Разработка урока по теме : "Квадратные уравнения"(8 класс, математика)

Тема урока: «Решение задач с помощью квадратных уравнений». Цель урока:  ­ научиться решать задачи с помощью квадратных уравнений;  ­ закреплять навыки решения квадратных уравнений;                                                        Ход урока: 1.Сообщение темы и цели урока. Оргмомент: Приветствие, проверка готовности учеников к уроку.        На уроках математики вы действительно учитесь решать задачи, в том числе и при помощи  составления уравнения. Уравнения у вас могут получиться самые разные, поэтому так важно  умение решать любые уравнения. В начале урока ученики устно отвечают на вопросы учителя:  ­ Вспомним, что мы изучили на предыдущих уроках алгебры? Какую тему? Чему научились?                                (Ответы: Квадратные уравнения, научились их решать)  ­ Зачем нам нужно уметь решать уравнения? В чем нам эти знания могут пригодиться?                             (Ответ: при решении задач)  ­ Как вы думаете, какой же будет тема сегодняшнего  урока?                             (Ответ: «Решение задач с помощью квадратных уравнений»).  Запишите сегодняшнее число и тему урока в тетради! И так, тема нашего урока «Решение задач с помощью квадратных уравнений».  Всякая хорошо решенная математическая  задача доставляет умственное наслаждение. Эти слова Г. Гессе  станут эпиграфом нашего урока. Надеюсь, что вы действительно получите удовольствие от результатов вашего труда на уроке.  2.Повторение и закрепление пройденного материала. Сначала проверим, как вы усвоили пройденный материал. Фронтальный опрос.  Вопросы задает учитель: ­ Дать определение «Квадратного уравнения». Название его коэффициентов. Привести пример. ­ Как решать квадратные уравнения? (по формуле корней квадратного уравнения) ­ Что такое «Дискриминант» квадратного уравнения?  ­ Как он обозначается? Что означает это слово в переводе с латыни?   (Д, «различитель») ­ Что же он различает? (Количество корней квадратного уравнения). ­ Сформулируйте правило определения количества корней в квадратных уравнениях.  1 (Д>0, Д=0, Д<0). ­ Напишите формулу корней квадратного уравнения! (На доске) (формула I) ­ Напишите частный случай общей формулы.  (формула II) ­ Сделайте вывод: чем хороша каждая из этих формул?  Итак, мы повторили, как можно решить квадратное уравнение.  Сейчас я хотела бы проверить, как вы усвоили эти формулы и определения. Ученики получают карточки с заданиями. Заполняют пропущенные слова в карточках. 1.Вариант 1.Уравнение вида  , где a, b, c ­ заданные числа, a 0, x ­ переменная,    2 ах  bx  c 0 называется... 2. Полное квадратное уравнение не имеет корней, если D ... 3. Уравнение вида  называется... 2 x  px  q 0 4. Квадратное уравнение имеет два корня, если ... b 2  4 ac 5. Дано уравнение  3 2 x  7 x  4 0 . D =... 2.Вариант 1. Если  ах 2  bx  c 0  квадратное уравнение, то a... коэффициент, с... 2. Уравнение x² = a, где a < 0, не имеет... 3. Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если  ... b 2  4 ac 4. Уравнение вида ax² + c = 0, где a   0, c   0, называют ... квадратным уравнением. 5. Дано уравнение x²­ 6x + 8 = 0. D =... Проводится взаимопроверка. Ответы показываем через интерактивную доску. Важно отметить наиболее активных и успешно справившихся с заданием учеников. 3.Изучение нового материала.           Ребята! У меня возникла проблема. Я надеюсь, вы мне поможете. Мне необходимо обнести изгородью  огородный  участок,  он  имеет  прямоугольную  форму.   Одна  из  сторон  на  10  метров больше другой, площадь всего участка 1200 м2 . Сколько необходимо мне закупить материала? Возможно ли, решить задачу с помощью квадратного уравнения? Решение задачи: Выбираем наименьшую из сторон, обозначаем ее – х метров. Тогда большая сторона (х+10) метров. Знаем, что площадь всего участка 1200 м2 . Получаем уравнение:  х(х+10)=1200, 2 Раскроем скобки. х2 +10х=1200, х2 +10х­1200=0, D=100+4800=4900, −10−70 х1 = 2 =­40,  х2 = −10+70 2 =30. Корень   уравнения   равный   ­40   –не   подходит,   так   как   длина   не   может   быть   отрицательной   х2 =30   м   –   это   длина   наименьшей   стороны   изгороди.     