Разработка урока по алгебре и началам анализа по теме: "Первообразная и интеграл".

Разработка урока по алгебре и началам анализа по теме: "Первообразная и интеграл". Тип урока: обобщающий. Цели:  Систематизировать, расширить и углубить знания по данной теме.  Способствовать развитию умения сравнивать, обобщать, классифицировать,  анализировать, делать выводы.  Побуждать учащихся само­ и взаимоконтролю, воспитывать познавательную  активность, самостоятельность, упорство в достижении цели. Оборудование: экран, кодопозитивы, магнитная доска, папки с приложениями,  индивидуальные оценочные листы. Урок происходит по этапам. Результаты каждого этапа учащимся заносят в оценочные  листы:         Урок              Ф.И. учащегося Этапы                                   Задания                          Количество баллов I                          1                           1.Повторение                                                         0­11 2.Математическая эстафета                                 0­17 2                           1. Домашнее задание                                             0­20 II                                                     2. Аукцион задач                                                   0­22 3                           Тестирование                                                         0­20                                        4                            Из истории Итоговое количество баллов (n) Оценка Оценка за урок зависит от суммы набранных баллов по всем заданиям. Первый этап Повторение Учащиеся в парах повторяют теорию по теме и отвечают друг другу на вопросы  (приложения 1, 2 и 3). Правильный ответ оценивается в один балл. Математическая эстафета Работа в командах. На последней парте каждого ряда находится листок (приложение 4) с  10 заданиями (по два вопроса на каждую парту). Первая пара учащихся, выполнив любые  два задания, передает листок впереди сидящим. Работа считается оконченной, когда  учитель получается листок с правильно выполненными 10 заданиями. Побеждает та команда, которая раньше  всех  решит все задания. Проверка работ  осуществляется с помощью таблицы, помещенной на магнитной доске. (приложение 5). Ученики распределяют между собой заработанной количество баллов, выставляют их в  оценочные листы. Второй этап Проверка домашнего задания Учащиеся в парах обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку. 5 ребят заранее  заготавливают по одному примеру на карточках для кодоскопа из домашнего задания и  комментируют их решение. Предварительное домашнее задание 1) Материальная точка массы m = 1 кг движется по прямой под действием силы,  которая меняется по закону F(t) = 8 – 12 t н. Найдите закон движения точки,  если в момент времени t = 1 секунде, её координата равна 0 и скорость равна 1  м/сек. В какой момент времени скорость точки будет максимальной? Решение. 1. F = ma? 2. 3. x (t) =  2 t             Значит x (t)  =  4 t  2 3 t 2    4 t c 2 2 t , так как x (0) = 0, то  2c  = 0.  . 3 t 4. Найдем момент времени, когда скорость точки будет максимальной 8 – 12t = 0, t =  2 3 Ответ: x (t)  =  2 4 t 3  2 t  , t t =  2 3 с. 2) Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, вычислить           3  1 4 x  2 x  3 dx Решение. y  4 x  2 x   3  4  x x 2  3 2   0 y y   2   1 y  x 2) (  0 y Найдем площадь полукруга с центром A (2;0) и радиусом R=1. Ответ:  . 3) При каком а выполняется равенство  Решение. a  a 2 x  1 2 3 dx   4 3    ? x  1 2 3 dx  a  a 2 a  a 2 ( 1 2 3 3  ) x dx  1 3 x  2  x 3 a a 2   a 3 2 a 3  2 a a  6 12  2 a  2  3 a 12           По условию задачи  2 a 2 a 3 12 Ответ: ­2;  2 2 3 .   , откуда  1 a   ,  2 4 3 a  2 2 2 3 .  4) Вычислить интеграл     0 sin 2 cos3 x xdx Решение   0 sin 2 cos3 x xdx    0 1 2 (sin 5 x  sin ) x dx  1 2  1  5 (cos5 x  cos ) x  0   4 5 Ответ:  4  . 5 Каждое правильное выполнение задание оценивается классом от 1 до 5 баллов. Аукцион задач 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y =  2 касательными, проведенными к графику в точках  1 1 2x и  x   (5 баллов). 2 2x  делит площадь прямоугольника, вершины  x    и  2) В каком отношении парабола y =  которого находятся в точках A(0;0) B(3;0) C(3;9) D(0;9)? (5 баллов).  3) Решите уравнение:                     9  3 ( y  5) dy  3 6 x  2 x  y           (4 балла). 4) Решите неравенство:    7 dy 3)  y ( 0 x x  (4 балла). 5) Найдите объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапецией,  ограниченной линиями y =  1x  , y = 1, x = 0, x = 1 (4 балла). Ответы: 1) 2 ; 2) 1:3; 3) х = 1, y = 4; 4) (­ , ­20]  Третий этап Тестирование. Тест №2 [2, стр. 180]      Работа проводится по четырем вариантам, в каждом из которых по десять заданий,  записанных в таблицу. Решая, ученик записывает варианты ответа на листе ответов. По  истечении времени, отведенного на тест, учащиеся обмениваются листами и проводят  быструю взаимопроверку. Учитель демонстрирует кодопозитив с ответами к заданиям  теста. Каждое правильно решенное задание оценивается двумя баллами. Результаты  заносятся в оценочный лист. Четвертый этап Из истории Группа учащихся готовит сообщение о происхождении терминов и обозначений по теме  «Первообразная. Интеграл», из истории интегрального исчисления, о математиках,  сделавших открытия по данной теме. Пятый этап Подведение итогов Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели, называет лучших учеников,  лучшую команду, называет оценки, отмечает вопросы, по которым ребятам еще  нужно работать, указывает на основные ошибки, планирует индивидуальную работу  с теми учащимися, которые допустили ошибки. Литература 1. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов  средней школы. Москва 2006. 2. Алтынов П.И., Звавич Л.И., Медяник А.И., Математика 2600 тестов и  проверочных  заданий по математике для школьников и поступающих в вузы.  Москва 2005. 3. Максимовская М.А., Пчелинцев Ф.А., Уединов А.Б., Чулков П.В. Тесты по  математике 5 – 11 классы. Москва 2005. 4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Пчелинцев Ф.А. 5. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал  анализа. Москва 2006. 6. Егерев В.К., Зайцев В.В., Курдемский Б.А. Сборник по математике для  поступающих во втузы под редакцией Сканави М.И. 7. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа 10 – 11. Москва 2007. 8. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов  средних школ. Москва 2007. 9. Галицкий М.Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического  анализа. Москва «Просвещение» 2006. Приложение 1. Первообразная и интеграл. 1) F(x) ­ первообразная для f(x) на множестве Х если F'(x) = f(x) для всех x X. Если F(x)  ­ первообразная для f(x) на множестве X, то F(x) + c ­ множество всех первообразных  для f(x) на множестве X. Это множестве первообразных называют неопределенным  интегралом и обозначают  f x dx F x C ( ) ( )   .  