доказательства. Теорема – это утверждение, требующее доказательства)

- Прежде чем переходить к изучению аксиом, ответьте пожалуйста на следующий вопрос: какой стул устойчивее – с четырьмя или тремя ножками? ( как вариант ответа: с четырьмя).  
- Правильно ответить на данный вопрос вам помогут аксиомы стереометрии.

- Используя материал учебника, стр. 4-6, заполните ячейки таблицы рабочей карты. Выпишите аксиомы, которые соответствуют рисунку и обозначениям, а так же  правильно пронумеруйте аксиомы, в соответствии с учебником.  На выполнение данной работы вам дается 3 мин.

(В рабочих картах заполняют ячейки с аксиомами (даны чертежи и краткое обозначение, из учебников нужно выписать для каждого рисунка соответствующую аксиому) «Аксиомы стереометрии»). (5 мин)

Проверка (3 мин)

Аксиома 1: Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, причем только одна

– Эта аксиома иллюстрируется жизненной ситуацией: какой из табуретов более устойчив: с 3 или 4 ножками? (У табурета на 4 ножках одна из них может быть короче, и он будет качаться)

-   у вас на втором курсе будет учебная практика по геодезическим измерениям. Вам придется работать с теодолитом, так вот,  штатив теодолита имеет три ноги. Почему? (потому что, согласно аксиоме 1 – три точки не лежащие на одной прямой,  всегда проходит одна плоскость.)

- и еще один вопрос: когда три птенца, вылетевшие из гнезда, будут находиться в одной плоскости? (когда они не будут находиться на одной прямой)

Аксиома 2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.

– Эта аксиома иллюстрируется карандашами и ручками, лежащими на ваших партах

Аксиома 3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, проходящую через эту точку.

– Эта аксиома подтверждается тем, что плоскости бесконечны во всех направлениях и, значит, не могут иметь только одну общую точку – их бесконечно много, они образуют прямую. Аксиома может быть проиллюстрирована пересекающимися полом и стеной в кабинете, листами Вашей тетради и т.д.

4. Первичная проверка понимания (10мин)

- А теперь я предлагаю вам выполнить  небольшую самостоятельную работу. Вашему вниманию будут представлены пять рисунков.  Прочитайте чертеж и запишите словами и с помощью обозначений то, что изображено на этом чертеже. При  описании вы должны обязательно использовать слова: точка, прямая, плоскость.

1.      Точка А принадлежит плоскости α.Точка С не принадлежит плоскости α

2.      Плоскости α и β пересекаются по прямой с. (две плоскости имеют общую прямую)

3.      Прямая а принадлежит плоскости α; прямая в пересекает плоскость α в точке В, прямая с не принадлежит плоскости α.

4.      Точка и не лежащая на ней точка принадлежат одной плоскости

5.      Две пересекающиеся прямые лежат в одой плоскости.

Взаимопроверка  (с одновременным опросом)  (показ слайдов с обозначениями)

Критерии оценки: 5 – если правильно составлено 8 высказываний

        4 – если правильно составлено 6-7 высказываний

        3 – если правильно составлено 5 высказываний

 5. Первичное закрепление изученного материала  (10 мин)

–  А теперь продолжим экскурс по нашему замечательному городу. Я предлагаю вам  ответить на вопросы небольшой викторины: «Знаешь ли ты город Бузузук?». Вашему вниманию будет представлено несколько зданий и сооружений нашего города. Вам нужно угадать, что это за место и определить, какие геометрические объекты изображены на этой фотографии.

1. Здание БСК

3.  Межрайонная поликлиника

7. Фотография 3 микрорайона

8. Виадук   (прямые параллельные – рельсы железной дороги, скрещивающиеся – автомобильная и железная дорога)

9. Водонапорная башня (призма, пересекающиеся прямые)

- А  какого здания,  по вашему мнению, в нашем городе не хватает?

- Роман Мирошник подготовил макет здания, которое он бы построил в нашем городе. Послушаем его.

6. Домашнее задание

1.      Выучить формулировки аксиом и теорем, учиться делать к ним иллюстрации.

2.      Привести примеры из окружающей действительности для каждой аксиомы и теоремы.

3.      Стр 8 № 3,4,8 (подготовиться к математическому диктанту)

4.      ^* Подготовить сообщение на тему «Геометрия Лобачевского»

5. Рефлексивно - оценочный этап «Фишбоун» (3-5 мин)

– Итак, давайте подведем итог нашего занятия: изобразим схематично то, что мы сегодня изучили.

 - Сегодня Вы начали изучать новый раздел. Как он называется? (голова рыбы - Стереометрия)

– Какие фигуры принято считать основными в стереометрии? Почему? (Точка, прямая, плоскость.  Из них составляются все геометрические объекты)

-Какими утверждениями связаны основные фигуры? (Аксиомами)

О чем говорится в первой аксиоме? (о трех точках и плоскости)

Во второй аксиоме? (о прямой и плоскости)

В третьей аксиоме? (о двух плоскостях и точке)

Что описывает первая аксиома ? (построение плоскости)

Что описывает вторя аксиома? ( взаимное расположение прямой и плоскости)

Что описывает третья аксиома? (взаимное расположение плоскостей)