Значит   х+30=40   м   – величиной;   наибольшая   сторона   изгороди,   а   длина   всей   изгороди,   т.е.   периметр   участка,   будет   равен Р=2×(30+40)=140   метров.   Следовательно,   мне   необходимо   купить   140   метров     материала   для обнесения огородного участка изгородью.  Ответ: 140 м. С чего же нужно начинать решать задачи? Отвечают дети с помощью учителя. 1.Выбрать неизвестно. 2.Затем составить уравнение. 3.Решить его. 4. Сделать вывод о корнях. 5. Выполнить дополнительные действия. Разбор (по учебнику) задачи №1 и №2.  4.Задание на уроке. Задача № 559 Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа. Решение: Пусть меньшее число х, тогда большее х+6. По условию произведение этих чисел равно 187.  Получаем уравнение: х(х+6)=187, х2 +6х=187, х2 +6х­187=0, D=36+748=784, 3 х1 = −6−28 2 =­17,  х2 = −6+28 2 =11. Корень    х1 =­17 –не подходит, поскольку   не натуральное число.    х2 =11 – это наименьшее число, тогда х+6=11+6=17 – наибольшее число.  Ответ: 11,17 Задача № 563 Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см2 . Решение: Пусть катеты треугольника равны, а см и б см. Сумма катетов по условию равна 23 см. т.е. а+б=23. Площадь треугольника равна 60 см2 . т.е.  1 2 аб=60.  Получаем систему уравнений:        { а+б=23 2аб=60;     {а=23−б 1 аб=120;      { а=23−б (23−б)б=120;    { а=23−б б2−23б+120=0. Решаем  второе уравнение через дискриминант. б2 ­23б+120=0, D=529­480=49, 23−7 б1 = 2 =8,  б2 = 23+7 2 =15. Один из катетов треугольника равен 15 см Значит, второй катет равен  а=23­б=23­15=8см. Ответ: 8см, 15см.  5.Задание на дом. Пункт 23, №560, №564, на повторение №576. 6.Подведение итогов. Отметить   работу   каждого   ученика;   ещё   раз   повторить   алгоритм   решения   задач   с   помощью квадратных уравнений.  Спасибо за урок!                                               4 Урок № 2 Тема урока: «Решение задач с помощью квадратных уравнений» Цель урока:  ­ совершенствование навыков составления уравнения по условию задачи; ­ закрепление навыков решения квадратных уравнений;  ­ развитие логическое мышление учащихся. Задачи урока: Научить составлять уравнение по условию задачи, определять тип текстовой задачи, знать особенности алгоритма  её решения. Тип урока: Урок  моделирования и преобразования модели. Формы работы учащихся на уроке: Фронтальная, индивидуальная, парная. Описание необходимого технического оборудования для проведения урока:  Компьютер учителя, интерактивная доска. Структура и ход проведения урока:                                                                1.Организационный момент. 2. Проверка домашнего задания  (разбор нерешенных задач). 3. Актуализация опорных знаний. 4. Формирование умений составлять уравнения по условию задачи. 5. Изучение нового материала. 6. Подведение итогов урока. 7. Задание на дом.                                                     Ход урока: 1.Организационный момент. 2.Проверка домашнего задания.                Здравствуйте, ребята! Сегодня на уроке мы продолжим учиться составлять уравнения по условию   задачи.   Возникли     ли   у   вас   затруднения   по   выполнению   домашней   работы?     (разбор нерешенных задач). И так, тема нашего урока «Решение задач с помощью квадратных уравнений».  Запишите сегодняшнее число и тему урока в тетради! 3.Актуализация опорных знаний. Два ученика на месте работают по индивидуальным карточкам. Карточка № 1. 1.Запиши общий вид квадратного уравнения. 5 2.Запиши формулу корней квадратного уравнения. 3.Чему равны коэффициенты а, в, с уравнения   х2 – 4х – 3 = 0?  4.Реши уравнения:     а) 3х2 + 2 х – 1 = 0;      б) 2х 2+ 7х – 4 = 0;      в) х2 – 7х +12 = 0.  Ответ: а) ­1, 1/3;  б)1/2, ­4;  в)4, 3. Карточка № 2 1.Запишите формулу дискриминанта квадратного уравнения. 2.Сколько корней имеет уравнение, если D > 0?  D < 0?  D = 0? 