В данной разработке урока повторения содержится информация по решению уравнений двумя способами: способом разложения на множители и способом замены переменных, что способствует формированию умений решать уравнения различного типа высокого уровня сложности. Выполнение заданий, как устных, так и письменных, способствуют развитию логического мышления...
урок-повторение Методы решений уравнений 11 кл.doc
Урок повторения на 2 курсе по теме «Методы решения уравнений»
Разработка урока
Предмет: математика
Курс: 2
Тема: Методы решения уравнений
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний по теме «Методы
Цель урока: закрепление основных приёмов и методов решения
решения уравнений»
уравнений.
Задачи:
Образовательная:
1. Проверить и обобщить знания и умения учащихся по теме «Методы
решения уравнений»
2. Проверить умение выполнять арифметические действия с целыми и
дробными числами, проверить умение выполнять преобразование
тригонометрических выражений, выражений, содержащих модуль и
корни.
Развивающая:
1. Развивать логическое мышление.
2. Активизировать мыслительную деятельность, познавательную
активность.
3.Формировать навыки самоконтроля, адекватной самооценки и
саморегуляции собственной деятельности.
Воспитательная:
1. Воспитывать аккуратность, трудолюбие.
2. Развивать общую культуру личности.
3. Способствовать толерантному воспитанию учащихся.
Формы организации учебной деятельности: индивидуальная,
фронтальная, парная. Средства: компьютер, интерактивная доска, набор индивидуальных
карточек, презентация к уроку, наглядные пособия,
Ход урока:
I.
Организационный момент.
Сегодня мы поговорим об общих целях, общих методах, которые
пронизывают всю школьную линию уравнений с VII по XI класс. При
решении уравнений эти методы нужно постоянно держать в поле своего
внимания (вопрос о проверке корней следует рассмотреть отдельно, на
других уроках).
Мы рассмотрим два метода: метод разложения на множители и
метод введения новых переменных.
Метод разложения на множители
Суть этого метода заключается в следующем: пусть надо решить
xf
xf
1
xf
2
xf
3
и пусть
0xf
можно заменить совокупностью более простых
0xf
уравнение
Тогда уравнение
уравнений:
.0
.0
.0
xf
1
xf
2
xf
3
Найдя корни уравнений этой совокупности и отобрав из них те корни,
, мы
которые принадлежат области определения уравнения
получим корни исходного уравнения.
0xf
II.
Актуализация знаний учащихся
3
2
Решить уравнение:
1. 0
32
x
6
2
x
x
Решение.
x
2
3
xx
3
2
0
x
x
3
2
3 x
или
x
0
2
3x
Ответ: 3;
; 2
2
0
0
2
x
2,1
2
3 2
x
2.
x
Решение:
2
2
x
2
31
x
1
x
x
1
212
x
0
2
2
x
0
2
3
x
0
2
3 2
x
D=25
x
x
,1 2
1
1 ;
2 .
3
2
9
24
x
9
0
0
1x
2
или
4
2
4
4
x
Ответ: 1;
3.
16 2
x
Решение:
16 2
24
x
x
x
2
0
x
x
4
3
2
x
4
3
x
x
2
x
4
0
3
x
1 x
1
2 x
3
Ответ:
4.
7 3
x
Решение:
7 2
xx
x
0x
или
2
x
5
4
4
0
x
3
или
x
2
x
4
3
0
x
2
3
x
2
4
7
7
; 1; 3.
0
7
12
;
2
0
7
12
x
12
0
7 2
4
x
x
tt
2
x
0,
t
7
t
1 t
4
2 t
3
б)
12
2
2 x
3
0
x
4,3
3
3
2
x
; 0; 3 ; 2.
2
0
1
x
x
4
а)
2 x
x
2
2,1
Ответ: 2;
5.
32
Решение:
2 x
3
x
или
7x
2
x
x
2
01
1 2
x
0
1x
3
3
x
7
6
0
6
x
6
x
Ответ: 0; 1; 7.
6.
x
Решение:
x
6
x
0
x
12
xx
1
2
x
x
1
6
0
01 x
или
1x
Ответ: 3; 1; 2.
7.
x
Решение:
63
0
8
x
4
0
2
x
x
1
x
6
x
,3 2
0
2
О.Д.З.
