Разработка урока по теме "Криволинейная трапеция"

Разработка урока по теме: «Площадь криволинейной трапеции»           Тема: «Площадь криволинейной трапеции» Цели:  I. Воспитательные: 1. воспитание положительного отношения к знаниям; 2. воспитание дисциплинированности; 3. воспитание эстетических взглядов. Развивающие: 1. развитие психических качеств студентов: мышления, умений  II. применять полученные знания на практике; 2. развитие познавательных умений (выделять главное, вести  конспект); 3. развитие общетрудовых и политехнических умений; 4. развитие умений учебного труда (читать, писать); 5. развитие воли, самостоятельности). III. Образовательные: 1. закрепить навыки нахождения определенного интеграла; 2. добиться усвоения студентами понятия «криволинейная  трапеция»; 3. обеспечить усвоение студентами различных способов нахождения площади криволинейной трапеции; 4. отработать навыки нахождения площади криволинейной  трапеции. Тип: комбинированный Оборудование: проектор, карточки­задания. Демонстрационный материал: презентация PowerPoint  План урока Самоопределение к деятельности (оргмомент)   Актуализация опорных знаний       «Открытие» новых знаний       Применение знаний, формирование умений    Подведение итогов, домашнее задание       I. II. III. IV. V. ХОД УРОКА: I  . Самоопределение к деятельности Здравствуйте, садитесь. Дежурный, кто сегодня отсутствует? Тема нашего урока «Площадь криволинейной трапеции». Вы   знакомы   с   понятием   «определенный   интеграл»   и   научились   его вычислять. Сегодня   мы   сформулируем   понятие   «криволинейная   трапеция»   и научимся вычислять ее площадь с помощью определенного интеграла. II   . Актуализация опорных знаний Вспомним   материал   предыдущих   уроков   по   теме   «Определенный интеграл». Ответим на вопросы у доски.  1. Записать формулу Ньютона­Лейбница.   2. Что такое определенный интеграл? Формула Ньютона­Лейбница… Откуда взялась эта формула. Вам было дано домашнее задание найти историческую справку.  Кто нам об этом расскажет? (Историческая справка, слайд 1) 3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? III   . «Открытие» новых знаний 1)  И так, определенный интеграл – это площадь фигуры, ограниченной графиком положительной функции  f(х),  осью абсцисс и прямыми  х=а, х=в. Такая фигура называется криволинейной трапецией. Сегодня   мы   узнаем,  что   такое   криволинейная   трапеция   и  рассмотрим различные   способы   нахождения   ее   площади   с   помощью   определенного интеграла. Запишите в тетрадях тему урока: «Площадь криволинейной трапеции» (слайд 2). 2) Что же такое криволинейная трапеция? Пусть   на   отрезке  [a;  b]  оси   абсцисс   определена   функция  у=f(х)>0. Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком  [a;  b]  и прямыми х=а, х=b называется криволинейной трапецией (слайд 3). В тетрадях сделайте чертеж и запишите определение. 3) Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь   (слайд   4),  где   пределы криволинейной   трапеции   равна:    b а S хf )( dx интегрирования   –   это   отрезок  [a;  b]  оси   абсцисс,   на   котором   мы рассматриваем трапецию, а подинтегральная функция – та, график которой ограничивает трапецию сверху. 4) Рассмотрим следующие фигуры. а) (слайд 5). Фигура ограничена графиком функции у=f(x), отрезком [a, в] и прямыми х=а, х=в. Заштрихуйте  фигуру, ограниченную этими линиями.  Как   можно   определить   площадь   этой   фигуры?   (Проинтегрировать функцию у=f(x) на отрезке [a, в]).  Но   эта   фигура   находится   «ниже»   оси   Ох   и   вычисляя   интеграл   мы получим   отрицательное   значение,   чего   не   может   быть   при   вычислении площади.  Следовательно, площадь равна:  S (прописать). dx  хf )( b а Запишите   в   тетрадях   правило   нахождения   площади   рассмотренной фигуры. (слайд ) б) (слайд ).  Покажите криволинейную трапецию, ограниченную графиками функций g(x) и f(x).  