Цель урока: закрепление темы «Квадратное уравнение»; создание условий для осознанного и уверенного владения навыком решения квадратных уравнений, рассмотрение различных способов решения квадратных уравнений.
Структура урока:
I этап. Организационный момент.
II этап. Актуализация знаний учащихся
III этап. Закрепление полученных знаний и способов деятельности.
IV этап. Самостоятельная работа, с последующей проверкой, в форме дидактической игры.
V этап. Физкультминутка
VI этап. Усвоение новых знаний. Формулирование и разрешение проблемной ситуации.
VII этап. Разноуровневая работа в группах.
VIII этап. Подведение итогов урока.
IX этап. Домашнее задание.
X этап. Рефлексия.
РАЗРАБОТКА УРОКА
ТЕМА
: Решение квадратных уравнений. (8 класс)
Цель урока:
закрепление темы: «Квадратное уравнение»;
создание условий для
осознанного и уверенного владения навыком решения квадратных уравнений,
рассмотрение различных способов решения квадратных уравнений.
Образовательные задачи урока:
закрепить знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения
квадратных уравнений, расширить и углубить представления учащихся о
решении уравнений, организовать поисковую деятельность учащихся при
решении квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля,
взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.
Развивающие задачи урока:
развивать математическое мышление, память, внимание;
развивать
сравнивать,
анализировать,
умение
обобщать,
классифицировать, строить умозаключения, делать выводы;
развивать коммуникативные навыки через коллективный способ
обучения; развивать навыки самостоятельной работы;
развивать устную и письменную речь учащихся;
привить любовь к предмету, желание познать новое.
Воспитательные задачи урока:
воспитывать культуру умственного труда;
воспитывать культуру коллективной работы;
воспитывать информационную культуру;
воспитывать потребность добиваться успехов в приобретении знаний;
воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля, развитие
самостоятельности и творчества.
групповая
парная работа,
фронтальная работа,
Формы обучения:
Индивидуальная,
(коллективная) деятельность.
Тип урока:
Урок закрепления изученного материала.
Оборудование:
Компьютер, мультимедийная установка, презентация, карточки.
Структура урока:
I этап. Организационный момент.
II этап. Актуализация знаний учащихся
III этап. Закрепление полученных знаний и способов деятельности.
1IV этап. Самостоятельная работа, с последующей проверкой, в форме
дидактической игры.
V этап. Физкультминутка
VI этап. Усвоение новых знаний. Формулирование и разрешение проблемной
ситуации.
VII этап. Разноуровневая работа в группах.
VIII этап. Подведение итогов урока.
IX этап. Домашнее задание.
X этап. Рефлексия.
Ход урока
I этап. Организационный момент.
Содержание деятельности: приветствие, определение отсутствующих;
проверка готовности учащихся к уроку; готовность наглядных пособий,
доски, мела и т.д.
Раскрытие общей цели урока.
Учитель. Здравствуйте! Садитесь. Ребята! Сегодня мы проведем урок
еще раз вспомним о способах решения квадратных
обобщения, где
уравнениях и оценим свои знания.
Девизом нашего сегодняшнего урока станут слова Рене Декарта
(презентация 1, слайд 2), прочтем все вместе:
«Для разыскания истины вещей необходим метод».
Сегодня на уроке мы продолжим работу по закреплению и
систематизации знаний, умений, навыков решения квадратных уравнений
различными способами (слайд 3).
II этап. Актуализация знаний учащихся.
Содержание деятельности
1) Фронтальная работа (презентация «Фронтальная работа »)
1)Когда уравнение ах² + bх + с = 0 называется квадратным?
2)Какой вид примет уравнение:
а) если b = 0, с = 0;
б) если b = 0, с ≠ 0;
в) если b ≠ 0, с = 0?
3) Имеют ли данные уравнения корни, если имеют, то сколько?
4) Как называются такие уравнения? Приведите примеры таких уравнений.
5) От чего зависит наличие корней уравнения ах² + bх + с = 0?
6)Формулы для нахождения корней уравнения ах² + bх + с = 0.
7)Найти корни уравнения
способом.
8) Если в уравнении ах² + bх + с = 0, а = 1, то уравнение называется…?