2x
или
0x 2
2
4
2
2
2
2
4
2
2
4
2
x
x
9
0
1
x
4
D<0
0
Прибавим и отнимем
16x . Число 63 представим как 63=641.
x
16
x
16
0
63
x
8
x
2
2
x
16
8
64
1
0
x
x
x
16
2
x
16
64
1
0
x
8
x
16
x
2
x
1
0
x
4
8
x
48
1
x
x
48
или
2
x
0
7
4
x
D<0.
Ответ: нет действительных корней.
8.
13
Решение:
2
x
18
x
6
x
x
15
4
x
3
2
18
x
x
6
5
x
12
x
4
15
x
6 2
3
xx
5
xx
3
4
x
2
4
0
5
x
x
63
x
3x
или
6 2
x
5
x
4
D=121,
0
12
0
0
3
0
0
1
2
4
3
12
19
5
2
x
1
6
x
x
x
0
x
x
,
3
2
3
2
2
3
x
2 2
x
5
x
2
x
1
:
x
1
x
2
3
x
2
3
x
5
2
9.
2 2
x
Решение:
1x
корень уравнения
1
0
2
3
x
x
x
2
1x
или
2
x
x
3
x
1
2
0
17
3
2
,
17
3
2
3
,
2
2
cos
2
2
x
x
2
17
2
sin
17
1,
.
3
x
2
cos
4
x
2
x
8cos
2
2
1
0
x
x
6
4
1
cos
2
x
cos
2
3cos
cos
2
cos
6
x
8cos
x
x
2
x
cos
0
4
cos
3cos
x
0
x
x
0
x
cos
7
3cos
x
0
3
Ответ:
10.
x
Решение:
1
x
sin
2
2
1
cos
2
cos
2
cos
x
4
8cos
cos
x
x
6
x
7cos
cos
x
2
7
cos
x
2
cos
x
cos x
или
0
z
nn
,
x
2
5sin2
x
5sin x
0
,
5
x
kk
2sin
x
или
z
0
2sin x
0
,
2
x
kk
z x
,
kk
5
z
x
,
kk
2
z
z
4
x
sin
4
4
x
sin
3
4
4
x
cos
7
4
5
x
cos
2
5
x
sin
9
x
sin
5
2
x
x
9sin
x
cos
x
2
kk ,
Ответ:
5
kk ,
2
z
.
2
x
sin
cos
x
cos
11.
Решение:
3cos
x
x
x
cos
3cos
2
5sin
2
x
3cos
cos
x
3cos
0
9sin
x
5sin
x
0
cos
7
x
2sin2
x
cos x
2sin x
или
0
2
,
z
nn
7
x
x
7
x
x
nn
,
z
x
,
nn
z
2
n
,
14
2
Ответ:
2
7
12
7
2
2
x
Решение:
12.
x
9
x
2
x
0
2
7
14
nn
,
z
nn
,
z
2
0
9
3x
2
x
9
12
2
x
7
2
x
x
9
2
x
9
12
2
x
x
9
0
7
2
x
x
2
2
x
7
x
12
2
9
x
x
2
x
7
0
x
3
1
x
4
2
Ответ: 4 и 4.
12
9
x
7
12
2
x
или
0
2
7
x
x
3 x
3
4 x
4
0
12
13. Решить систему уравнений
x
x
xy
y
2
2
y
2
2
x
y
,7
.175
2
x
x
y
y
Решение:
,7
x
y
2
2
x
y
175
Пусть
x
1
x
2
y
2
2
y
2
Vu
xu
,
2
Vy
и учитывая, что
запишем исходную систему иначе:
,7
uV
2V
V
4
Отсюда
350
3
V
343
3
,7
V
7
и тогда
1u
Таким образом, исходная система равносильна системе
y
x
2y
x
,7
.1
Эта система распадается на две:
x
x
Ответ: (4;3); (3;4).
,7
y
.1
y
y
,7
.1
y
x
x
и
Метод введения новых переменных
Суть метода очень проста: если уравнение
, решить уравнение
0xf
0y
удалось
, то нужно ввести новую переменную
, а затем рассмотреть совокупность
0xf
yy
,
1
,
y
2
3
,......,
корни уравнения
0y
Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент
математической культуры. Новая переменная в уравнениях иногда
действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить
лишь в процессе какихлибо преобразований.
Бывает полезно так же ввести не одну, а две переменные.
xq
преобразовать к виду
y
уравнений:
y
xq
1
xq
y
2
..........