На каком отрезке рассматривается данная фигура?  Как   найти   концы   этого   отрезка?  (Концы   отрезка   –   это   точки пересечения графиков. Чтобы найти абсциссы этих точек функции надо приравнять). А   как   вычислить   площадь   этой   фигуры?  (Эта   фигура   является разностью фигур с площадями  S1 и S2).  Следовательно, S=S1–S2 (прописать). Запишите   в   тетрадях   правило   нахождения   площади   рассмотренной фигуры. (слайд ) в)  (слайд).  Заштрихуйте фигуру, ограниченную графиками функций  g(x)  и f(x) и осью абсцисс. В чем особенность   этой фигуры?  (Она состоит из двух частей, одна сверху ограничена графиком функции  f(x)  и рассматривается на отрезке [А,0], другая – графиком g(x) на отрезке[0, В]). Следовательно, S=S1+S2 (прописать). IV   . Применение знаний, формирование умений 1) А теперь применим полученные знания на практике.  Решим   задачу   вместе   со   мной.  (задача 2).  Для   определения   площади фигуры построим эту фигуру. Найдем точки, в которых графики пересекаются, для этого приравняем функции, получаем уравнение х2 – 3х = 0. Отсюда следует, что х1 = 0, х1 =3. Графиком   функции  у   =   х2  –   2х  является   парабола,   ветви   вверх, пересекает ось Ох в точках 0 и 2. График функции у = х – прямая. Построим эти   графики.   Получили   ограниченную   этими   графиками   фигуру.   Так   как сверху фигура ограничена графиком  у = х, снизу ­  у = х2  – 2х, то искомая ,   по площадь   вычисляется   как   разность   интегралов:   dxх )(  2   х ( х )2 dx 3 0 3 0 свойству   интегралов   получаем:   .   Приведем   подобные, х  2 х  х )2 dx S   ( 3 0 получаем под­интегральную функцию ­ х2 + 3х. Находим первообразную:    ­ х3 /3 + 3х2 /2.  Подставим верхний предел интегрирования:  27 3  27 2   3 2 27 27 6  (прописать)  27 6 9 2  3 3 3   2 33 2 Я молодец!  2) Посмотрим, как получится у вас.  а) (задача 1) Прочитать условие. Кто желает решить задачу у доски? б) (задача 3) Прочитать условие. Кто желает решить задачу у доски? 3)  Сегодня   мы   познакомились   с  понятием   «криволинейная   трапеция», узнали, как можно вычислять ее площадь. А   теперь   посмотрим,   как   вы   разобрались   в   этом   материале (Самостоятельная работа) V  . Подведение итогов, домашнее задание Собрать выполненные самостоятельные работы. Кто выполнял задание на «5», кто – на «4», кто – на «3»? Оценки   за самостоятельную работу вы узнаете на следующем уроке, а сегодня на уроке получили оценки: а) тест – 10 чел. б) за ответ у доски – 3 чел. в) за решение примеров ­  2 чел. Д/З:  гл.13, §1, №12,13 Дополнительное задание:  Найти   в   Интернет   примеры   практического   применения   вычисления площади криволинейной трапеции. Тест 1. Чему равен нижний предел интегрирования в интеграле   (­2)  )( dxxf 0  2 2. Данный интеграл   2хdx 2 0 а) 0 б) ­4 в) 4 г) 8 3. В данном интеграле      равен:   подынтегральная функция равна:  2хdx 2 0 а) 2х б) dх в) 0 г) 2 4. Данный интеграл  а) 1 б) С в) 0    равен:  dxхf )( а а г) зависит от подынтегральной функции 5. Выражение данного вида   называется:  dxхf )( в а а) определенный интеграл б) неопределенный интеграл в) интегралом функции г) дифференциалом  6. Определенный интеграл вычисляется с помощью формулы: а) Лейбница б) Ньютона в) Лагранжа г) Ньютона­Лейбница 7.   При   перестановке   пределов   интегрирования   интеграле, интеграл ... а) не изменится б) увеличится в 2 раза в) поменяет знак г) подынтегральная функция изменится на обратную   в   определенном Самостоятельная работа 1. Найдите площадь криволинейной трапеции, изображенной на  рисунке: y 0 у = x 2 2 x 2. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке:  y 0 0   2 у = sin x  х 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямой  параболой    y  1 9 2 x y и y 1  x 3 2 х Оценка «3» ставится за правильное решение задания №1 Оценка «4» ставится за правильное решение задания №2 Оценка «5» ставится за правильное решение задания №3