Разработка серии уроков по теме "Теорема Виетта"

Урок № 1 по теме: «Теорема Виета»  8 класс. Тип урока: комбинированный. Методическая цель: применить поисково­исследовательский метод и  наглядно­иллюстративный метод с использованием ИКТ. Дидактическая цель: познакомить с теоремой Виета, ее применением для  решения квадратных уравнений и для проверки найденных корней. Формы учебной деятельности: индивидуальная, групповая. Оборудование: ПК, проектор, дидактические материалы, раздаточный  материал. Краткое описание урока: данный урок является первым по теме «Теорема  Виета». Он проводится по методике развивающего обучения, основным требованием  которой является то, что знания не предоставляются учителем в готовом  виде, а выводятся учениками с помощью определенной системы знаний.  Поэтому урок содержит следующие этапы, как «Проблемы», «Поиск»,  «Открытие». Отработка полученных знаний на этапе «Применение»  происходит в тетрадях и на доске. На этом же уроке проводится первичная  проверка. Урок завершается этапом рефлексия. Этапы урока: ­ актуализация знаний;                         ­ проблемы;                         ­ поиск;                         ­ открытия;                         ­ применение;                         ­ самопроверка;                         ­ рефлексия. Содержание урока: 1. Организационный момент. Мы продолжаем изучать квадратные уравнения и способы их решения.  Сегодня нам предстоит познакомиться с еще одним способом решения  квадратных уравнений. 2. Актуализация опорных знаний. а) Фронтальный опрос способствует развитию коммуникативных навыков  общения и говорения, способствует воспитанию у учащихся взаимопомощи. Слайд 1. Каков общий вид имеет квадратное уравнение?      а) ах² + с = 0;    б) ах²+bх+с=0;    в) х²+bх+с=0. ● ● ● ● ● ●  Сколько корней может иметь кв. уравнение?  От чего зависит количество корней кв. уравнения?  Что такое дискриминант кв. уравнения?  Чему равен  дискриминант кв. уравнения?  Формулы корней кв. уравнения?  А как выглядит формула корней кв. уравнения в случае  •  Какое уравнение называется приведённым? D=0? Слайд 2. Если в уравнении вида: аx2+bx+c=0,     где a, b, с  R     а = 1, то квадратное уравнение вида x2+px+q=0 называется приведенным. б) Устная работа позволяет определить на сколько хорошо учащиеся владеют  основными понятиями о квадратных уравнениях, какие проблемы есть в  знаниях. Слайд 3­4. 1) Назвать коэффициенты квадратного уравнения: 2) Заменить уравнение, равносильным ему приведенным уравнением:       квадратным      3) Решить уравнение: 4) Имеет ли квадратное уравнение корни, если имеет, то сколько: От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения? 3. Постановка проблемы. Решите уравнения: х2 – 2087х + 2086 = 0 и х2 – 377х + 750 = 0. Составьте уравнения, корнями которыми являются числа:                                   а) 0; 3   б) 5; 5    в) 7; ­7   г) 2; 3. Можем ли мы легко и быстро выполнить данные задания? Нам необходим новый способ решения данной проблемы. 4. Поиск и «открытие» теоремы Виета (Организация исследовательской  деятельности, что позволит активизировать учебно­познавательную  деятельность учащихся). Для этой работы разбиваем класс на шесть групп, каждой из которых дается  решить приведенное уравнение. После его решения один представитель от  каждой группы выходит к доске и заполняет соответствующую строку в  таблице: Слайд 5.   Уравнения 1.   x2 – x – 6 = 0 2.   x2 – x + 6 = 0 3.  x2 + x + 6 = 0 X1 X2 X1+X2 X1•X2 4.  x2 +5x + 6 = 0 5.  x2 ­ 5x + 6 = 0 6.  x2 – 7x + 6 = 0                                 Сравните коэффициенты этих уравнений, затем их корни. Какие связи между ними вы заметили? Попробуйте сформулировать вывод о взаимосвязи корней приведенного  квадратного уравнения с его коэффициентами. Сформулированное нами утверждение было открыто в 1591 году  французским математиком Франсуа Виетов. Оно так и называется теорема  Виета. Слайд 6 (краткий исторический материал).                                                                     Франсуа Виет Французский математик, ввел систему  1540­ ­1603 алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он  был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что  существенно развило теорию уравнений. Виета часто называют «отцом алгебры»  Слайд 7. Франсуа Виет.      1591 г. Теорема: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму  коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней  равно свободному члену. х2 + px + q = 0  х1 + х2 = ­ p х1 x2 =q Попробуйте сформулировать утверждение обратное данному. Слайд 8. Если числа х1 и х2 таковы, что  х1+х2=­p, х1*х2=q, то х1;х2 – корни  уравнения x2 + px + q = 0 . Откройте учебник на стр. 127 (п. 24). Прочитайте формулировку и  доказательство теоремы Виета. Расскажите о чем эта теорема?  