....
ny
xq
, где
4
2
2
4
x
6
x
5
01
Решить уравнение:
1.
x
5
Решение:
x
01
6
Ответ: нет корней.
2.
17 2
x
0
Решение:
tt
2
0,
x
t
,1 2
t
1
1)
2 x
1
x
1
2,1
17
t
16
16
x
t
2
4
2)
2 x
16
x
4
4,3
при
Rx
16
0 2
5
x
24
0
, тогда уравнение примет вид:
2
0
0
x
2
sin5
2
0
x
tt
,
1
2
посторонний корень
kk
,
z
6
x
2
kk
,
z
7
x
2
2
x
2
x
21
2
2
2
x
5
2
5
t
Ответ: 4;1;1;4.
3.
x
x
Решение::
Пусть
x
x
2
24
0
2
t
t
t
,4 2
6
t
1
4.
sin5
2
x
cos
Решение:
sin21
x
sin2
x
sin5
Пусть
x
sin
t
2 2
0
5
2
t
D=9,
t
2
2
1
2
x
,
t
,
1
2
1
2
6
k
1 1
1)
sin
x
k
1 1
x
2
x
2
tt
12
Ответ:
5.
x
Решение:
2
x
Пусть
t
25
t
tt
5
2
5 tt
6
t
2
0
36
t
,9 2
4
x
2
2
x
x
2
0
x
,1 2
t
t
1
1)
2
x
x
2
1
Ответ: 1 и 2.
5
4
0,
tt
x
2
2
t
5
, тогда уравнение примет вид:
t
t
5
2
t
17
17
9 – посторонний корень
Рассмотрим несколько уравнений, где применение метода введения
4
2
x
x
x
2
2
01
новых переменных не так очевидна.
6.
3
x
Решение:
Данное уравнение – симметричное, оно является уравнением четвертой
степени. Разделим обе части уравнения на
x
. Получим
2 x
0
x
2
1
2
2
x
2
x
0
1
2
x
1
01
x
2
x
1
2
x
1 2
x
x
Пусть
x
22
x
1
t
1
x
01
, тогда уравнение примет вид:
0x
2)
x
1
x
,01
x
1
x
0
2
x
D<0
x
0
3
2
t
t
,1 2
3
1
3
x
x
x
01
3
2
t
t
1
1)
2
x
D=5
3
x
2,1
5
2
3
2
2
2
2
,
y
x
2
x
x
x
6
5
6
5
x
5
6
6
5
3
5
x
2
xy
,
y
y
0
;3
x
5
y
2
2
0
Ответ:
7.
Решение:
Пусть
x
Уравнение примет вид:
Значит,
x
6
0
5
5
x
6
0
x
2
3
x
x
x
2; U
Ответ:
;3
2; U
8.
x
4
x
x
1
2
3
x
2
1
x
4
x
x
x
3
2
2
5
4
x
x
5
x
24
x
6
Пусть
, тогда уравнение примет вид:
2
5
4
t
x
x
t
2
t
0
2
24
t
,6 2
4
t
1
1)
x
2
4
5
x
x
2
x
5
10
D<0
2)
x
2
5
x
x
2
0
x
5
5 xx
0
0x
или
5x
24
24
0
6
4
4
24
x
:
2 x
0
3
x
8
x
12
24
x
x
2
x
x
8
3
11
24
x
x
24
x
11
4
4
x
2
Ответ: 5;0
9.
x
Решение:
x
12
24
x
x
x
2
2
14
x
24
x
14
x
24
x
11
2
x
Пусть
t
2
t
3 t
4
t
0
4
x
t
, тогда уравнение примет вид:
1
t
1
1)
2
x
t
,4 2
24
x
x
15
x
x
2,1
0
129
15
24
2
15
11
,4
x
0
2)
x
11
24
x
x
24
1
,0
x
0
2
x
10
x
1
x
,6 2
4
, тогда уравнение примет вид:
1)
x
1
1
x
.
2
x
1
x
x
0
2)
x
x
5.2
01
2
1
x
x
5.2
0
x
2
6
y
4
y
1
16
:
2 x
0
4
2
2
4
4
2
x
6
y
4
16
129
4;6;
2
8
16
1
16
4
3
y
y
4
Ответ:
10.
x
Решение:
7
y
x
4
y
1
16
1
y
22
22
y
1
1
y
2
2
y
y
2
y
2
1
y
4
3
2
y
4
y
6
4
y
y
1
4
2
2
12
y
2
16
y
6 2
y
0
7
aa
y
,
0
a
2
7
a
6
a
посторонний корень
7
1
2 a
1
1)
2 y
1
1y
x
7
1
6x
Ответ: 6; 8.