3. Реши уравнения:  а) 5х2 + 8х – 4 = 0;    б) х2 – 6х + 11 = 0;       в) 7х2 + 6х – 1 = 0. Ответ: а) 2/5, ­2; б) корней нет; в) 1/7, ­1. Два ученика получают карточку с задачей, решают у доски. Карточка №1 Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равно 156. Найдите эти числа.  Решение: Пусть первое натуральное число равно х, тогда второе число х+1. По условию задачи произведение чисел равно 156. Получаем уравнение:  х×(х+1) = 156, х2 + х – 156 = 0,  D=1+624=625, х1 = −1−25 2 =­13,  х2 = −1+25 2 =12. Так   как   х   натуральное   число,   то   ­13   посторонний   корень.   Значит   одно   из   чисел   12,   а   другое 12+1=13  Ответ: 12;  13. Карточка № 2 Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равно 210. Найдите эти числа.  Решение:   Пусть   х   первое   натуральное   число,   тогда   х+1   –   второе   число.   По   условию   задачи произведение чисел равно 210. Получаем уравнение:  х×(х+1)=210,  х2 + х – 210=0,  D=1+840=841, х1 = −1−29 2 −1+29 2 =14. =­15,  6 Так как х – натуральное число, то­ 15 – посторонний корень, значит первое число равно 14, а второе 14+1=15. Ответ: 14;  15. Остальные учащиеся по вариантам, выполняют практическое задание. Задание на доске. 1.Вариант 1) 3х2 – 7х = 0; Ответ: х1 =0,   х2 =2 1 3 . 2) 2х2 – х = 0; Ответ: х1 =0,  х2 = 1 2 . 3) х2 – 2х + 1 = 0;  Ответ: х1 =0. 4) х2 + 3х + 3 = 0; Ответ: корней нет. 2 вариант 1) 5х2 + 14х – 3 = 0; 1 5  ,  х2 =­3. Ответ: х1 =­  2) 7х2 + 8х + 1 = 0; Ответ: х1 =­1,  х2 =­ 1 7 . 3) х2 – 2х + 2 = 0; Ответ: корней нет. 4) 3 x2−х−2=0 ; Ответ: х1 =1,  х2 =­ 2 3  . В конце работы проводится взаимопроверка между рядами.  4. Формирование умений составлять уравнения по условию задачи.         На прошлом уроке мы узнали, что многие задачи алгебры, приводят к необходимости решения квадратного   уравнения.   Давайте   вспомним   алгоритм   решения   задачи   с   помощью   квадратного уравнения. 7 Этапы решения задачи алгебраическим методом: 1. Выбрать неизвестно. 2. Затем составить уравнение. 3. Решить его. 4. Сделать вывод о корнях. 5. Выполнить дополнительные действия. А теперь давайте потренируемся в составлении уравнений по условию задачи, а также закрепим навык   решения   квадратных   уравнений   с   помощью   небольшого   тренажера.   Ученикам самостоятельно предлагается решить задачи и выбрать правильный вариант ответа. Если ученик затрудняется решить задачу, он может попросить помощи  ученика­консультанта или учителя. Задания на доске.  1. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел:   Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого, равно 256. Найдите эти числа. 1)  х( х – 5) = 256;      2)  х(х + 5) = 256;     3)  2х2 + 5 = 256;        4)  2х – 5 = 256. Ответ: х(х+5)=256. 2. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Одна из  сторон прямоугольника на 12   см   больше   другой.   Площадь   этого   прямоугольника   равна   405   см.   Найдите   стороны прямоугольника. 1) х( х + 12) = 405     2) х(х ­ 12) = 405      3)2х ­ 12 = 405        4)  2х + 12 = 405 Ответ: х(х+12)=405. 3.  Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел:  Высота треугольника на 4 см меньше основания этого треугольника, его площадь равна 48 см2 1) х( х + 4) = 48     2)  х2  ­ 4 = 96      3) х(х ­ 4) = 48       4)  х(х + 4) = 96 . Найдите высоту треугольника. Ответ: х(х+4)=96. 4. Решите задачу. В прямоугольном треугольнике один катет больше другого на 3 см, а гипотенуза равна 15 см. Найти длину меньшего катета треугольника. Чтобы правильно ученики составили уравнение. Необходимо вспомнить теорему Пифагора. Решение:  х2 = 152 , (х+3)2 +  х2 + х2 +6х+9=225, 2х2 2х2 +6х+9­225=0, +6х­216=0, разделим на 2 8 х2 +3х­108=0, D=9+432=441, х1 = −3−21 2 =­12,  х2 = −3+21 2 =9. Корень уравнения ­12 условию задачи не удовлетворяет, значит, меньший катет равен 9 см. 1) 9 см     2)  6 см    3)  5 см     4) 12 см. 5. Решите задачу. Сумма смежных сторон прямоугольника равна 17 см, а его диагональ 13 см. Найти стороны прямоугольника. Решение: Проведенная