наиболее рациональным
1978х²1984х+6=0
29) Как можно найти корни этого уравнения, какую теорему можно употребить
для нахождения корней?
10) Можно ли выполнить обратную операцию, зная корни найти p и q?
2) Устная работа
Учитель. Перед вами 8 уравнений (слайд 4):
1
2
3
4
5
6
7
8
Я сейчас задаю вам вопросы по способам решения квадратных уравнений, а
вам надо указать уравнение которое проще всего решить этим способом. Если
ответ верный, то откроется буква, соответствующая номеру этого уравнения
и мы узнаем имя математика, который занимался изучением уравнений.
3x2 – 2x – 5= 0;
х2=5;
7x2 + 14x = 0;
х2 + 5x + 4= 0;
х2 + 4x +4 = 0;
х2 – 4 =0;
2x2 – 11x +5 =0;
х2 + 2x = x2 + 6.
1)Какое уравнение решается вынесением общего множителя за скобки?
№3 (Д)
2)Какое уравнение можно решить, методом выделения полного квадрата?
№5 (И)
3) Какое уравнение решается по формуле, используя четный второй
коэффициент? №1 (О)
4)Какое уравнение удобно решить по теореме Виета? №4 (Ф)
5)Какое уравнение можно решить разложением разности квадратов на
множители? №6 (А)
6)В каком уравнении надо применять общую формулу корней квадратного
уравнения? №7 (Н)
7)Какое уравнение можно решить извлечением квадратных корней? №2 (Т)
Вы догадались, о ком идет речь? Да имя математика, который занимался
изучением уравнений, их классификацией, способами решения – Диофант
(слайд 5).
Диофант смекалку проявил
Много нового в науке открыл.
Он ввел обозначения неизвестной величины,
Чтобы его уравнения решать все могли.
А также знак равенства как без него,
И методы решения алгебраического уравнения заслуга его.
Если хочешь больше о Диофанте узнать,
Можно в Интернете, в энциклопедиях почитать.
3)Если класс работает в хорошем темпе, можно разгадать кроссворд
(слайды 6,7)
3x2 + 4x – 12 = 0;
3x2 – 48 = 0;
2a2 – 5a + 2 = 0;
4x2 = 7;
–4x2 – 4x + 15 = 0;
5x2 + 10x = 0.
III этап. Закрепление полученных знаний и способов деятельности.
Содержание деятельности
1)Решение примеров (слайд 8)
1
2
3
4
5
6
1. «Выберите неполные квадратные уравнения и решите их».
2) 3х2 – 48 = 0; 4) 4х2 = 7; 6) 5х2 + 10х = 0.
Учащиеся самостоятельно решают. После решения называются корни
уравнений, и учащиеся комментируют выбранный способ решения.
2. «Выпишите приведённое квадратное уравнение и решите его».
1) х2 + 4х – 12 = 0.
Выбранный способ решения аргументируется.
3. «Как называются оставшиеся в данном списке уравнения?»
Уравнения №4 и №6 анализируются и прорешиваются у доски.
2) Решение задачи из китайского трактата «Математика в девяти
книгах» (примерно II в. до н.э.) (слайд 9)
«Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного
размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу (1
бу=1,6 м) от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных
ворот прямо 14 бу, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно
увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?»
Решение.
Обозначим сторону квадрата через х. Из подобия треугольников BED и
ABC (см. рис. на слайде 10) получим: k/0.5x=(k+x+l)/d.
Поэтому, чтобы определить неизвестную сторону квадрата, получаем
квадратное уравнение х2+(k+l)2kd=0.
В данном случае уравнение имеет вид х2+34х71000=0, откуда х=25000 бу.
Отрицательных корней (в данном случае х=284) китайские математики не
рассматривали, хотя в этом же трактате содержатся операции с
отрицательными числами.
IV этап. Самостоятельная работа, с последующей проверкой, в форме
дидактической игры.
Содержание деятельности
Учащимся выдаются карточки с заданиями 2х вариантов (см.
