Разработка урока геометрии по теме "Четырехугольники", 8-9 класс

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №37 г.Томска Реализация стратегии смыслового чтения на уроке подготовки к ОГЭ. Четырехугольники. Автор: Домникова Наталья Владимировна, учитель математики МАОУ СОШ №37 Томск - 2016 Тема: «Четырехугольники». Цель: развитие умения работать с текстом, выделять главную и избыточную информацию, сравнивать и сопоставлять заключенную в тексте информацию различного характера и внетекстовый компонент, находить в тексте требуемую информацию , необходимую для решения задач различного характера. Оборудование: проектор, тексты о четырехугольниках и их свойствах, карточки – задания для подготовки к  ОГЭ, листы для составления кластера, фишки для организации работы в группах, фишки для рефлексии,  карточка для рефлексии «Ленстница успеха», Организация урока: Класс разбивается на группы по 4­5 человек. Учащиеся имеют возможность получить консультацию учителя. В  каждой группе выделяется эксперт, который отвечает за организацию работы в группе, оформитель, который  отвечает за оформление листов для кластера, критик, который анализирует предложенные варианты ответов,  «ритор», который представляет работу всему классу. Задания для 6 групп учащихся. Каждая группа получает текст об одном из четырехугольников: параллелограмм (1) , прямоугольник (2) , квадрат (3), ромб (4), трапеция (5), равнобокая трапеция (6). Также группа получает карточку – задание для подготовки к ОГЭ (7). Задача каждой группы: в тексте найти информацию, которая поможет правильно ответить на вопросы теста, выписать информацию на листах для кластера и составить кластер на доске. Затем следует осветить полученную информацию всему классу так, чтобы все ученики правильно ответили на вопросы теста. Ход урока Деятельность учеников Деятельность учителя I. Организационная часть (2 мин) Знакомятся с содержимым кейса, с назначением каждой карточки, текста, листов для кластера, листа рефлексии. Кейс содержит: 1. Текст о четырехугольнике. 2. Листы цветной бумаги для кластера. 3. Карточка – задание для проверки 4. Маркеры. 5. Листы рефлексии. усвоения полученных знаний. Комментирует содержимое кейса: - Каждая группа получила текст, в котором описаны свойства того или иного четырехугольника. Кроме этого, каждый ученик имеет карточку – задание по материалам подготовки к ОГЭ. Вам нужно: 1. ознакомиться с текстом. 2. познакомиться с содержанием карточки – задания. 3. выбрать из текста те факты, которые помогут вам и вашим товарищам правильно ответить на вопросы карточки задания. 4. оформить выбранные факты для защиты своей работы. 5. представить выбранные факты вниманию одноклассников. - Но сначала мы повторим свойства четырехугольников. В этом нам поможет презентация. Показывает слайды презентации, следит за правильностью ответов, исправляет и дополняет ответы учащихся (при необходимости). Контролирует работу группы, оказывает необходимую помощь, следит за регламентом. - Каждый текст содержит факты, которые помогут вам и вашим товарищам верно ответить на вопросы карточки задания. Внимательно читайте текст, выписываете только те факты, которые необходимы для ответа на вопросы, поставленные в карточке- задании. Помогает представить работу, активирует ребят задавать вопросы по материалам кластера. - Внимание, ораторы! Ваша задача четко, ясно представить выбранный материал. Внимание, III. Работа в группах (10 мин) Повторяют виды четырехугольников, их основне свойства, комментируют слайды презентации II. Актуализация знаний, повторение (5 мин) Знакомятся с заданием. Внимательно читают текст, выделяют необходимую информацию в соответствии с поставленной задачей, заполняют листы для кластера (записывают выбранные факты на листах цветной бумаги, каждая группа получает листы своего цвета), составляют кластер на доске. Представляют свой кластер, обосновывают выбор того или иного утверждения. IV. Презантация итогов работы в группах (10 мин) V. Применение полученных знаний для ответа на карточку-задание. (10 мин) одноклассники! Ваша задача, внимательно слушать, задавать уточняющие вопросы. Следит за соблюдением условия самостоятельного выполнения задания. -Выполняйте задание быстро, все необходимые факты мы повторили, что-то есть в кластерах. По слайду презентации ребята проверяют правильность выполнения задания. Показывает слайд с верными ответами. Оценивают свою работу в соответствии с критериями. VI. Проверка выполнения карточки-задания. (5 мин) Выбирают верные варианты ответов к вопросам, представленным в карточке- задании. Заполняют рефлексию «Лестница успеха». Вывешивают листы рефлексии на доску. VII. Рефлексия. (3 мин) - Мы сегодня повторили свойства четырехугольников. Узнали, как применяются наши знания в решении заданиий ОГЭ. Сейчас ваша задача с помощью «лестницы успеха» оценить, насколько сегодняшний урок помог ВАМ продвинуться в подготовке к экзаменам, насколько урок был полезен ВАМ, насколько ВЫ усвоили изученную тему. 1) Презентация 2) Тексты для работы в группах Группа 1.  