5. Применение теоремы. 1. Для первичного усвоения можно предложить выполнить устно упражнения  на нахождение суммы и произведения корней квадратного уравнения: 1) х2 – 37х + 27 = 0; 2) х2 – х – 5 = 0; 3) х2 + 3х + 5 = 0. (при выполнении этого задания необходимо предотвратить формальное  применение теоремы Виета. Нужно убедиться, что квадратное уравнение  имеет корни. Если учащиеся сами не выскажут эту мысль, то при решении  третьего задания предложить им найти дискриминант  и сделать  соответствующий вывод. 2. Решите уравнение: х2 – х – 6 = 0, образец оформления х2 – х – 6 = 0                                                                                               ­р = х1 + х2 = 1                                                                                                q = х1х2 = ­ 6                                                                                                 х1 = ­2, х2 = 3 3. (на доске и тетрадях) решите уравнения: х2 + 7х + 12 = 0 х2 – 2087х + 2086 = 0 х2 – 377х + 750 = 0. 4. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 6 и ­2. Слайд 9. Пример:                                                                                                                     х1 = 6, х2= ­2 ;    х2 + р х + q = 0.                                                                 х1 + х2= 6 +(­2)= 4,     р = ­4;   х1 • х2 = 6 • (­2)= ­12,  q = ­12.                 х2 – 4 х –12 = 0 6. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа  а) 5; 5    б) 7; ­7   в) 2; 3.  (по рядам, взаимопроверка) 6. Самопроверка (тест). Слайд 10. На «3» (1­3 задания) 1. Укажите в квадратном уравнении х2 + 3 – 4х = 0 второй коэффициент:   1       ­4           3                4 2. Укажите в квадратном уравнении 7х ­ 5 – х2= 0 второй коэффициент с  противоположным знаком:                                                                                    ­1        1         5               ­7 3. Сумма и произведение уравнения х2 + 7х – 1 = 0 равны:                                   х1 + х2 = 7; х1х2 = 1.                 х1+х2 = 1;  х1х2 = 7. х1+х2 = ­7; х1х2 = ­1                 х1+х2 = ­1; х1х2 = ­7. На «4» (1­5 задание) 4. Если число 11 корень уравнения х2 – 13х + 22 = 0, то второй корень равен: 13        ­11         2           ­2 5. Если 2  корень уравнения х2 – 6х + q = 0, то  q равен                                        12            8          ­12             6 На «5» (1­7 заданий) 6. Не решая уравнения х2 – 9х – 4 = 0, определите знаки корней уравнения:  одинаковые;              оба положительные;                                                                 разные;                      оба отрицательные. 7. Для уравнения ­9х2 + 2х – 4 = 0 приведенным является уравнение вида:     х2 + 2/9х – 4/9 = 0       х2 – 2/9х + 4/9 = 0   х2 + 2х – 4 = 0     ­ х2 – 2х – 4 = 0            5       6       7       2       3      4      1  Результаты заносятся в таблицу: №  задания ответ  Самопроверка и самооценка по готовому ключу. Ключ: 1. ­4                                     5.   8                                            2. ­7                                     6. оба отрицательные             3.  х1+х2 = ­7; х1х2 = ­1        7. х2 – 2/9х + 4/9 = 0             4.   2              7. Рефлексия. Слайд 11 Я понял все, о чем говорилось на уроке.  Я сумел выполнить ряд заданий, но некоторые моменты остались  непонятны. Я не очень понимал, о чем шла речь на уроке.    8. Домашнее задание:   (карточки)                                                                        1. Проанализируйте данные высказывания. Зачеркните в таблице буквы,  которыми обозначены ложные высказывания. Из оставшихся букв получится  слово.  (Л) В уравнении x2 – x + 6 = 0 произведение корней равно 6 (Н) Корнями уравнения . x2 – 100x + 99 = 0 являются числа 1 и 99 (И) В уравнении . 7x2 +3x ­ 12 = 0 корней нет. (П) Числа X1 и X2 изображенные на чертеже, являются корнями  уравнения x2 +5x – 500 = 0  (Р) Уравнения (x – 5)•(x+7) =0 и x2+2x – 35 = 0 являются  равносильными (К) Числа ­1 и 9 являются корнями уравнения x2 +8 x – 9 = 0 (М)В уравнении x2 – 4x – 5 = 0 сумма корней равна ­4 (В) В уравнении x2 ­ xv3 = 0 один из корней является иррациональным  числом. (Ю) Уравнение x2 – 10x +25 = 0 имеют два корня.  ИЛПАКРОМШЮЕЛЬ 2. Заполнить таблицу. X1 2 2     4 12   X2 5       ­3 0,5 5 X1•X2   0,8 8 8       X1+X2     ­6 6     4 Уравнение               3. Дополнительное задание: написать доклад «Франсуа Виет». 9. Подведение итогов урока. Дается анализ и оценка достигнутых целей урока. По результатам урока  выставляются оценки. Намечаются перспективы последующей работы.