диагональ, делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Пусть х см длина наименьшего катета, тогда зная, сумму смежных сторон треугольника мы можем найти второй катет, он равен (17­х) см. По условию задачи проведенная диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника и равна 13 см. Применяя теорему Пифагора, составим уравнение: х2 х2 + (17−х)2 + х2 = 132 , раскроем скобки. ­34х+289=169, 2х2 ­34х+120=0, сократим на 2. х2 ­17х+60=0, D=289­240=49, 17+7 х1 = 2 =12,   х2 = 17−7 2 =5. Оба корня удовлетворяют условию задачи. Значит, наименьший катет равен 5 см, а наибольший катет равен 12 см. 1)  3 см и 20 см       2) 8 см и 15 см       3) 12 см и 5 см       4) 8 см и 6 см Проверим решение:        Правильные ответы на обратной стороне доски:  1)  2;     2)  1;      3)  4;       4)  1;     5)  3. 5. Изучение нового материала. Часто алгебраические задачи решаются двумя способами. Например, решим задачу на движение двумя способами. Для этого вспомним: ­ Какие величины связаны с движением?  ­ Как зависит расстояние от скорости и времени? ­ Как найти скорость, если известны расстояние и время? 9 ­ Как найти время, если известны расстояние и время?   Задача № 1. (работа с классом) Турист должен был пройти 6 км за определенный срок. Однако он задержался с выходом на 30 мин, поэтому, чтобы прийти вовремя, он шел со скоростью, превышающей намеченную на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход?  Решение.  Первый способ. Пусть х ч – намеченный срок. Вспомним! Ч тобы найти скорость надо путь поделить на время, следовательно, 6/х км/ч – намеченная скорость. х – 0,5 ч – время, затраченное фактически, 6/(х – 0,5) км/ч – фактическая скорость. По условию задачи известно, что пешеход увеличил скорость на  1 км/ч.  Получаем уравнение: 6/(х – 0,5) – 6/х = 1.  Если х≠0,5 и х≠0, то 6х – 6х + 3 = х2 – 0,5х  2х2 – х – 6 = 0,  D=1+48=49, х1 = 1−7 4 =­1,5    х2 = 1+7 4 =2. Так как время – положительное число, то – 1,5 не подходит. Намеченное время – 2 часа, а скорость, с которой шел пешеход  – 6 : 2 + 1 = 4 (км/ч). Ответ: 4 км/ч. Второй способ. Пусть х км/ч – намеченная скорость, тогда 6/х ч – намеченное время. х + 1 км/ч – фактическая скорость,   6/(х+1)   ч  –   фактическое   время.   По   условию   задачи   известно,   что   пешеход   затратил времени на ½ часа меньше, чем планировал.  Получаем уравнение: 6/х – 6/(х+1) = ½. Если х ≠ 0, х ≠ 1, то 12х + 12 – 12х = х2 + х,  х2 + х – 12 = 0, D=1+48=49, х1 = −1−7 2 =­4,   х2 = −1+7 2 =3. Так как скорость – положительное число, то  – 4 не подходит, значит, намеченная скорость  3 км/ч, а скорость движения пешехода 3 + 1 = 4 (км/ч). Ответ: 4 км/ч. Задача № 2. (Самостоятельно, с оказанием дифференцированной помощи) 10 Велосипедист   проехал   с   постоянной   скоростью   40   км  от  пункта   А  до  пункта   В.  Возвращаясь обратно со скоростью, на 10 км/ч меньшей первоначальной, он затратил на 20 мин больше, чем на путь от А до В. Найдите первоначальную скорость велосипедиста. Проверим решение: Первый способ Пусть х км/ч – скорость велосипедиста при движении из пункта А в пункт В, тогда время движения – 40/х ч. На обратном пути он ехал со скоростью (х – 10) км/ч и затратил 40/(х ­ 10) ч. По условию задачи известно, что на обратный путь велосипедист затратил больше на 20 мин или на 1/3 часа. Получаем уравнение: 40/(х ­ 10) – 40/х = 1/3.  Если х ≠ 0, х ≠ 10, то 120х – 120х + 1200 = х2 – 10х, х2 – 10х – 1200 = 0, D=100+4800=4900, х1 = 10−70 2 =­30,  х2 = 10+70 2 =40. х1 = ­ 30 ­ условию задачи не удовлетворяет. Значит первоначальная скорость велосипедиста – 40 км/ч. Ответ: 40 км/ч. Второй способ Пусть х ч – время, затраченное велосипедистом на путь от А до В, тогда его скорость 40/х км/ч. Время, затраченное на обратный путь (х + 1/3) ч, а скорость – 40/(х + 1/3) км/ч. По условию задачи известно,   что  обратно   велосипедист   ехал   со   скоростью,   на   10   км/ч   меньшей   первоначальной. Получаем уравнение:  40/х ­ 40/(х + 1/3) = 10. Если х ≠ 0 и х ≠ 1/3, то 40(х + 1/3) – 40х = 10х(х + 1/3), 3х2 + х – 4 = 0, D=1+48=49, х1 = −1−7 6 4 3 ,   х2 = −1+7 6 =­ =1. х1 = ­ 4/3 –условию задачи не удовлетворяет. Значит, на путь от  А до В был затрачен 1 час и первоначальная скорость велосипедиста 40 км/ч. Ответ: 40 км/ч. 6. Подведение итогов урока. ­ Какие задачи решали на уроке? 