2) Таблица первообразных и интегралов Производная Функция 0 K Первообразная kx + C  nx 1  n C  1 , Промежуток R   n N x R     n N x ( ,   n Z n 0, :  0, n     x x U ;0)    0;   (0; (0;  )  ) 0 ­sinx Cosx 1 cosx sinx x 1 x x C sin x C   tgx C cos x C  ctgx C    1 x C 2 x C x x C 2 3 In x C xe C R R R    2 ; n    ; n n n Z  2 n n Z ),      ( x   ( ;0) U (0; ) x<0 x>0 R+ R      xa Ina  C a ,  0 R 3) Правила вычисления первообразных ­ Если F – первообразная для f, a G  ­ первообразная для g, то F+G есть первообразная  для f+g. ­Если F – первообразная для f, a k – постоянная, то kF есть первообразная для kf. Если F(x) –первообразная для f(x), ak, b – постоянные, причем k 0, то есть  1 k  F kx b ( ) есть первообразная для f(kx+b). 4) b  a ( ) ( ) f x dx F b   ( ) F a  ­ формула Ньютона­Лейбница. 5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x­a,x=b и графиками непрерывных на  промежутке [a;b] функций  1( ) f x и  2( ) f x  таких, что  2( ) f x   1( ) f x для всех x   [a;b]  вычисляется по формуле S  b  a ( ( ) f x 2  f x dx . 1 ( ))   6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной  кривой y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b вокруг осей Ох и Оу,  вычисляются соответственно по формулам: V x B   A f 2( ) x dx                     или                  V y B   A 2 xf x dx ( ) Приложение 2. Величины s – перемещение, , А – ускорение A ­ работа, F – сила, N ­ мощность F(x) = A'(x) N(t) = A'(t) m – масса тонкого стержня,  ­ линейная плотность (x) = m'(x) q – электрический заряд, I(t) = q (t) I –сила тока Q – количество теплоты с ­ теплоемкость c(t) = Q'(t) Применение интеграла. Вычисление производной Вычисление интеграла a(t) =  s t dt  ( ) t 2 t 1 t 2 t 1 x 2 x 1 t 2 t 1 x 2 x 1       A A m ( ) a t dt F x dx ( ) N t dt ( ) x dx  ( ) q Q t 2   t 1 t 2   t 1 J t dt ( ) c t dt ( ) Приложение 3. Вопросы по теме «Первообразная. Интеграл.»  Сформулируйте три правила нахождения первообразных. 1. Дайте определение первообразной. 2. Сформулируйте основное свойство первообразных. 3. В чем заключается геометрический смысл основного свойства первообразной? 4. 5. Какую фигуру называют криволинейной трапецией? 6. Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции. 7. Объясните, что  такое интеграл? 8. В чем заключается геометрий смысл интеграла? 9. Запишите формулу Ньютона­ Лейбница. 10. Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и  физике. 11. Какая связь существует между операциями дифференцирования и интегрирования? Приложение 4 1 ряд  1. xdx                     (1б)   dx x 5 5x dx 67x dx                     (1б)                      (1б)                     (1б)   2.  3.  4.     5.   (7  3 x  1) dx            (2б) 6.   10sin 5xdx          (2б) Математическая эстафета. (1б)  3. dx 1.   (1б)   2 ряд 1  7 xdx  2.  2  7x dx 5 x dx  5  (2 x  6.  3cos3xdx dx 1) 4. 5.  dx 2  (1б)    (1б)   3 ряд  ( 6)dx 1. 1 3 10x dx 10 xdx 2. 3.     (1б)    (1б)    (1б)   4. 11x dx  (1б)    (2б) (2б) 5. 6.  (2б) 4  (3 2 )x dx  4 dx x  2  3 sin 2  (2б) 3(5 8.  7.   dx x 3   10. 9.  4 x 2  1) dx         (2б)                       (2б) 3x dx 5 dx x  5 7               (2б)             (3б)          (2б) 3  8. 7.  4(5 6 )x dx dx x 4  3 xdx 10. 3 dx x (8 7 ) 9.  4                        (2б)                 (2б)              (3б)  (2б) 2 7.  (2б)   7(2 9 )x dx 7x dx 8.   10.  (2б) 7x dx 3 2 9.   (7 3 )x dx 2  (3б)    Приложение 5 Ответы к математической эстафете 1 ряд 2 ряд c 3 ряд 1.  ­6x+c 2 x 6 x 11 11x 2.  3.  4.  c 11 c c 2 x 2 2 x 10 6 x 6 7x 1.   2.   3.   4.   c c c c 27 x 2  5.     x c 6.   2cos5x  c x  5 1 2 x 4 2 x 3 1)  c  c 3 x c (5 7.   8.    9.   4 7 1.   2.  3.  4.  x 1 7 2 x 4 8 x 8 6 x 30 x (2 c c c 5.   6 6.  sin 3x  6  3 8.  9.   1 3 x 33 x 4 1) 3  c 5.   c 6.  2 ctg 7.   (5 6 ) x 4  c 7.    c 2 ) x  c 3  c 5 (3 2 ) x  10  ( 3  7(2 9 ) x 27  c c 8.   x c 9.   1 6 6 x 42 x 9  2 5 10.   x c (7 3 ) x  3 (7 3 ) x  2  c 10.   2 5   7x c 10.   1  7(8 7 ) x  c 3