приложение ) Для каждого последующего уравнения значение коэффициента
«а» принимается равным большему корню предыдущего уравнения. Поэтому в
4четырех из них вместо этого коэффициента свободное окошко. После
выполнения работы – самоконтроль выполненной работы
Вариант 1.
х2+3х 28 = 0 x1 =7, x2 =4
4х2 +16x+12=0 x1 =3, x2 =1
1х2 x+2=0 x1 =2, x2 =1
1х2 +3x4=0 x1 =4, x2 =1
1х2 4x12=0 x1 =6, x2 =2
2 вариант.
х2+4х 21 = 0 x1 =7, x2 =3
3х2 +6x9=0 x1 =1, x2 =3
1х2 +6x7=0
x1 =7, x2 =1
1х2 +10x+9=0 x1 =9, x2 =1
1х2 +7x10=0 x1 =5, x2 =2
V этап. Физкультминутка
Содержание деятельности
Гимнастика для глаз (презентация «Физкультминутка»)
На уроке мы сидим
И во все глаза глядим,
А глаза нам говорят,
Что они уже болят.
VI этап.
проблемной ситуации.
Содержание деятельности
(Учащиеся работают в тетрадях).
Задание. Найдите значение выражения
Усвоение новых знаний. Формулирование и разрешение
, где х1 и х2 корни уравнения
+
1
х
1
1
х
2
2х2 + 7х + 2= 0.
Можете обсудить решение с соседом по парте. Сколько времени вам
понадобится на выполнение этого задания?
(Можно предположить, что решения в тетрадях учащихся будут следующие
записи:
2х2 + 7х + 2 = 0
Д = 49 – 4*4 = 33
x1 =
x2 =
)
33
7
4
33
7
4
На самом деле это задание можно решить намного рациональнее.
5Теорему Виета мы применяли для приведенных квадратных уравнений, а это
неприведенное.
А чем отличается приведенное квадратное уравнение от неприведенного? (У
приведенного квадратного уравнения коэффициент «а» равен 1.)
Как это уравнение свести к приведенному? (Разделить обе части уравнения на
2.)
Запишем в тетрадях правильное решение.
2х2 + 7х + 2 = 0
х2 + 3,5х + 1 = 0
Чтобы найти значение данного выражения, его надо преобразовать так, чтобы
в него входила сумма корней и их произведение. Как это можно сделать?
Привести дроби к общему знаменателю.
=
+
1
х
2
1
х
1
х
х
1
2
х
* х
1
2
=
5,3
1
=3,5 , т.к. x1 +x2 =3,5 x1 *x2 =1
Делаем вывод.
Было неприведенное квадратное уравнение ах2 + bх + c = 0, мы его свели к
уравнению х2 +
= 0 и тогда получается, теорема Виета для любого
х +
b
a
c
a
квадратного уравнения звучит так:
Если x1, x2 – корни уравнения ах2 + bх + c = 0, то x1 +x2 =
x1 *x2 =
c
a
b
a
Аналогично, звучит и обратная теорема.
Закрепление изученного материала.
(Ученик работает у доски).
Задание. Найти
х
2
1
х
2
2
, где х1 и х2 корни уравнения 3х2 5х 7 = 0.
1) Сведем это уравнение к приведенному.
х2
= 0
х
5
3
7
3
2) Запишем чему равна сумма и произведение корней
x1 +x2 =
x1 *x2 =
5
3
7
3
3)Рассмотрим выражение.
Это выражение надо записать в таком виде, чтобы в него входила сумма чисел
x1 +x2 и произведение x1 *x2
6х
2
1
х
2
2
Значит,
х
2
1
х
2
2
= (x1 +x2 )² 2 x1x2
=
2
=7
4
9
7
3
2
5
3
VII этап. Разноуровневая работа в группах.
Содержание деятельности
Класс делится на группы. Группа получает карточку с заданиями (см.
приложение ). Каждый член группы выполняет задание в своей тетради. На
проверку берется одна тетрадь из группы. Все члены группы получают
одинаковую оценку. Для того, чтобы учитель мог быстро осуществить
проверку в каждой карточке закодировано ключевое слово
1 уровень.
