В данной разработке урока повторения содержится информация по решению уравнений двумя способами: способом разложения на множители и способом замены переменных, что способствует формированию умений решать уравнения различного типа высокого уровня сложности. Выполнение заданий, как устных, так и письменных, способствуют развитию логического мышления...
Урок повторения на 2 курсе по теме «Методы решения уравнений»
Разработка урока
Предмет: математика
Курс: 2
Тема: Методы решения уравнений
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний по теме «Методы
Цель урока: закрепление основных приёмов и методов решения
решения уравнений»
уравнений.
Задачи:
Образовательная:
1. Проверить и обобщить знания и умения учащихся по теме «Методы
решения уравнений»
2. Проверить умение выполнять арифметические действия с целыми и
дробными числами, проверить умение выполнять преобразование
тригонометрических выражений, выражений, содержащих модуль и
корни.
Развивающая:
1. Развивать логическое мышление.
2. Активизировать мыслительную деятельность, познавательную
активность.
3.Формировать навыки самоконтроля, адекватной самооценки и
саморегуляции собственной деятельности.
Воспитательная:
1. Воспитывать аккуратность, трудолюбие.
2. Развивать общую культуру личности.
3. Способствовать толерантному воспитанию учащихся.
Формы организации учебной деятельности: индивидуальная,
фронтальная, парная. Средства: компьютер, интерактивная доска, набор индивидуальных
карточек, презентация к уроку, наглядные пособия,
Ход урока:
I.
Организационный момент.
Сегодня мы поговорим об общих целях, общих методах, которые
пронизывают всю школьную линию уравнений с VII по XI класс. При
решении уравнений эти методы нужно постоянно держать в поле своего
внимания (вопрос о проверке корней следует рассмотреть отдельно, на
других уроках).
Мы рассмотрим два метода: метод разложения на множители и
метод введения новых переменных.
Метод разложения на множители
Суть этого метода заключается в следующем: пусть надо решить
xf
xf
1
xf
2
xf
3
и пусть
0xf
можно заменить совокупностью более простых
0xf
уравнение
Тогда уравнение
уравнений:
.0
.0
.0
xf
1
xf
2
xf
3
Найдя корни уравнений этой совокупности и отобрав из них те корни,
, мы
которые принадлежат области определения уравнения
получим корни исходного уравнения.
0xf
II.
Актуализация знаний учащихся
3
2
Решить уравнение:
1. 0
32
x
6
2
x
x
Решение.
x
2
3
xx
3
2
0
x
x
3
2
3 x
или
x
0
2
3x
Ответ: 3;
; 2
2
0
0
2
x
2,1
2
3 2
x
2.
x
Решение:
2
2
x
2
31
x
1
x
x
1
212
x
0
2
2
x
0
2
3
x
0
2
3 2
x
D=25
x
x
,1 2
1
1 ;
2 .
3
2
9
24
x
9
0
0
1x
2
или
4
2
4
4
x
Ответ: 1;
3.
16 2
x
Решение:
16 2
24
x
x
x
2
0
x
x
4
3
2
x
4
3
x
x
2
x
4
0
3
x
1 x
1
2 x
3
Ответ:
4.
7 3
x
Решение:
7 2
xx
x
0x
или
2
x
5
4
4
0
x
3
или
x
2
x
4
3
0
x
2
3
x
2
4
7
7
; 1; 3.
0
7
12
;
2
0
7
12
x
12
0
7 2
4
x
x
tt
2
x
0,
t
7
t
1 t
4
2 t
3
б)
12
2
2 x
3
0
x
4,3
3
3
2
x
; 0; 3 ; 2.
2
0
1
x
x
4
а)
2 x
x
2
2,1
Ответ: 2;
5.
32
Решение:
2 x
3
x
или
7x
2
x
x
2
01
1 2
x
0
1x
3
3
x
7
6
0
6
x
6
x
Ответ: 0; 1; 7.