11. Решить уравнение
2
0
2
0
9
9
7
8x
x
или
1
7
2
7
0
x
x
x
x
2
4
7
x
2
2
x
1
x
9
0
3
7
2
x
7
x
x
1
1
2
x
x
7
2
y
y
y
y
2
2
2
x
1
2
2
x
Пусть
x
2
x
2
2
x
2 2
y
1
2
x
2
0
9
2 2
y
7
y
0
5 x
x
2
x
01
0
x
1
x
x
,5.0
,2
2
.0
40
a
2
b
2
9x
D=9
1 y
5.2
2
2 y
1
Ответ: 0,5; 2.
2
2
x
12.
81
x
x
9
Решение:
9
x
9
2
2
x
x
x
2
x
x
9
x
9
2
x
2
x
9
18
9
2
x
x
0
9
40
20
t
2
18
t
t
1
2 t
2
2
x
1)
x
x
2
x
D=76
9
2
18
x
9
2
x
40
0
2
40
2
81
x
x
9
2
18
x
9
2
x
x
x
40
0
Пусть
t
, тогда уравнение примет вид:
2
18
,0
x
9
x
2,1
19
22
2
1
19
2)
2
x
x
20
x
9
20
1
2
2
2
2
3
x
x
x
9
7
,0
1
2
13
x 1
b
x
180
D=400720<0
Ответ:
1
19
13.
1
x
x
Решение:
Пусть
2 , тогда уравнение примет вид:
a
x
x
1
7
b
a
2
ab
13
2
a
a
ab
2
ab
2
a
2
baa
2
aba
2
2
2
2
2
13
ab
(разложим на множители)
2
b
7
0
14
ab
b
7
0
2
ab
14
7
b
0
27
bab
0
b
7
0
2 a
7
b
a
b
2
или
x
2
x
x
1
1
2
x
x
01
2
2
x
3
01
1)
2 2
x
2 2
x
D=1
x
1
2 x
Ответ: 1; 0,5; 2; 4.
1
5.0
1
0
2
x
71
x
x
7
x
71
0
2)
2
2
x
x
6
x
x
8
1 x
2
2 x
4
Можно решить иначе: разделить обе части уравнения на
Получим:
72
0
13
1
x
x
1
2
2
1
x
x
1
x
2
x
1 2
0
2
x
y
, тогда уравнение примет вид:
x
x
1
x
1
0
2
Пусть
2
x
y
13
2
7 2
y
y
1
1
2 y
7
и т.д. (дальнейшее очевидно)
14.
2
x
3
x
3
1
x
22
x
2
5
x
3
16
x
x
2
,3
,1
2
x
5
1x
x
.03
3
x
1
2
2
x
5
x
3
Решение:
Заметим, что
2
x
Пусть
3
a
x
2
1
b
x
Тогда
x
a
2
x
2
1 b
3
ba
x
x
3
ba
3
и
2
ab
16
2
16
2
ab
, но
2
2
2
2
2
2
2
x
x
4
x
2
3
b
b
b
b
2
31
a
3
4
x
a
4
3
20
x
a
20
3
16
x
x
a
3
4
2
2
ba
b
a
20
ba
a
b
20
ba
20
ba
20
ba
ba
t
2
t
20
0
t
,4 2
5
t
1
2
2
2
2
2
2
20
ab
ab
0
,
ba
,t 5 ba
25
1
x
x
2
2
9
9
x
x
4 ba
3
2
x
x
1
4
Уравнение не имеет корней
1
3
2
x
x
5
x
3
x
2
3
x
221
x
x
x
x
22
21
1
3
3
23
24
x
x
x
21
1
3
2
24
5
3
126
441
x
x
2
8
20
441
12
x
x
126
2
146
0
x
429
x
D/4=
732
4900
429
x
,143 2
3
x
1
Ответ: 3; 143.
15.