Параллелограмм ­ это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны  (лежат на параллельных прямых). Параллелограммы отличаются между собой как размером  прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые. Квадрат, прямоугольник и ромб ­ есть параллелограммом. Одним из элементов параллелограмма является диагональ ­ это   любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма. Рис.1 Рис.2 Параллелограмм можно отличить от других четырехугольников, используя признаки  параллелограмма.  Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если: есть две пары параллельных  сторон (AB||CD, BC||AD); или противоположные стороны попарно равны (AB = CD, BC = AD); или  противоположные углы попарно равны (∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA); или диагонали точкой  пересечения делятся пополам (AO = OC, BO = OD), или сумма углов, прилегающих к любой стороне  равна 180° (∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°), или сумма  квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон (AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2). У параллелограмма противоположные стороны имеют одинаковую длину (AB = CD, BC = AD);  противоположные стороны параллельны (AB||CD,   BC||AD); противоположные углы равны (∠ABC =  ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB); сумма всех углов равна 360° (∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°);  сумма углов, прилегающих к любой стороне, равна 180° (∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA +  ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°); каждая диагональ делит параллелограмма на два равных  треугольника; две диагонали делят параллелограмм на две пары равных треугольника; диагонали  d1 2 , AO  параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам (АО = ОС =  = OC =  d2 2 ); точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма; сумма  квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2);  биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны; биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом. Зная диагонали параллелограмма, можно  вычислить длины сторон с применением теоремы косинусов a = 2 + d2 √d1 2 - 2d1d2·cosγ 2 = 2 + d2 √d1 2 + 2d1d2·cosδ 2 b = 2 + d2 √d1 2 + 2d1d2·cosγ 2 = 2 + d2 √d1 2 - 2d1d2·cosδ 2 Также стороны параллелограмма можно вычислить, зная  диагональ и другую сторону: a = √2d1 2 + 2d2 2 ­ 4b2 2                b =  √2d1 2 + 2d2 2 ­ 4a2 2 И стороны параллелограмма можно вычислить, зная высоту и синус угла: hb a =  sin α b =  ha sin α и зная площадь и высоту: S b =  S a =  ha hb Параллелограмм имеет две диагонали ­ длинную d1, и короткую ­ d2. По теореме косинусов  можно ычислить длины диагоналей параллелорамма, зная стороны параллелограмма:     d1 =  √a2 + b2 ­ 2ab·cosβ;              d2 = √a2 + b2 + 2ab∙cos ;     d Также длину диагонали параллелограмма можно вычислить, зная две стороны и другую диагональ: d1 = √2a2 + 2b2 ­ d2 и зная площадь, известную диагональ и угол между диагоналями: 2                      d2 = √2a2 + 2b2 ­ d1 1 = √a2 + b2 + 2ab∙cos ;             d 2 = √a2 + b2 ­ 2ab∙cos .α α β 2; d1 =  2S d2 =  2S  =   =  2S 2S d2∙sinδ d1∙sinδ d2∙sinγ d1∙sinγ Для любого параллелограмма можно вычислить периметр ­ сумма длин всех  сторон параллелограмма. P = 2a + 2b = 2(a + b). Периметр параллелограмма, зная одну сторону и две диагонали:  P = 2a + √2d1 3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла: P =  2(b  2 ­ 4a2               P = 2b + √2d1 2 + 2d2 2 + 2d2 2 ­ 4b2 hb ) +  sin  α P =  2(a  +  ha ) sin  α Для каждого параллелограмма можно вычислить площадь – пространство, ограниченное сторонами  параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма. 1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне: S = a ∙ ha         S = b ∙ hb 2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:  S = ab sinα       S = ab sinβ 3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними: 1 d1d2 sin γ S =  2 Группа 2 Прямоугольник ­ это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все  четыре угла одинаковы. Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны  к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов. Прямоугольник может быть  параллелограммом или квадратом. Рис.1 Рис.2          Противоположные стороны прямоугольника равны AB = CD,   BC = AD; противоположные стороны прямоугольника параллельны AB||CD,   BC||AD;  соседние стороны прямоугольника всегда  перпендикулярны AB ┴ BC,   BC ┴ CD,   CD ┴ AD,   AD ┴ AB; все четыре угла прямоугольника прямые ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°; сумма углов прямоугольника равна 360 градусов ∠ABC +  ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°; диагонали прямоугольника равны AC = BD; сумма квадратов  диагоналей прямоугольника равна сумме квадратов сторон  2d2 = 2a2 + 2b2; каждая диагональ  прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника; диагонали прямоугольника  пересекаются и в точке пересечения делятся пополам AO = BO = CO = DO = d/2; точка пересечения  диагоналей называется центром симметрии прямоугольника и также является центром описанной  окружности; диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности; вокруг  прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 1800:  ∠ABC =∠CDA =180°  и   ∠BCD = ∠DAB = 180°; в прямоугольник, у которого длина не равна ширине,  нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать  окружность можно только в частный случай прямоугольника ­ квадрат). Любой прямоугольник имеет длину и ширину. Длинную сторону прямоугольника называют длиной  прямоугольника, а короткую ­ шириной прямоугольника. Стороны прямоугольника одновременно  является его высотами. Стороны прямоугольника можно выразить через  диагональ и другую сторону площадь и другую сторону периметр и другую сторону диаметр и угол  диаметр и угол β :  α a = √d2 ­ b2   и  b = √d2 ­ a2 a= S/b  или    b=S/a; a=P−2b  и  b=P−2a 2 2 ; a = d sinα и b = d cosα;     a=d∙sin β 2       b=d∙cos β 2 Одним из элементов прямоугольника является диагональ. Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника. Длину диагонали  прямоугольника можно выразить через: две стороны прямоугольника площадь и любую сторону d = √a2 + b2 d=√S2+a2 a =√S2+b2 b периметр и любую сторону d = √P2 ­ 4Pa + 8a2 2 = √P2 ­ 4Pb + 8b2 2 радиус описанной окружности диаметр описанной окружности d = 2R синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу d = Dо d= a sinα через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу d= b sinα синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника Для любого прямоугольника можно вычислить периметр ­ сумму длин всех сторон. Периметр  d = √2S : sin β прямоугольника можно вычислить через: две стороны прямоугольника площадь и любую сторону P = 2a + 2b и P = 2(a + b); P = = 2S + 2a2 a 2S + 2b2 b диагональ и любую сторону радиус описанной окружности и любую сторону P = 2(a + √d2 ­ a2) = 2(b + √d2 ­ b2) P = 2(a + √4R2 ­ a2) = 2(b + √4R2 ­ b2) диаметр описанной окружности и любую сторону Одной их характеристик любого прямоугольника является площадь – пространство, ограниченное  P = 2(a + √Do 2 ­ a2) = 2(b + √Do 2 ­ b2) сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника. Площадь прямоугольника можно вычислить через: две стороны S = a ∙ b периметр и любую сторону S = Pa ­ 2a2 2 = Pb ­ 2b2 2 диагональ и любую сторону диагональ и синус острого угла между диагоналями S = a√d2 ­ a2 = b√d2 ­ b2 S = d2 ∙ si n β 2 радиус описанной окружности и любую сторону S = a√4R2 ­ a2 = b√4R2 ­ b2 диаметр описанной окружности и любую сторону S = a√Do 2 ­ a2 = b√Do 2 ­ b2 Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Окружностью, описанной вокруг  прямоугольника, называется окружность, проходящая через четыре вершины прямоугольника, центр  которой лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Радис описанной окружности можно  выразить через: две стороны R =  R =  √a2  + b 2 √P2 ­ 4Pa  2 + 8a2 периметр квадрата и любую сторону:  =  √P2 ­ 4Pb  + 8b2 площадь квадрата R =  √S2 +  4 a4 2a  =  4 √S2 +  b4 2b диагональ квадрата диаметр описанной окружности: d R  =  R =  2 Dо 2 синус угла, прилегающего к диагонали, и длину  стороны противоположной этому углу: косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу: a R =  2sin α b R =  2cos α синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника: √2S : si n β R =  2 Немаловажно уметь находить значение различных углов в прямоугольнике.