Разработка урока по теме: "Показательные уровнения"

Конспект урока по алгебре и началам анализа по теме «Показательные уравнения» Цель: систематизировать знания о способах решения показательных уравнений, подготовить студентов к сдаче ЕГЭ. Оборудование: КИМы, ЕГЭ, таблицы по темам «Показательная функция», «Показательные уравнен ^ Ход урока. 1. Организационный момент (1 минута). Комментарий учителя: во всех вариантах тестов ЕГЭ имеются задания с использованием показательных функций,  неравенств, уравнений и систем уравнений. Сегодня мы восстановим представление о смысле понятия «показательное  уравнение», систематизируем алгоритмы решения показательных уравнений. Все показательные уравнения, какой бы степ  решаются по единым алгоритмам. Их всего пять. Рассмотрим и решим на уроке показательные уравнения в заданиях  разного типа: с выбором ответа, с кратким ответом и с подробным решением. При этом надо помнить о теоремах  равносильности. Ведь основная идея решения уравнений – идея равносильности уравнений. Устные упражнения (3 минуты). На одном из рисунков изображен график функции  . Укажите этот рисунок. 2. 1. 2. 3. Найти множество значений функции: а)  4. ; б)    Упростить выражения:  а) 2х∙23,5 ; б)  5.  ; в)  ; г) 2х∙3х Решить уравнения:  а) 2х = 4 ; б) 5х = 1 ; в) πх = 0 ; г) 9х = ­81 ; д) 2х = х+1 6. Выяснить, сколько корней имеет уравнение? 16|х| = 4  3. Воспроизведение и коррекция опорных знаний (14 минут). Ученики записывают в тетрадях тему «Способы (алгоритмы) решения показательных уравнений». Общеклассная работа – разбор заданий у доски. Работа идет фронтально. Ученики называют каждый способ, записывают его название и  совместно с учителем решают соответствующие уравнения, условия которых записаны заранее на доске. ^ I. Уравнивание оснований: ах = ау х = у 1) Задание с выбором ответа. Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения: а) (0;1) ; б) (1;2) ; в) (2;3) ; г) (3;4) 2) Решить уравнение: 81∙2х ­ 16∙3х = 0 ; 34∙2х = 3х∙24 ; ; х = 4.  Ответ: 4. ^ II. Логарифмирование обеих частей уравнения. aх = b х = logab (b>0, a>0, a≠1) Пример. Решить уравнение: 5х­8 = 9  х­8 = log59 х = 8+ log59 Ответ: 8+ log59 III. Вынесение общего множителя за скобки. Примеры. Решить уравнения: 1. 2х + 2х­1 + 2х­2 = 5х + 5х­1 + 5х­2 2х­2(22 + 2 + 1) = 5х­2(52 + 5 + 1) 2х­2∙7 = 5х­2∙31 x ­ 2 =    х = 2 +  Ответ: 2 +  IV. Введение вспомогательной переменной (задания с кратким ответом и с развернутым ответом) 1. Записать корень уравнения или сумму корней: 52х ­ 4∙5х – 5 = 0. Пусть 5х = t (t>0), тогда уравнение примет вид: t2 – 4t – 5 = 0 t1 = 5 ; t2 = ­1 – посторонний корень, так как t>0. Вернемся к переменной «х»: 5х = 5 ; х = 1. Ответ: 1 2. 0,5 ∙4 +2 ­ 35∙2 +12=0 Преобразим уравнение: 0,5 ∙22( + 2) – 35 ∙ 2 +12 = 0 3. 0,5 ∙ 22 ∙ 24 – 35 ∙ 2  + 12 = 0 Введем замену: 2 = t, (t > 0). 8 t2 – 35 t + 12 = 0 Вычислим корни при помощи дискриминанта, получим t1 = 4; t2 =  Вернемся к замене: 1) 2 = 4 2) 2 =  2 = 22 Прологарифмируем эти части уравнения при   = 2 основании 2: х = 4  = log2 т.к. log2  < 0 (функция возрастающая, значит, при основании 2 значение логарифма для чисел, меньших единицы, будет отрицательным), то уравнение решений не имеет. Ответ: 4. ^ V. Функционально­графический метод. 1. Решить уравнение: 2х =   (ответ: корней нет) б) 2х+1 =   (ответ: х = 1) в) 3х + 4х = 5х (ответ: х = 1) 4. Применение обобщенных знаний. Самостоятельная работа (15 минут). Образцы вариантов. Во время выполнения работы, учитель, если необходимо, помогает учащимся низкого уровня при решении примеров  наводящими вопросами.  1. 2. 3. 4. Решить уравнение: 33х+4 =  Решить уравнение: 32х­1 =  Найти корни уравнения: 49х∙74­х =  Найти меньший корень уравнения:  1) ­1 2) ­  3) 1 4) 5. 1. Найти наибольший корень уравнения:  0 2) 2 3) ­2 4) 1 6) Найти значение выражения: (х1 – х2)2, где х1 и х2 – корни уравнения  7. Найти сумму корней уравнения: 49∙72х ­ 50∙7х +1 = 0 1) 1 2) 2 3) ­2 4) 50 Во время самостоятельной работы учитель берет по одному, наиболее подготовленному ученику, из первой и из второй  группы и предлагает выполнить им подобные варианты заданий на доске по карточкам. По истечению времени учащиеся сдают работы.  5. Обсуждение решений задач представленных на доске (6 минут). Учащиеся выполнявшие задания у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят, при необходимости коррективы. 6. Сообщение домашнего задания. Подведение итогов урока (2 минуты). Для домашнего задания предлагается решить уравнения, цель которого – закрепить умения и навыки решать показательные  уравнения. Прокомментировать некоторые задания. 1. 2. 3. 4. 5. 1. Решить уравнение: 2х­1 + 2х+1 = 20     52х + 4∙5х – 5 = 0 23х∙5х = 1600 29х+9∙37х+3∙56х = 720х+3 Разбор заданий (д/з) 2х­1 + 2х+1 = 20 2х­1(1 + 22) = 20 2х­1 = 4 x – 1 = 2 x = 3 Ответ: 3. 2. Корней нет, так как   при любых х 3. 52х + 4∙5х – 5 = 0 5х = ­5 или 5х = 1 Корней нет, т.к. 5х>0 х = 0  Ответ: х = 0. 4. 23х∙5х = 1600 8х∙5х = 1600 40х = 402 x = 2 Ответ: 2. 5. 29х+9∙37х+3∙56х = 720х+3 29х+9∙37х+3∙56х =  5х – 3 = 0 5х = 3 x = 0,6 Ответ: 0,6.