6.
x
Решение:
x
6
x
0
x
12
xx
1
2
x
x
1
6
0
01 x
или
1x
Ответ: 3; 1; 2.
7.
x
Решение:
63
0
8
x
4
0
2
x
x
1
x
6
x
,3 2
0
2
О.Д.З.
2x
или
0x2
2
4
2
2
2
2
4
2
2
4
2
x
x
9
0
1
x
4
D<0
0
Прибавим и отнимем
16x . Число 63 представим как 63=641.
x
16
x
16
0
63
x
8
x
2
2
x
16
8
64
1
0
x
x
x
16
2
x
16
64
1
0
x
8
x
16
x
2
x
1
0
x
4
8
x
48
1
x
x
48
или
2
x
0
7
4
x
D<0.
Ответ: нет действительных корней.
8.
13
Решение:
2
x
18
x
6
x
x
15
4
x
3
2
18
x
x
6
5
x
12
x
4
15
x
6 2
3
xx
5
xx
3
4
x
2
4
0
5
x
x
63
x
3x
или
6 2
x
5
x
4
D=121,
0
12
0
0
3
0
0
1
2
4
3
12
19
5
2
x
1
6
x
x
x
0
x
x
,
3
2
3
2
2
3
x
2 2
x
5
x
2
x
1
:
x
1
x
2
3
x
2
3
x
5
2
9.
2 2
x
Решение:
1x
корень уравнения
1
0
2
3
x
x
x
2
1x
или
2
x
x
3
x
1
2
0
17
3
2
,
17
3
2
3
,
2
2
cos
2
2
x
x
2
17
2
sin
17
1,
.
3
x
2
cos
4
x
2
x
8cos
2
2
1
0
x
x
6
4
1
cos
2
x
cos
2
3cos
cos
2
cos
6
x
8cos
x
x
2
x
cos
0
4
cos
3cos
x
0
x
x
0
x
cos
7
3cos
x
0
3
Ответ:
10.
x
Решение:
1
x
sin
2
2
1
cos
2
cos
2
cos
x
4
8cos
cos
x
x
6
x
7cos
cos
x
2
7
cos
x
2
cos
x
cos x
или
0
z
nn
,
x
2
5sin2
x
5sin x
0
,
5
x
kk
2sin
x
или
z
0
2sin x
0
,
2
x
kk
zx
,
kk
5
z
x
,
kk
2
z
z
4
x
sin
4
4
x
sin
3
4
4
x
cos
7
4
5
x
cos
2
5
x
sin
9
x
sin
5
2
x
x
9sin
x
cos
x
2
kk ,
Ответ:
5
kk ,
2
z
.
2
x
sin
cos
x
cos
11.
Решение:
3cos
x
x
x
cos
3cos
2
5sin
2
x
3cos
cos
x
3cos
0
9sin
x
5sin
x
0
cos
7
x
2sin2
x
cos x
2sin x
или
0
2
,
z
nn
7
x
x
7
x
x
nn
,
z
x
,
nn
z
2
n
,
14
2
Ответ:
2
7
12
7
2
2
x
Решение:
12.
x
9
x
2
x
0
2
7
14
nn
,
z
nn
,
z
2
0
9
3x
2
x
9
12
2
x
7
2
x
x
9
2
x
9
12
2
x
x
9
0
7
2
x
x
2
2
x
7
x
12
2
9
x
x
2
x
7
0
x
3
1
x
4
2
Ответ: 4 и 4.
12
9
x
7
12
2
x
или
0
2
7
x
x
3 x
3
4 x
4
0
12
13. Решить систему уравнений
x
x
xy
y
2
2
y
2
2
x
y
,7
.175
2
x
x
y
y
Решение:
,7
x
y
2
2
x
y
175
Пусть
x
1
x
2
y
2
2
y
2
Vu
xu
,
2
Vy
и учитывая, что
запишем исходную систему иначе:
,7
uV
2V
V
4
Отсюда
350
3
V
343
3
,7
V
7
и тогда
1u
Таким образом, исходная система равносильна системе
y
x
2y
x
,7
.1
Эта система распадается на две:
x
x
Ответ: (4;3); (3;4).