11 ­ Что нового вы узнали на уроке? ­ Какие затруднения у вас возникли? ­ Расскажите этапы решения задачи с помощью уравнения. Отметить наиболее активных учеников. Выставить оценки. 7. Задание на дом. №565,№574, на повторение №578. Подготовить выступление трем учащимся на тему «История квадратных уравнений в Индии», «Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне», «Квадратные уравнения в Европе в XIII – XVIIвв».                И закончить сегодняшний урок хотелось бы словами великого математика  У. Сойера: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три­четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». Поблагодарить учащихся за плодотворный урок. 12 Урок № 3 Тема урока: «Решение задач с помощью квадратных уравнений» Цель урока: ­ закреплять навыки решения задач с помощью квадратных уравнений; ­ развивать логическое мышление учащихся. Задачи   урока:   Проверить   насколько   дети   научились   составлять   уравнение   по   условию   задачи, определять тип текстовой задачи, знать особенности алгоритма  её решения. Тип урока: Урок закрепления нового материала. (В форме беседы) Формы работы учащихся на уроке: Индивидуальная, коллективная. Описание необходимого технического оборудования для проведения урока:  Компьютер учителя, интерактивная доска. Структура и ход проведения урока: 1.Сообщение темы и цели урока. 2. Путешествие в историю квадратных уравнений. 3.Творческое задание на дом.  4.Подведение итогов.                                                                                                            Ход урока:   1.Сообщение темы и цели урока.                 Здравствуйте,   ребята!  Квадратные   уравнения   ­   это   фундамент,   на   котором   покоится величественное здание алгебры.   Сегодня на уроке мы с вами  отправимся в путешествие, в мир квадратных уравнений.  Закрепим навыки решения квадратных уравнений и углубим знания, путем рассмотрения различных нестандартных задач. 2.Путешествие в историю квадратных уравнений.         К доске выходит ученик с сообщением «Квадратные уравнения в Индии»: А знаете ли вы, что первое упоминание  о задачах на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом   тракте   «Ариабхаттиам»,   составленном   в   499   г.   индийским   математиком   и астрономом   Ариабхаттой.   Другой   индийский   ученный,   Брахмагупта   (VII   в.),   изложил   общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой форме: ах2 + bх = с, а > 0. В этом уравнении   коэффициенты,   кроме   а,   могут   быть   и   отрицательными.   Правило   Брахмагупты   по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении   трудных   задач.   В   одной   из   старинных   индийских   книг   говорится   по   поводу   таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто 13 облекались   в   стихотворную   форму.   Давайте   решим   одну   из   задач   знаменитого   индийского математика XII в. Бхаскары: Обезьянок резвых стая, Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам... Стали прыгать, повисая... Сколько ж было обезьянок, Вы скажите, в этой стае? Все вместе разбираем задачу, один ученик у доски. Решение: Нам  необходимо узнать  сколь было всего  обезьян?  Значит,   х обозначим  количество обезьян. По условию восьмая часть забавлялась на поляне, значит, берем восьмую часть от общего количества обезьян ­ это будет  1 8  х, да еще в квадрате  1 8 х2 . К этому количеству добавим еще, 12 обезьян,  которые прыгают по лианам. Получим следующее уравнение:  1 8 х2 +12=х. Решим это уравнение: 1 8 х2   +12=х, 1 64 х2 ­х+12=0, D=1­4× 12 64 = 0,25; х1 = 1−0.5 1 32 =16,   х2 = 1+0.5 1 32 =48. х1 =16,   х2 =48. Два корня удовлетворяют условию задачи. Поэтому в стае могло быть 16 или 48 обезьян. Ответ: 16 или 48 обезьян. Учитель предлагает решить еще одну старинную задачу. 