Угол между стороной и диагональю можно выразить через: диагональ и сторону угол между диагоналями b cos  α =  d Угол между диагоналями прямоугольника можно выраить через: угол между стороной и диагональю: d sin  α =  β α  =  2 β = 2α площадь и диагональ: sin  β =  Группа 3 2S a d2 Квадрат ­ это четырехугольник у которого все четыре стороны и углы одинаковы. Квадраты  отличаются между собой только длиной стороны, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90°.  Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые  длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.  Одним из важнейших элементов квадрата является  диагональ. Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины  противоположных углов квадрата. Рис.1 Рис.2 Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны (AB = BC = CD = AD).  При этом противоположные стороны квадрата параллельны (AB||CD,   BC||AD). Все четыре угла  квадрата прямые (∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°) и сумма углов квадрата равна 360 градусов  (∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°). Диагонали квадрата имеют одинаковую длину (AC = BD).  Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две равные  симметричные фигуры. Диагонали квадрата  пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам (AC BD, AO = BO = CO = DO  = d/2). Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии квадрата и также является  центром вписанной и описанной окружности. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть  они являются биссектрисами углов квадрата (∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD =  ∠DBC = ∠DBA = 45°). При этом получаем ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD. Обе диагонали разделяют  квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и  прямоугольные (ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA). ┴ Длину диагонали квадрата можно найти через: сторону квадрата    d = a∙√2; через площадь  квадрата   d = √2S; через периметр квадрата    через диаметр описанной окружности  d = Dо; через радиус вписанной окружности  d = 2r√2; через  диаметр вписанной окружности  d = Dв√2; через длину отрезка l:  d=l2√10 5 2√2 ; через радиус описанной окружности  d = 2R;  d= P Одной из характеристик квадрата является периметр ­  сумма длин всех сторон квадрата. Периметр можно вычислить через сторону квадрата P = 4a; через площадь квадрата P = 4√S; через  диагональ квадрата P = 2d√2; через радиус описанной окружности P = 4R√2; через диаметр описанной  окружности P = 2Dо√2; через радиус вписанной окружности P = 8r; через диаметр вписанной окружности P = 4Dв; через длину отрезка l: P=l 8 √5 Важнейшей характеристикой квадрата является его площадь ­  пространство, ограниченное  сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата. При этом площадь квадрата больше  площади любого четырехугольника с таким же периметром. Площадь квадрата можно вычислить через сторону квадрата S = a2; через периметр квадрата  S=P2 16 ;  через диагональ квадрата  S=d2 2 $ через радиус описанной окружности S = 2R2; через диаметр описанной окружности S=D0 вписанной окружности S = 4r2; через диаметр вписанной окружности S = Dв S=l2 16 2/2; через радиус  2; через длину отрезка l: √5 . Вокруг любого квадрата можно описать окружность и в любой квадрат можно вписать окружность.  Окружность, описанной вокруг квадрата, называется окружность, проходящая через четыре вершины  квадрата и имеющая центр на пересечении диагоналей квадрата. Радиус окружности описанной вокруг  квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√2 раз. Радиус окружности описанной вокруг  квадрата равен половине диагонали. Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того  же квадрата в  /2 раз.  π Радиус описанной окружности можно выразить через сторону квадрата  R=a√2 2 ; через  4√2 ; через площадь квадрата  R=√2S 2 периметр квадрата  R= P через диаметр описанной окружности R=Do/2; через радиус вписанной окружности R = r √2; через  диаметр вписанной окружности R=Dв 2 ; через длину отрезка l  R=l√10 √2 5 ; через диагональ квадрата R=d/2;  Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны квадрата являются  квасательными к окружности. Вписанная окружность касается сторон квадрата в их серединах и имеет  центр на пересечении диагоналей квадрата. Радиус вписанной окружности равен половине стороны  квадрата. Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в  Радиус окружности, вписанной в квадрат можно выразить через сторону квадрата r=a/2; через диагональ  /4 раза. π 2√2 ; через периметр квадрата r=P/8; через площадь квадрата  r=√S 2 ; через радиус  квадрата  r= d описанной окружности  r= R √2 ; через диаметр описанной окружности  r= Do 2√2 ; через диаметр  вписанной окружности r=Dв/2; через длину отрезка l  r= l √5 Группа 4. Ромб — это параллелограмм, который имеет равные стороны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом. Ромбы отличаются между собой размером стороны и размером углов. Рис.1  Рис.2 Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1. Если все стороны равны АВ = ВС = СD = AD 2. Если его диагонали пересекаются под прямым углом AC BD┴ 3. Если диагонали являются биссектрисами его углов ∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC 4. Если все высоты равны BN = DL = BM = DK 5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника  Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO 6. Если в параллелограмм можно вписать окружность. Ромб имеет некоторые свойства, отличные от свойств параллелограмма: 1. Противоположные углы ромба равны. 2. Диагонали перпендикулярны AC BD┴ 3. Диагонали являются биссектрисами его углов ∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA =  ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC 4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре AC2 + BD2 = 4AB2 5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба. 6. В любой ромб можно вписать окружность. 7. Центром окружности, вписанной в ромб, будет точка пересечения его диагоналей. 8. Вокруг ромба можно описать окружность, если он является квадратом. Длину стороны ромба можно выразить через: площадь и высоту a =  S ha площадь и синус угла √S a =  √sinα a =  S √S a =  √sinβ √d1+d2 a =  2r 2 площадь и радиус вписанной окружности две диагонали диагональ и косинус острого угла (cos  α β ) или косинус тупого угла (cos  ): d1 большую диагональ и половинный угол a = 2cos( d1 /2)α малую диагональ и половинный угол a = a = d2 2cos( /2)β d2 /2)α 2sin( периметр a =  a =  d2 √2−2cosβ √2+2cosα a =  d1 2sin( /2)β а=Р/4  Диагональю   ромба называется   любой   отрезок   соединяющий   две   вершины   противоположных углов ромба. Ромб имеет две диагонали ­ длинную d1, и короткую ­ d2 Длину диагонали ромба можно выразить через: сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ) d1 = a √2+2·cosα        d1 = a √2−2·cosβ сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ) d2 = a √2+2·cosβ     d2 = a √2−2·cosα большой диагонали ромба через сторону и половинный угол d1 = 2a ∙ cos(α/2)      d1 = 2a ∙ sin(β/2) малой диагонали ромба через сторону и половинный угол: d2 = 2a ∙ sin(α/2)   d2 = 2a ∙ cos(β/2) сторону и другую диагональ d1 =  √4a2−d1 2     d2 =  √4a2−d2 2 тангенс острого tgα или тупого tgβ угла и другую диагональ d1 = d2 ∙ tg(β/2)       d2 = d1 ∙ tg(α/2) площадь и другую диагональ d1 =  2S d2 синус половинного угла и радиус d2 =  2S d1 вписанной окружности d1 = sin( 2r /2)α   2r d2 = sin( /2)β  Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба: P =  4a.  Площадью ромба называется пространство ограниченное сторонами ромба, т.е. в пределах  периметра ромба. Площадь ромба можно выразить через: сторону и высоту S = a · ha сторону и синус любого угла S = a2 · sinα сторону и радиус вписанной окружности S = 2a · r две диагонали 2 S  = 1 d1d 2 4r2 sinα (tgβ): S = синус угла и радиус вписанной окружности большую диагональ и тангенс острого угла (tgα) или малую диагональ и тангенс тупого угла  1 d1 2 ∙ t /2α g( ) S = 2 1 d2 2 ∙ t g( /2β ) S = 2 Окружностью, вписанной в ромб называется окружность,  который которая касается всех сторон ромба и центр которой  лежит на пересечении диагоналей ромба. Радиус окружности,  вписанной в ромб, можно выразить через: высоту ромба r = h/2                           площадь и сторону ромба r =  S 2a r = площадь и синус угла √S·sinα 2                  две диагонали и сторону   сторону и синус любого угла a ∙ si nα 2 диагональ и синус угла r = d1 ∙ d2 4a r = a ∙ si nβ 2 r = r = d1 ∙ sin( /2)α 2 две r = d2 ∙ sin( /2)β 2 диагонали d1 ∙ d2 2 √d1 2 2+d2 r = Группа 5  Трапеция — это четыреугольник у котрого две стороны паралельны, а две другие стороны не  паралельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие боковыми  сторонами. Так же, трапецией называется четыреугольник у которого одна пара противоположных  сторон паралельна и стороны не равны между собой. Элементы трапеции: основаия трапеции ­ параллельные стороны, боковые стороны ­ две другие строрны,  средняя линия ­ отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Виды трапеций: равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны;  прямоугольная трапеция – трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.  