,7
y
.1
y
y
,7
.1
y
x
x
и
Метод введения новых переменных
Суть метода очень проста: если уравнение
, решить уравнение
0xf
0y
удалось
, то нужно ввести новую переменную
, а затем рассмотреть совокупность
0xf
yy
,
1
,
y
2
3
,......,
корни уравнения
0y
Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент
математической культуры. Новая переменная в уравнениях иногда
действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить
лишь в процессе какихлибо преобразований.
Бывает полезно так же ввести не одну, а две переменные.
xq
преобразовать к виду
y
уравнений:
y
xq
1
xq
y
2
..........
....
ny
xq
, где
4
2
2
4
x
6
x
5
01
Решить уравнение:
1.
x
5
Решение:
x
01
6
Ответ: нет корней.
2.
17 2
x
0
Решение:
tt
2
0,
x
t
,1 2
t
1
1)
2 x
1
x
1
2,1
17
t
16
16
x
t
2
4
2)
2 x
16
x
4
4,3
при
Rx
16
02
5
x
24
0
, тогда уравнение примет вид:
2
0
0
x
2
sin5
2
0
x
tt
,
1
2
посторонний корень
kk
,
z
6
x
2
kk
,
z
7
x
2
2
x
2
x
21
2
2
2
x
5
2
5
t
Ответ: 4;1;1;4.
3.
x
x
Решение::
Пусть
x
x
2
24
0
2
t
t
t
,4 2
6
t
1
4.
sin5
2
x
cos
Решение:
sin21
x
sin2
x
sin5
Пусть
x
sin
t
2 2
0
5
2
t
D=9,
t
2
2
1
2
x
,
t
,
1
2
1
2
6
k
1 1
1)
sin
x
k
1 1
x
2
x
2
tt
12
Ответ:
5.
x
Решение:
2
x
Пусть
t
25
t
tt
5
2
5 tt
6
t
2
0
36
t
,9 2
4
x
2
2
x
x
2
0
x
,1 2
t
t
1
1)
2
x
x
2
1
Ответ: 1 и 2.
5
4
0,
tt
x
2
2
t
5
, тогда уравнение примет вид:
t
t
5
2
t
17
17
9 – посторонний корень
Рассмотрим несколько уравнений, где применение метода введения
4
2
x
x
x
2
2
01
новых переменных не так очевидна.
6.
3
x
Решение:
Данное уравнение – симметричное, оно является уравнением четвертой
степени. Разделим обе части уравнения на
x
. Получим
2 x
0
x
2
1
2
2
x
2
x
0
1
2
x
1
01
x
2
x
1
2
x
1 2
x
x
Пусть
x
22
x
1
t
1
x
01
, тогда уравнение примет вид:
0x
2)
x
1
x
,01
x
1
x
0
2
x
D<0
x
0
3
2
t
t
,1 2
3
1
3
x
x
x
01
3
2
t
t
1
1)
2
x
D=5
3
x
2,1
5
2
3
2
2
2
2
,
y
x
2
x
x
x
6
5
6
5
x
5
6
6
5
3
5
x
2
xy
,
y
y
0
;3
x
5
y
2
2
0
Ответ:
7.
