Разработка урока по теме «Математическое моделирование»

Разработка урока по теме «Математическое моделирование»

Цель урока: обучить учащихся методу математического моделирования

Задачи урока:

Обучающие: ввести понятие математического моделирования; рассмотреть общую задачу математического моделирования, проиллюстрировать ее примерами.

Развивающие: развивать логическое мышление, интерес к изучению математики.

Воспитательные: воспитывать аккуратность, познавательную активность.

Оборудование: карточки для работы в группах, высказывания о математике,  модели геометрических тел, рисунки, схемы.

Ход урока:

I.      Организационный этап (5 мин).

Приветствие.

Проверка готовности к уроку.

Проверка посещаемости.

Один из учеников на доске записывает решение домашней задачи, другие – проверяют его правильность.

Задача. Ученик читал книгу. Начиная со второго дня, он читал на одно и ту же количество страниц больше, чем в предыдущем. За сколько дней ученик прочитал 210 страниц, если в первый день он прочитал 12 страниц, а в последний – 30 страниц?

Решение: количество страниц, которые читал ученик ежедневно, образует арифметическую прогрессию, первый член которой равен 12, а последний – 30. Количество прочитанных страниц – это сумма всех членов прогрессии, равной 210, n – количество дней. Имеем:

=, 210 = , отсюда n = 10.

Ответ: 10 дней.

II. Мотивационный эта (2 мин).

Мотивация учебной деятельности: рассказ учителя из истории возникновения математики, как науки.

III. Изучение нового материала (15 мин).

1. Математическая модель.

Вернемся к задаче из домашнего задания:

– О каких понятиях говорится в задаче? // Нематематические понятия – книга, страницы.

– Каким методом была решена задача? //Математическим, используя формулу суммы членов арифметической прогрессии.

– Существуют ли в окружающем мире математические объекты? //  Реально не существуют. Все они созданы человеческим разумом в процессе исторического развития человека и существуют только в воображении и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

Объект – это то, что является предметом рассмотрения (изучение, влияния). Математические объекты – это идеальные объекты, которые отражают (описывают) реальные объекты.

Задачи делятся на математические и практические.

Математические задачи – это задачи, в которых объектами являются математические объекты (фигуры, числа).

Практические задачи – это задачи, условия которых содержат нематематические понятия (или это задачи, в которых объектами являются реально существующие объекты).

Ученикам предлагается придумать две задачи: математическую и практическую. В каждой из них надо назвать объекты, которые рассматриваются.

Решая практическую задачу математическими методами, сначала создают ее математическую модель.

С понятием «модель» (modele – образец, копия) вы встречались, рассматривая модели самолета, автомобиля, пирамиды, шара. Основное свойство каждой модели заключается в том, что она отражает существенные свойства оригинала. Математическая модель –  это описание какого-то реального объекта или процесса языком математических понятий, формул, уравнений и т.п., они являются записями законов природы, управляющих исследуемым объектом или явлением.

2. Примеры математических моделей.

Задача 1. Сколько досок нужно, чтобы настелить пол в комнате длиной 9 м и шириной 5 м, если длина доски 6 м, а ширина 0,25 м? Обсуждение условия:

1) Данная задача является математической или практической?

2) Назовите объекты данной задачи. Они математические или реальные?

3) Переформулируйте практическую задачу в геометрическую и решите ее. Что для этого нужно сделать? Нарисуйте геометрическую модель к задаче.

Решение: Поверхность пола комнаты имеет форму прямоугольника. Найдем его площадь . Поскольку доска также имеет форму прямоугольника, то ее площадь:

Количество досок х равно:

Ответ. 30 досок.

Решение любой практической задачи математическими методами осуществляется в три этапа:

1) формулируем задачу на языке математики, то есть строим математическую модель;

2) решаем полученную математическую задачу;

3) записываем математическое решение на языке, на котором была сформулирована первоначальная задача.

Различают математические модели первого и второго рода. К моделям первого рода относятся графики, графы, схемы, числовые таблицы, различные кибернетические модели. Абстрактный характер имеют чрезвычайно важные для теоретических исследований и практики модели второго рода –  уравнения, неравенства и их системы.

3. Применение математического моделирования.

1) Рассмотрим, как одно и то же уравнение может отображать ход различных процессов.

Трем группам учащихся класса надо составить математические модели к таким практическим задачам.

1. Как можно разменять 1 руб. на монеты по 2 к. и 5к.? // Пусть х и у – количество соответственно двух и пяти копеечных монет, тогда 2х + 5у = ​​100.

2. Два автомобиля перевезли за день 82 т зерна. Грузоподъемность одного автомобиля 8 т, а второго – 6 т. Сколько рейсов могли сделать автомобили? // Пусть один автомобиль сделал х рейсов, а второй – у рейсов, тогда 8x + 6у = 82.

3. В швейном цехе есть 38 м ткани. На пошив пижамы нужно 4 м ткани, а на халат – 3 м. Сколько можно сшить пижам и халатов? // Пусть х и у – соответственно количество пижам и халатов. Тогда 4х + 3у = 38.

Как видим, все три задачи имеют общую математическую модель – уравнение вида ах + bу = с.

IV. Закрепление материала (20 мин).

1. Решение задач.

В первом задании нужно только составить математическую модель к задаче; вторую задачу следует решить, предварительно создав ее математическую модель. Ученики объединяются в три группы. Трое учеников (по одному от каждой группы) работают у доски.

Задания для первой группы:

1. Вычислите объем комнаты, если ее длина 12,3 м, ширина 8,3 м, высота 4,3 м.

2. В кинозале 360 мест. В каждом ряду мест на 2 больше, чем рядов в зале. Сколько рядов в зале и сколько мест в каждом ряду?

Задания для второй группы:

1. Ученик купил несколько тетрадей по 80 к. И потратил менее 3 руб. Сколько тетрадей он мог купить?

2. Кубики разложены в линии так, что в верхней строке 3 кубика, а в каждом нижнем – на 2 больше, чем в линии над ним. Всего 10 линий. Сколько кубиков во всех десяти линиях?

Задания для третьей группы:

1. Одна машинистка может напечатать рукопись за 3 часа, а вторая - за 5 ч. За сколько часов они напечатают рукопись вместе?

2. Инфузории-туфельки размножаются делением на две части. Сколько образуется инфузорий из одной после шести разделов?

2. Сообщение учащегося о применении математического моделирования в прогнозировании физических явлений и объектов.

V. Итог урока (3 мин).

1) рефлексия;

2) домашнее задание.

Скачано с www.znanio.ru