Рис.1  Рис.2 Основные свойства трапеции 1. В трапецию можна вписать окружность если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:  AB + CD = BC + AD 2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок который соединяет основы, так же делит  диагонали пополам:    AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD 3. Средняя линия трапеции паралельна основаниям и равна их полусумме:  m =  a + b 2 4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой. 5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°. 6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины как  сотношение между основаниями:  BC : AD = OC : AO = OB : DO 7. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:  d1 Основания трапеции можно выразить через: 2 = 2ab + c2 + d2 2 + d2 середнюю линию и другое основание a = 2m – b          b = 2m ­ a высоту и углы при нижнем основании a = b + h ∙ (ctg α + ctg β)      b = a ­ h ∙ (ctg α + ctg β) боковые стороны и углы при нижнем основании a = b + c∙cos α + d∙cos β       b = a ­ c∙cos α ­ d∙cos β высоту и углы при нижнем основании  Средняя линия ­ отрезок, соединяющий середины боковых сторон  трапеции. Длину средней линии трапеции можно выразить через: с =  h sin  α        d  h =  sin β длины оснований m=(a+b)/2 через площадь и высоту m  = S h Одним из элементов трапеции является ее высота. Высоту трапеции можно выразить через: сторону и прилегающий угол при основании h = c∙sin α = d∙sin β диагонали и углы между ними h = sin γ · d1 d2 = sin δ · a + b d1 d2 a + b диагонали, углы между ними и среднюю линию d1 d2 = sin δ · 2m d1 d2 2m h = sin γ · h =  2S a + b площадь и длины оснований площадь и длину средней линии h= 2S/m Еще один элемент трапеции – диагональ: отрезок, соединяющий противоположные вершины  трапеции. Диагональ трапеции можно выразить через: Стороны,  другую диагональ и угол d1 =  √a2+d2−2ad·cosβ         d2 =  √a2+cc2−2ac·cosβ четыре стороны d1 =  √ d 2 + a b ­  a(d 2 ­  c2)        d2  =  √ a ­ b c2 + ab  a(c2 ­ d  2) ­  a ­ b высоту d1 = √h2 + (a ­ h ∙ ctg β)2 = √h2 + (b + h ∙ ctg α)2 d2 = √h2 + (a ­ h ∙ ctg α)2 = √h2 + (b + h ∙ ctg β)2 сумму квадратов диагоналей d1 = √ c2 + d 2 + 2ab ­ d2 2         d2 = √ c2 + d 2 + 2ab ­ d1 2 Для любой трапеции можно найти ее площадь. Площадь трапеции можно найти через: основания и высоту среднюю линию и высоту · h S = (a + b ) 2 S = m ∙ h диагонали и угол между ними d1d2 ∙ sin  γ S =   =  d1d2 ∙ sin  δ 2 2 четыре стороны a +  b √ S =  c2 ­ ( (a ­  b)2  ) + c2  ­ d 2 2 2(a ­ b) 2 Формула Герона для трапеции √(p ­ a)(p ­ b) (p ­ a ­ c)(p ­  a ­ d)   ­ полупериметр трапеции. a + b |a ­ b| p =  a + b + c + d 2 S =  где Для всякой трапеции можно вычислить ее периметр – сумму длин всех сторон трапеции:  P = a + b + c + d Вокруг равнобокой трапеции можно описать окружность (и только вокруг равнобедренной  трапеции!!!) Окружность, описанной вокруг равнобедренной трапеции, называется окружность, проходящая через четыре вершины трапеции. Радиус описанной окружности можно выразить  через стороны и диагональ: a∙c∙d1 R =  4√ p(p ­ a)(p ­ c)(p ­ d1) , где p =  a + c + d1 2 a ­ большее основание Окружность называется вписанной в трапецию, если все стороны трапеции являются  асательными к окружности. В трапецию можна вписать окружность если сумма длин оснований равна  сумме длин боковых сторон, т.е. a + b = c + d. Радиус вписанной окружности можно выразить через  высоту r = h/2. Есть и другие немаловажные отрезки разносторонней трапеции, свойства которых полезно знать: KM = N L =         KN  = ML =         TO  = OQ =  a ∙ b b a 2 2 a + b Группа 6 Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой  боковые стороны равны. Для равнобедренной трапеции  выполняются все формулы и свойства трапеции. Рис.1 Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий: Углы при основе равны: Диагонали равны: Одинаковые   углы   между   диагоналями   и основаниями: Сумма противоположных углов равна 180°: Вокруг трапеции можно описать окружность ∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC AC = BD ∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD =  ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC ∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180° Для равнобедренной трапеции справедливо следующие свойства: 1. Сумма углов прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°: ∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180° 2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней лини трапеции:  AB = CD = m 3. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность. 4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна средней линии:    h = m 5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты:  SABCD = h2 6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции:    h2 = BC ∙ AD 7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению оснований трапеции:   AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC ∙ AD 8.   Прямая,   проходящая   через   середины   оснований,   перпендикулярна   основаниям   и   является   осью симметрии трапеции:    HF ┴ BC ┴ AD 9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньшый (PD) ­ равен полуразности оснований: AP = BC + AD 2 Стороны равнобедренной трапеции можно выразить через  другие стороны, высоту и угол: a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α;     b = a ­ 2h ctg α = a ­ 2c cos α h a ­ b c =   =  2 cos α sin α a =  диагонали и другие стороны d1 2 ­ c2        b =  d1 2 ­ c2        c =  2 ­ ab √d1 площадь, высоту и другую основу b a a =  2S ­ b       b =  2S ­ a h h площадь, среднюю линию и угол при основании S с =  m sin α площадь, основания и угол при основании с =  2S Одним из элементов равнобедренной трапеции является средняя линия –  (a + b) sin α отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции. Длину средней линии  можно выразить через: основания, высоту и угол при основании m = a - h ctg α = b + h ctg α = a - √c2 - h2 = b + √c2 - h2 площадь и сторону S c sin m = α Другим важным элементом равнобедренной трапеции является высота –  перпендикляр, опущенный из вершины меньшего основания на большее основание. Высоту равнобедренной трапеции можно выразить через: стороны h =  1 2 √4с2−(a−b)2 стороны и угол прилегающий к основанию a ­ b tg β  = c s in β h =  2 Не менее важным элементом равнобедренной трапеции являются диагонали  трапеции – отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции.  Диагонали равнобедренной трапеции равны d1 = d2. Диагонали равнобедренной трапеции можно  выразить через: стороны d1 = √с2 + ab по теореме косинусов d1 = √2 + 2 − 2 и d1 = √b2 + c2 - 2bc cos β высоту и среднюю линию d1 = √h2 + m2 высоту и основания 1 √4h2 +  (a + b )2 d1 =  S =  2 a + b √4c2 ­  (a ­ b)2 4 Одной их характеристик равнобедренной трапеции является площадь  равнобедренной трапеции. Площадь можно найти через: стороны стороны и угол S = (b + c cos α) c sin α = (a ­ c cos α) c sin α среднюю линию, боковую сторону и угол при основании S = mc sin α = mc sin β радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной S =  4 r 2  =  4 r 2 sin  sin β α основания и угол между основой и боковой стороной S =  ab  =  ab sin  sin β α Стороны и радиус вписанной окружности S = (a + b) ∙ r =  √ab ∙c =  √ab ∙m диагонали и угол между ними ∙ sin γ  =  d1 2 ∙ sin δ 2 ∙ h основания и высоту S =  S =  2 d1 2 a +  b 2 диагональ: Немаловажным фактом является то, что окружность можно описать только вокруг  равнобедренной трапеции!!! Радиус описанной окружности можно найти через стороны и R =  a·c·d1 , где 4 √p(p−a)(p−c)(p−d1) p = a + c + d 1 2 a ­ большее основание. 3) Карточка­задание, составленная по материалам подготовки к ОГЭ. 1. Укажите номера верных утверждений.  Если утверждений несколько, запишите их в порядке воз­ растания без запятых. 1) Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — парал­ лелограмм. 2) Диагонали прямоугольника равны. 3) Существует квадрат, который не является прямоугольником. 4) Около любого ромба можно описать окружность. 5) Диагонали трапеции точкой пересечения делятся пополам. 6) В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. 2. Укажите номера верных утверждений.  Если утверждений несколько, запишите их в порядке воз­ растания без запятой. 1) Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°. 2) Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей. 3) Существует квадрат, который не является ромбом. 4) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей. 5) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту. 6) В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. 3. Какие из следующих утверждений верны? Если утверждений несколько, запишите их в порядке возрастания без запятой. 1) Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежа­ щий к той же стороне, равен 50°. 2) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник. 3) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. 4) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб. 5) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту. 6) В равнобедренной трапеции сумма противоположных углов равна 1800. 4. Какие из следующих утверждений верны? Если утверждений несколько, запишите их в порядке возрастания без запятой. 1) Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10. 2) Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. 3) Диагонали квадрата делят его углы пополам. 4) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей. 5) Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований. 6) В равнобедренной трапеции сумма углов при боковой стороне равна 1800. 5. Какие из следующих утверждений верны? Если утверждений несколько, запишите их в порядке возрастания без запятой. 1) Диагональ параллелограмма делит его углы пополам. 2) Площадь прямоугольника равна полупроизведению его сторон. 3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей. 4) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6. 5) В любую трапецию можно вписать окружность. 6) Прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, является ее осью  симметрии. 6. Какие из следующих утверждений верны?  Если утверждений несколько, запишите их в порядке возрастания без запятой. 1) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квад­ рат. 2) У прямоугольника стороны попарно равны. 3) Квадрат не имеет центра симметрии. 4) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат. 5) Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. 6) Если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то высота равна средней  линии. 7. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.  Если утверждений несколько, запи­ шите их в порядке возрастания без запятой. 1) Диагонали параллелограмма равны. 2) У прямоугольника все углы равны. 3) Любой квадрат является прямоугольником. 4) Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. 5) У любой трапеции есть равные стороны. 6) Диагонали равнобедренной трапеции равны. 8. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.  Если утверждений несколько, запи­ шите их в порядке возрастания без запятой. 1) В параллелограмме есть два равных угла. 2) Сумма квадратов диагоналей прямоугольника равна сумме квадратов сторон 3) Диагонали квадрата равны. 4) Диагонали ромба перпендикулярны. 5) Диагональ любой трапеции делит её на два равных треугольника. 6) Только вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.   9. Какое из следующих утверждений верно? Если утверждений несколько, запишите их в порядке возрастания без запятой.       1) Сумма углов параллелограмма, прилегающих к любой стороне равна 180°. 2)Каждая диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. 3) Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равнобедренных треугольника. 4) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. 5) Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. 6) Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней  лини трапеции. 10. Какие из следующих утверждений верны? Если утверждений несколько, запишите их в порядке возрастания без запятой. 1) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 2) Соседние стороны прямоугольника всегда перпендикулярны. 3) Периметр квадрата вычисляется по формуле P=2a + 2b. 4) Все стороны ромба равны. 5) Средняя линия трапеции параллельна её основаниям. 6) Прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна  основаниям  11. Какое из следующих утверждений верно?  Если утверждений несколько, запишите их в по­ рядке возрастания без запятой. 1) В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон. 2) Сумма всех углов прямоугольника равна 1800. 3) Точка пересечения диагоналей является центром симметрии квадрата. 4) Все высоты ромба равны. 5) Средняя линия трапеции делит ее диагонали пополам. 12. Какие из следующих утверждений верны? Если утверждений несколько, запишите их в по­ рядке возрастания без запятой. 1) Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. 2) Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность. 3) Диагональ квадрата равна половине длины его стороны. 4) В любой ромб можно вписать окружность. 5) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. 6) Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции. 4)Ответы к заданиям 5)Рефлексия «Лестница успеха» Лестница успеха Список литературы: 1. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. 7-е издание, Москва, «Просвещение», 2013 2. https://math-oge.sdamgia.ru/ 3. http://math4school.ru/chetyrehugolniki.html#spr804 4. http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Rusanova/tetrangl.htm