Решение:
Пусть
x
Уравнение примет вид:
Значит,
x
6
0
5
5
x
6
0
x
2
3
x
x
x
2; U
Ответ:
;3
2; U
8.
x
4
x
x
1
2
3
x
2
1
x
4
x
x
x
3
2
2
5
4
x
x
5
x
24
x
6
Пусть
, тогда уравнение примет вид:
2
5
4
t
x
x
t
2
t
0
2
24
t
,6 2
4
t
1
1)
x
2
4
5
x
x
2
x
5
10
D<0
2)
x
2
5
x
x
2
0
x
5
5 xx
0
0x
или
5x
24
24
0
6
4
4
24
x
:
2 x
0
3
x
8
x
12
24
x
x
2
x
x
8
3
11
24
x
x
24
x
11
4
4
x
2
Ответ: 5;0
9.
x
Решение:
x
12
24
x
x
x
2
2
14
x
24
x
14
x
24
x
11
2
x
Пусть
t
2
t
3 t
4
t
0
4
x
t
, тогда уравнение примет вид:
1
t
1
1)
2
x
t
,4 2
24
x
x
15
x
x
2,1
0
129
15
24
2
15
11
,4
x
0
2)
x
11
24
x
x
24
1
,0
x
0
2
x
10
x
1
x
,6 2
4
, тогда уравнение примет вид:
1)
x
1
1
x
.
2
x
1
x
x
0
2)
x
x
5.2
01
2
1
x
x
5.2
0
x
2
6
y
4
y
1
16
:
2 x
0
4
2
2
4
4
2
x
6
y
4
16
129
4;6;
2
8
16
1
16
4
3
y
y
4
Ответ:
10.
x
Решение:
7
y
x
4
y
1
16
1
y
22
22
y
1
1
y
2
2
y
y
2
y
2
1
y
4
3
2
y
4
y
6
4
y
y
1
4
2
2
12
y
2
16
y
6 2
y
0
7
aa
y
,
0
a
2
7
a
6
a
посторонний корень
7
1
2 a
1
1)
2 y
1
1y
x
7
1
6x
Ответ: 6; 8.
11. Решить уравнение
2
0
2
0
9
9
7
8x
x
или
1
7
2
7
0
x
x
x
x
2
4
7
x
2
2
x
1
x
9
0
3
7
2
x
7
x
x
1
1
2
x
x
7
2
y
y
y
y
2
2
2
x
1
2
2
x
Пусть
x
2
x
2
2
x
2 2
y
1
2
x
2
0
9
2 2
y
7
y
0
5x
x
2
x
01
0
x
1
x
x
,5.0
,2
2
.0
40
a
2
b
2
9x
D=9
1 y
5.2
2
2 y
1
Ответ: 0,5; 2.
2
2
x
12.
81
x
x
9
Решение:
9
x
9
2
2
x
x
x
2
x
x
9
x
9
2
x
2
x
9
18
9
2
x
x
0
9
40
20
t
2
18
t
t
1
2 t
2
2
x
1)
x
x
2
x
D=76
9
2
18
x
9
2
x
40
0
2
40
2
81
x
x
9
2
18
x
9
2
x
x
x
40
0
Пусть
t
, тогда уравнение примет вид:
2
18
,0
x
9
x
2,1
19
22
2
1
19
2)
2
x
x
20
x
9
20
1
2
2
2
2
3
x
x
x
9
7
,0
1
2
13
x 1
b
x
180
D=400720<0
Ответ:
1
19
13.
1
x
x
Решение:
Пусть
2 , тогда уравнение примет вид:
a
x
x
1
7
b
a
2
ab
13
2
a
a
ab
2
ab
2
a
2
baa
2
aba
2
2
2
2
2
13
ab
(разложим на множители)
2
b
7
0
14
ab
b
7
0
2
ab
14
7
b
0
27
bab
0
b
7
0
2a
7
b
a
b
2
или
x
2
x
x
1
1
2
x
x
01
2
2
x
3
01
1)
2 2
x
2 2
x
D=1
x
1
2 x
Ответ: 1; 0,5; 2; 4.
1
5.0
1
0
2
x
71
x
x
7
x
71
0
2)
2
2
x
x
6
x
x
8
1 x
2
2 x
4
Можно решить иначе: разделить обе части уравнения на
Получим:
72
0
13
1
x
x
1
2
2
1
x
x
1
x
2
x
1 2
0
2
x
y
, тогда уравнение примет вид:
x
x
1
x
1
0
2
Пусть
2
x
y
13
2
7 2
y
y
1
1
2 y
7
и т.д. (дальнейшее очевидно)
14.