14 Задача: Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте. Одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян? К доске приглашается ученик. Рассуждения над задачей ведется всем классом. Решение: В задаче надо найти, сколько было всего обезьян? Неизвестную величину обозначим х, тогда   пятая   часть   от   всего   количества   обезьян   будет   равна   1 5 х.     Это   количество   обезьян уменьшаем на 3, возводим в квадрат и добавляем 1 обезьяну. Получаем уравнение:   ( 1 5 х−3)2 +1=3. Решим это уравнение: х−3)2 x2−6 ( 1 5 1 25 +1=3, 5 х+9+1=х,    x2−55х+250=0 , D= 3025­1000=2025, х1 = 55−45 2 =5,  х2 = 55+45 2 =50. Находим корни квадратного уравнения:  х1 =5 – не подходит, т.к.  если подставить значение 5 в исходное   уравнение,   то   получим   1 5 х­3=­2,   ­2   меньше   нуля.   Значит,   условию   задачи удовлетворяет второй корень  х2 =50. Ответ: 50 обезьян.            Выходит следующий ученик с выступление  «Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне». Квадратные уравнения умели решать вавилоняне около 2000 лет до н. э. Применяя современную алгебраическую   запись,   можно   сказать,   что   в   их   клинописных   текстах   встречаются,   кроме неполных квадратных уравнений, и полные квадратные уравнения.   Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в 15 виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий   уровень   развития   алгебры   в   Вавилоне,   в   клинописных   текстах   отсутствует   понятие отрицательного   числа   и   общие   методы   решения   квадратных   уравнений.   В   Древнем   Вавилоне образованные люди (это были жрецы и чиновники) умели решать задачи на определение длины и ширины   прямоугольника   по   площади   и   периметру.  Давайте   мы   побудим     людьми   Древнего Вавилона и решим пару задач.  Задача №1 Найдите стороны прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см2 .  Решение: Пусть х см ширина прямоугольника, тогда длина прямоугольника (х+4) см. По условию задачи площадь прямоугольника равна 60 см2.  Составим и решим уравнение: х(х+4)=60, х2 +4х­60=0,      D=16+4×60=16+240=256, х1 = −4+16 2 =6,   х2 = −4−16 2 =­10. Корень равный ­10 условию задачи не удовлетворяет, т.к. ширина не может быть отрицательным числом.  Следовательно, ширина равна 6м, а длина равна х+4=6+4=10м. Ответ: 6м, 10 м. Задача №2 Периметр прямоугольника 62 м.  Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 м2. Решение:   Пусть   х   м   ширина   прямоугольника,   тогда   у   м   длина   прямоугольника.   По   условию периметр прямоугольника равен 62 м. Вспомним, формулу периметра прямоугольника получим: (х+у)×2=62. По условию  знаем, что площадь прямоугольника равна 210 м2 . Получаем х×у=210. Получаем два уравнения: (х+у)×2=62,  (1)  х×у=210.      (2) В уравнении (1) разделим обе части на 2. х+у=31,  Выразим переменную х через у. 16 х=31­у,   Подставим во второе уравнение. (31­у)×у=210, Раскроем скобки. 31у­ у2 =210, Приведем к виду квадратного уравнения. ­ у2 у2 +31у­210=0, умножим на ­1. ­31у+210=0, D=961­840=121. х1=31+11 2 =21,   х2=31−11 2 =10. Корни подходят по условию задачи. Значит 21 м ширина прямоугольника, а 10 м его длина. Ответ: 21м, 10м. Небольшая разминка.  Решите устно следующие уравнения. Задание на интерактивной доске. 1 ¿x¿2 =9,   (Ответ: ­3; 3) 2) 3 x2 =300,  (Ответ: ­10; 10) 3) 2 x2 ­8=0,  (Ответ: ­2; 2) 4 ¿x¿2 ­3x=0,   (Ответ: 0; 3) 5 ¿x¿2 +6x+9=0,  (Ответ: ­3) 6 ¿x¿2 ­10x+25=0,  (Ответ:5) 17 7 ¿x¿2 +16x+63=0,  (Ответ: ­9, ­7) 8 ¿x¿2 ­3x+2=0.  (Ответ: 2, 1). К доске выходит следующий ученик с сообщением на тему «Квадратные уравнения в Европе в XIII – XVIIвв».              Формы решения квадратных уравнений по образцу ал­Хорезми в Европе были в первые изложены в «Книге абаха», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор   разработал   самостоятельно   некоторые   новые   алгебраический   примеры   решения   задач   и первый   в   Европе   подошёл   к   введениям   отрицательных   чисел.   