х2 7х 1 = 0
1) x1 +x2 = 7
2) x1 *x2 =1
3)
=7
+
1
х
1
1
х
2
4)
5)
=51
х
2
1
х
2
2
=7
2
хх
21
2
хх
1
2
Зашифровано слово: КАТЕТ
2 уровень.
х2 6х +2 = 0
1)
=3
+
1
х
1
1
х
2
2)
х
2
1
х
2
2
=32
3)
2
хх
21
2
хх
1
2
=12
7=16
4)
+
х
2
х
1
х
1
х
2
5)(x1 3)(x2 3)=7
Зашифровано слово: КОНУС
3 уровень
х2 7х +2 = 0
1)
ххх
2
х
1
21
= 49
2) (x1 +2)(x2 +2) = 20
3)
= 45
х
2
1
х
2
2
=22,5
4)
+
х
2
х
1
х
1
х
2
5)
х
3
1
х
3
2
= 301
Зашифровано слово: СФЕРА
Самое сложное задание из каждой группы проверяется у доски:
1)
2
хх
21
2
хх
1
2
2)(x1 3)(x2 3)
3)
х
3
1
х
3
2
VIII этап. Подведение итогов урока.
Итак, мы сегодня на уроке мы продолжили работу по закреплению и
систематизации знаний, умений, навыков решения квадратных уравнений
различными способами, получили новые знания и применили их.
IX этап. Домашнее задание.
1) Решить уравнения:
01
x
8
3 2
x
(
x
2
)2
(4
x
3)2
0
2) Составить квадратное уравнение, корни которого были бы обратны
соответствующим корням уравнения
.
4 2
x
13
x
0
7
8X этап. Рефлексия.
Какой момент на уроке показался вам самым сложным?
Какой момент на уроке показался вам самым интересным?
Как вам нравится больше работать: в группах или индивидуально?
Приложение
Карточки для дидактической игры
1 вариант.
Для каждого последующего уравнения значение коэффициента «а»
принимается равным большему корню предыдущего уравнения.
х 2 +3х 28 = 0
О х2 +16x+12=0
О х2 x+2=0
О х2 +3x4=0
О х2 4x12=0
Решение:
2 вариант.
Для каждого последующего уравнения значение коэффициента «а»
принимается равным большему корню предыдущего уравнения.
х 2 +4х 21 = 0
О х2 +6x9=0
О х2 +6x7=0
О х2 +10x+9=0
О х2 +7x10=0
Решение:
Карточки для групповой работы
1 уровень.
Пусть x1 и x2 – корни квадратного уравнения
х2 7х 1 = 0
Найдите:
1) x1 +x2
2) x1 *x2
3)
+
1
х
1
1
х
2
Указание: приведите дроби к общему знаменателю.
4)
х
2
1
х
2
2
9Указание: выделите полный квадрат
5)
2
хх
21
2
хх
1
2
Указание: вынесите общий множитель за скобки
Расшифруйте слово.
1
А
7
К
8
Р
51
Е
7
Т
47
Л
51 18
И
В
16
Ф
2 уровень.
Пусть x1 и x2 – корни квадратного уравнения
х2 6х +2 = 0
Найдите:
1)
+
1
х
1
1
х
2
2)
х
2
1
х
2
2
3)
2
хх
21
2
хх
1
2
Указание: вынесите общий множитель за скобки
4)
+
х
1
х
2
х
2
х
1
Указание: приведите дроби к общему знаменателю
5)(x1 3)(x2 3)
Указание: раскройте скобки
Расшифруйте слово.
7
С
40
В
32
О
12
Н
29
И
3
К
16
У
6
Л
16
Е
3 уровень.
Пусть x1 и x2 – корни квадратного уравнения
х2 7х +2 = 0
10Найдите:
1)
ххх
2
21
х
1
2) (x1 +2)(x2 +2)
Указание: раскройте скобки
3)
х
2
1
х
2
2
4)
+
х
2
х
1
х
1
х
2
5)
х
3
1
х
3
2
Указание: воспользуйтесь формулой
= (a+b)(a2 ab+ b2)
а
3
b
3
Расшифруйте слово.
45,
5
Н
49
С
17
30
1
А М Ф
20
22,
5
Р
32
О
2
И
45
Е
11
Решение квадратных уравнений.docx
