Разработка олимпиадных заданий по математике 8 класс

Школьный тур Всероссийской олимпиады по математике        8 класс (Время – 60 минут) 1. ( 1 балл)  В равенстве (ayb)c=­64y6  замените  a  ,  b  и  c  целыми числами, отличными от 1 , так, чтобы получилось тождество.  2. (2 балла) Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу   в   школе,   1/6   —   на   просмотр   кинофильмов,   1/7   —   на   решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить? 3. (3 балла)  У колхозника было несколько одинакового веса поросят и несколько   ягнят   также   одинакового   веса.   Пионер   спросил   колхозника, сколько   весит   один   поросенок   и   один   ягненок.   Колхозник   ответил,   что   3 поросенка и 2 ягненка весят 22 кг, а 2 поросенка и 3 ягненка весят 23 кг. Как узнать, сколько весит один поросенок и сколько весит один ягненок?  4. (4   балла)  Один   из   углов   треугольника   на   120°   больше   другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины.  5. (5 баллов) У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: "Вместе у нас 28  ног",  зеленый:  "Вместе   у   нас  27  ног",   желтый:   "Вместе   у   нас   26  ног", красный: "Вместе у нас 25 ног". У кого сколько ног? Методические рекомендации Критерии оценки. Задание 1.  Максимальный балл ­ 1 Задача  оценивается, если имеется развёрнутое решение. Задача 2.    Максимальный балл ­ 2 Задача   оценивается,   максимально,   если имеется развёрнутое, безошибочное решение. Каждая вычислительная ошибка снижает балл на 0,5. Задача 3.    Максимальный балл ­ 3 Задача   оценивается,   максимально,   если имеется развёрнутое, безошибочное решение. Каждая вычислительная ошибка снижает балл на 0,5; каждая     ошибка в рассуждениях снижает балл на 0,5. Задача 4.    Максимальный балл ­ 4 Задача   оценивается,   максимально,   если имеется развёрнутое, безошибочное решение. Каждая вычислительная ошибка снижает балл на 0,5; каждая     ошибка в рассуждениях снижает балл на 0,5. Задача 5.    Максимальный балл ­ 5 Задача   оценивается,   максимально,   если имеется развёрнутое, безошибочное решение. Каждая вычислительная ошибка снижает балл на 0,5; каждая     ошибка в рассуждениях снижает балл на 0,5. Решение школьного  тура Олимпиады по математике 8 класс 1. В равенстве (ayb)c=­64y6 замените a , b и c целыми числами, отличными от 1 , так, чтобы получилось тождество.         Ответ: существует единственное решение: (­4 y2)3=­64y6 . 2.  Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/7 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить? Решение Поскольку 1/5 + 1/6 > 1/3, то сумма данных дробей 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/3 > 1, что противоречит здравому смыслу. Нет, так жить нельзя.    3.    У колхозника было несколько одинакового веса поросят и несколько ягнят также одинакового   веса.   Пионер   спросил   колхозника,   сколько   весит   один   поросенок   и   один ягненок. Колхозник ответил, что 3 поросенка и 2 ягненка весят 22 кг, а 2 поросенка и 3 ягненка  весят 23 кг. Как узнать, сколько весит один поросенок и  сколько весит один ягненок?          Решение. Если сложить вес трех поросят и двух ягнят с весом двух поросят и трех ягнят, то получим вес пяти поросят и пяти ягнят, равный 45 кг. Значит, один поросенок и один ягненок весят 9 кг, а два поросенка и два ягненка весят 18 кг. Вычтя это из первого данного веса, получим вес поросенка, равный 4 кг. Тогда ягненок весит 5 кг.        4.   Один из углов треугольника на 120° больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника,   проведённая   из   вершины   третьего   угла,   вдвое   длиннее,   чем   высота, проведенная из той же вершины. Решение Пусть ABC — данный треугольник,  B = a,  A = 120° + a. Тогда  C = 60° ­ 2a. Если CL — биссектриса данного треугольника, то  CLA =  LCB +  LBC = (30° ­ a) + a = 30°. Пусть CH ­ высота треугольника АВС, тогда в треугольнике CLH катет CH, лежащий против угла в 30°, в два раза меньше, чем гипотенуза CL.        5. У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног,   всегда   лгут,   а   у   кого   6   или   8   ног,   всегда   говорят   правду.   Встретились   четыре осьминога. Синий сказал: "Вместе у нас 28 ног", зеленый: "Вместе у нас 27 ног", желтый: "Вместе у нас 26 ног", красный: "Вместе у нас 25 ног". У кого сколько ног?        Решение Так как осьминоги противоречат друг другу, то возможны два случая: либо все осьминоги лгут, либо ровно один из них говорит правду. Если все осьминоги лгут, то у каждого из них по 7 ног. Значит, вместе у них 28 ног. Но тогда синий осьминог сказал правду   Если же три осьминога солгали, а четвёртый сказал правду, то у солгавших осьминогов должно быть по 7 ног, а у сказавшего правду ­ либо 6, либо 8. Поэтому вместе у них либо 27,   либо   29   ног,   то   есть   правду   сказал   зелёный   осьминог.   Таким   образом,   у   зелёного осьминога 6 ног, а у остальных по 7 ног.  противоречие.   ­