Решение:
a
29
,
2
2
b
7
b
x
ab
29
1
1
a
x
x
x
3
3
3
2
3
2
7
3
29
xx
1
. Тогда уравнение примет вид:
3
3
a
x
29
3
a
29
29
3
a
b
3
,
bx
3
xa
,
3
b
28
1
1
x
3
b
1
2
2
2
2
3
3
2
b
7
28
,7
Итак, исходное равенство будет верным, если выполняется система
ab
b
a
a
;28
b
aba
ab
4
ba
2
a
ab
b
4
1)
b
a
2)
2
b
8
b
16
3 2
12
b
9
b
b
2
b
4
3
0
D=4
b
1
Если
Если
1)
2)
,3
Ответ: 2; 28.
b
1
a
4
1
a
314
2
;
x
28
x
29
27
2
3
b
1
,3 2
1 b
, то
3
2 b
, то
1
,1
x
x
29
x
3
293
,11
и
4
bb
4
bb
2
x
b
0
28
,3
7
1
x
x
2
2
2
3
Решение иррациональных уравнений также можно упростить с
помощью удачно выбранной тригонометрической подстановки, т.е. 2
3
x
1
4
переменные уравнения заменяются на значения какихлибо
тригонометрических функций.
16.
x
Решение:
Пусть
x
1
sin 2
Замена возможна,
Тогда
0,
3
т.к.
.
1x
cos
3
3
x
.
cos
4
cos
cos
3
3cos
sin
cos
2
2
sin
2;0
0
3cos
0
4
0
4
0
sin
2
2
nn
,
z
2
cos
sin
Значит,
3cos
sin2
4
4
4
sin
1)
2
4
2
8
n
n
Тогда корни:
8
;
5
8
nn
,
z
2)
4
4
3
4
nn
,
z
;0
cos
8
1
cos
2
4
1
2
2
2
2
2
2
Откуда имеем:
cos
3
4
1
2
5
4
1
cos
2
2
2
;
,
1
2
5
6
1
y
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
;
(1)
35
216
.
cos
5
8
Ответ:
1
x
1
3
x
17.
1
3
y
Решение:
1
Полагая
x
1
y
u
,
V
, преобразуем систему (1) к виду ,
Vu
5
6
3 V
u
3
(2)
35
216
;
5
6
,
Vu
VuVu
Vu
,
5
6
2
3
uV
35
216
;
u
;
V
uV
1
6
5
6
2u
6
1)
6 2
u
1
u
u
1
2
1
3
V
1
,
V
Значит,
2
2
54
01
u
5
01
1
, тогда
,
3
1
2
1
2
1
3
,
1
x
1
y
1
3
1
2
И
1
x
1
y
,
,3
2
x
y
,2
3
x
y
Ответ: (2;3), (3;2).
Задания для самостоятельной работы. Домашнее задание
Решить уравнение: 17
x
11
1
3
5
1
1
12
x
1
2
x
5
4
2
x
x
3
2
x
x
x
x
4
2
2
2
8
108
0
1.
7
x
2.
3.
2
2
x
x
3
3
12
4
x
x
x
2
x
x
4
1
x
2
4.
1
x
x
3
5.
1
x
x
6.
2
x
xx
5
2
x
9
3
x
7.
2
2
0
0
x
3
0
12
7
2
11
x
x
3
12
x
x
2
3
x
5
6
2
96
1
5
x
1
3
x
x
x
1
3
x
1
x
10
x
x
2
2
2
3
x
6
10
2
x
x
2
4
x
6
x
20
1
9
9
3
x
6
x
4
3
2
1
1
2
2
x
x
x
9
2
2
2
x
x
x
4
1
x
2
8
6
3
2
3
2
10
x
x
5
x
4
5
x
2
5
x
2
1
x
x
x
x
x
7
x
8.
9.
xx
4
x
10.
12
2
x
11.
2
x
12.
13.
14.
x
2
x
15.
x
x
x
16.
x
17.
3
6
x
x
x
5
6
2
7
3
2
x
24
x
2
0
III. Итог урока
За два часа работы учащиеся углубили свои знания и умения по
решению уравнений двумя способами: способом разложения на
множители и способом замены переменных, что способствует
формированию умений решать уравнения различного типа высокого
уровня сложности.
Предложенные задания как устные,
так и письменные
способствовали развитию логического мышления и познавательной
деятельности.
Выполнение заданий формировали ответственность, глубину мысли,
самостоятельность, аккуратность, требовательность в работе.
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
19.11.2017
Посмотрите также:
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
О портале