Его   книга   способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абаха» переходили почти во все европейские учебники XVI – XVII вв. и частично XVIII в. Общее правило решений квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х2 + bx=c при   всевозможных   комбинациях   знаков   и   коэффициентов   b,c,   было   сформировано   в   Европе   в 1544г. М. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета,   однако   Виет   признавал   только   положительные   корни.   Итальянские   учёные   Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVIIв. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVIIв. благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. У доски  решаем следующие задачи. Задача №1 Изготовить прямоугольник, если известно, что одна из сторон на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см. Решение:   Пусть  х   см   наименьшая   из   сторон   прямоугольника,   тогда   наибольшая  сторона   равна (х+14)   см.   Проводя   диагональ,   мы   делим   прямоугольник   на   два   треугольника.   Диагональ   в прямоугольном треугольнике  играет роль гипотенузы. Для правильного составления уравнения мы должны   вспомнить   теорему   Пифагора,   и   свойство   противоположных   сторон   прямоугольника. Получаем уравнение:  х2 + (х+14)2 = 342 Решаем уравнение, раскрыв скобки: 18 x2 + x2 +28х+196=1156, 2 x2 2 x2 x2 +28х+196­1156=0, +28х­960=0, сократим квадратное уравнение на 2 +14х­480=0, D=196+1920=2116, −14+46 х1 = 2 =16,  х2 = −14−46 2 =­30 не подходит. х2 =16 см – наименьшая из сторон прямоугольника. х+14=16+14=30, х2 =30 см – наибольшая из сторон прямоугольника. Ответ: 16 см и 30 см. Задача №2 Изготовить прямоугольный треугольник, если один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы.   Решение: Пусть х см гипотенуза прямоугольного треугольника, тогда (х­3)см один из катетов, а другой (х­6)см. Вспомним теорему Пифагора! Квадрат гипотенузы, равен сумме квадратов катетов. Получаем уравнение:  (х−3)2 + (х−6)2 = х2 . Решим уравнение, раскрыв скобки:   x2 x2 ­12х+36­ x2 =0, ­6х+9+ x2 ­18х+45=0, D=324­4×45=144, 18+12 х1 = 2 =15,  х2 = 18−12 2 =3. х1 =15,  х2 =3 – второй корень условию задачи не удовлетворяет. 15см – гипотенуза прямоугольного треугольника. 15­3=12 см – один катет прямоугольного треугольника. 15­6=9 см – второй катет прямоугольного треугольника. Ответ: катеты 12 см и 9 см, гипотенуза 15 см. Задача №3 19 Произведение двух последовательных целых  чисел больше их суммы на 109. Найдите эти числа.  Решение: Пусть одно из чисел мы обозначим х, следовательно, последующее число на 1 больше – (х+1). Произведение двух чисел равно – х(х+1), а сумма – (х+х+1). По условию задачи произведение этих чисел больше их суммы на 109. Получаем уравнение: х(х+1)­(х+х+1)=109. Раскроем скобки:  х2 х2 +х­х­х­1=109, ­х­1=109, х2 ­х­110=0, D=1+440=441, 1+21 х1 = 2 =11,   х2 = 1−21 2 =­10. Если 11 одно из целых чисел, то последующее 11+1=12. Если ­10 одно из целых чисел, то последующее ­10+1=­9. Ответ: ­10 и ­9, 11 и 12. 3.Творческое задание на дом. Ученикам предлагается самостоятельно придумать три задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений. 4. Подведение итогов. 1. Поблагодарить учеников подготовивших сообщения. ( Выставить оценки) 2. Отметить наиболее активных участников урока. Поставить отметку тем, кто самостоятельно составил уравнения. 3. Попросить учащихся самостоятельно себя оценить,  продолжив  предложения а) Сегодня на уроке я … б) Сегодня на уроке я смог (или не смог) самостоятельно составить к задаче …… и его решить. Сделать вывод! Поблагодарить за интересный урок! 20 Урок №1 Карточка №1 1 Вариант 1. Уравнение вида  2 ах  bx  c 0 , где a, b, c ­ заданные числа, a 0, x ­ переменная,                    Приложение    называется... 2. Полное квадратное уравнение не имеет корней, если D ... 3. Уравнение вида  называется... 2 x  px  q 0 4. Квадратное уравнение имеет два корня, если ... b 2  4 ac 5. Дано уравнение  3 2 x  7 x  4 0 . D =... Карточка №2 2 Вариант 1. Если  2 ах   квадратное уравнение, то a... коэффициент, с... bx  c 0 2. Уравнение x² = a, где a < 0, не имеет... 3. Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если  ac 4 4. Уравнение вида ax² + c = 0, где a   0, c   0, называют ... квадратным       уравнением. 5. Дано уравнение x²­ 6x + 8 = 0. D =... b 2  Урок №2 Карточка № 1. 1.Запиши общий вид квадратного уравнения. ... 21 2.Запиши формулу корней квадратного уравнения. 3.Чему равны коэффициенты а, в, с уравнения   х2 – 4х – 3 = 0?  4.Реши уравнения:     а) 3х2 + 2 х – 1 = 0;      б) 2х 2+ 7х – 4 = 0;      в) х2 – 7х +12 = 0.  Карточка № 2 1.Запишите формулу дискриминанта квадратного уравнения. 2.Сколько корней имеет уравнение, если D > 0?  D < 0?  D = 0? 3. Реши уравнения:  а) 5х2 + 8х – 4 = 0;    б) х2 – 6х + 11 = 0;       в) 7х2 + 6х – 1 = 0 Карточка №1 Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равно 156. Найдите эти числа.  Карточка № 2 Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равно 210. Найдите эти числа.  Урок №3 1 ¿x¿2 =9,    2) 3 x2  3) 2 x2 =300, ­8=0, 4 ¿x¿2 ­3x=0, 5 ¿x¿2 +6x+9=0, 6 ¿x¿2 ­10x+25=0, 7 ¿x¿2 +16x+63=0, 8 ¿x¿2 ­3x+2=0.           22 Приложение                                        Карточка основного понятия                                                Предмет: Алгебра                      Тема: «Решение задач с помощью квадратных уравнений»      Понятие: Квадратное уравнение, дискриминант, корни квадратного уравнения.                           Вопрос                                        Ответ № п/п 1 Что такое квадратное уравнение? 2 Из чего состоит квадратное уравнение? Какие бывают квадратные уравнения? Это уравнение вида, а х2   + bx + с = 0, где х неизвестное, а, b, с — некоторые числа,   причем а≠0 Из   некоторых   чисел,   которые   называются коэффициентами квадратного уравнения.  а ­ называется первым коэффициентом;  b ­называется вторым коэффициентом;  с ­ свободным членом. Если в квадратном уравнении коэффициенты   и не равны нулю, то уравнение называется полным 23 Как решать квадратные уравнения? квадратным уравнением.  Приведённым называют квадратное уравнение, в котором   старший   коэффициент   равен   единице. Неполным   квадратным   уравнением   называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю. Сначала   находится   величина, дискриминантом: D= b2 После   того,   как   дискриминант   вычислен, возможны три варианта. 1)   Если   дискриминант   D   больше   нуля,   то уравнение имеет два разных корня ­  х1 и  х2 . В этом случае корни вычисляются по формулам: х1 = 2а ,  х2 = −b−√D 2а . −b+√D   называемая ­4ас 2) Если дискриминант D равен нулю, уравнение имеет   один   корень   х,   который   вычисляется   по формуле: х= −b 2а 3 4 Какие   преимущества   в   жизни   получит ученик,   понимая   (хорошо   зная),   что такое   квадратное   уравнение   и   как   его решить? Какие вероятные проблемы (негативные последствия)   могут   наступить,   если (не   имеет ученик   не   представления,   что называем   квадратным   уравнением   и способы его решения?  знает     слабо   знает), 3)   Если   же   дискриминант   D   меньше   нуля,   то уравнение не имеет  корней (и именно это нужно написать в ответе). ­   При   выборе   профессии   связанной   с математикой,   например   архитектор,   экономист, инженер и т.д. ­   Если   свою   жизнь   свяжет   с   научной деятельностью. Квадратные уравнения очень актуальны. Одна из  основных тем ЕМЭ – это квадратные уравнения. Одной   из   основных   тем,   проверяемых   на экзамене   по   математике,   является   тема «Квадратные  уравнения». Данная тема изучается в   8   классе,   а   на   повторение   данной   темы   в   9 классе   отводится   один   час.   Поэтому   знания квадратных уравнений  помогут сдать экзамен по алгебре на более высокий бал. Также   квадратные   уравнения   используются   в физике и в химии для решения задач в 10 и 11 класса, знание данной темы поможет   при сдаче 24 ЕГЭ по этим предметам.  25