2
x
3
x
3
1
x
22
x
2
5
x
3
16
x
x
2
,3
,1
2
x
5
1x
x
.03
3
x
1
2
2
x
5
x
3
Решение:
Заметим, что
2
x
Пусть
3
a
x
2
1
b
x
Тогда
x
a
2
x
2
1 b
3
ba
x
x
3
ba
3
и
2
ab
16
2
16
2
ab
, но
2
2
2
2
2
2
2
x
x
4
x
2
3
b
b
b
b
2
31
a
3
4
x
a
4
3
20
x
a
20
3
16
x
x
a
3
4
2
2
ba
b
a
20
ba
a
b
20
ba
20
ba
20
ba
ba
t
2
t
20
0
t
,4 2
5
t
1
2
2
2
2
2
2
20
ab
ab
0
,
ba
,t5 ba
25
1
x
x
2
2
9
9
x
x
4 ba
3
2
x
x
1
4
Уравнение не имеет корней
1
3
2
x
x
5
x
3
x
2
3
x
221
x
x
x
x
22
21
1
3
3
23
24
x
x
x
21
1
3
2
24
5
3
126
441
x
x
2
8
20
441
12
x
x
126
2
146
0
x
429
x
D/4=
732
4900
429
x
,143 2
3
x
1
Ответ: 3; 143.
15.
Решение:
a
29
,
2
2
b
7
b
x
ab
29
1
1
a
x
x
x
3
3
3
2
3
2
7
3
29
xx
1
. Тогда уравнение примет вид:
3
3
a
x
29
3
a
29
29
3
a
b
3
,
bx
3
xa
,
3
b
28
1
1
x
3
b
1
2
2
2
2
3
3
2
b
7
28
,7
Итак, исходное равенство будет верным, если выполняется система
ab
b
a
a
;28
b
aba
ab
4
ba
2
a
ab
b
4
1)
b
a
2)
2
b
8
b
16
3 2
12
b
9
b
b
2
b
4
3
0
D=4
b
1
Если
Если
1)
2)
,3
Ответ: 2; 28.
b
1
a
4
1
a
314
2
;
x
28
x
29
27
2
3
b
1
,3 2
1 b
, то
3
2 b
, то
1
,1
x
x
29
x
3
293
,11
и
4
bb
4
bb
2
x
b
0
28
,3
7
1
x
x
2
2
2
3
Решение иррациональных уравнений также можно упростить с
помощью удачно выбранной тригонометрической подстановки, т.е.2
3
x
1
4
переменные уравнения заменяются на значения какихлибо
тригонометрических функций.
16.
x
Решение:
Пусть
x
1
sin 2
Замена возможна,
Тогда
0,
3
т.к.
.
1x
cos
3
3
x
.
cos
4
cos
cos
3
3cos
sin
cos
2
2
sin
2;0
0
3cos
0
4
0
4
0
sin
2
2
nn
,
z
2
cos
sin
Значит,
3cos
sin2
4
4
4
sin
1)
2
4
2
8
n
n
Тогда корни:
8
;
5
8
nn
,
z
2)
4
4
3
4
nn
,
z
;0
cos
8
1
cos
2
4
1
2
2
2
2
2
2
Откуда имеем:
cos
3
4
1
2
5
4
1
cos
2
2
2
;
,
1
2
5
6
1
y
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
;
(1)
35
216
.
cos
5
8
Ответ:
1
x
1
3
x
17.
1
3
y
Решение:
1
Полагая
x
1
y
u
,
V
, преобразуем систему (1) к виду,
Vu
5
6
3 V
u
3
(2)
35
216
;
5
6
,
Vu
VuVu
Vu
,
5
6
2
3
uV
35
216
;
u
;
V
uV
1
6
5
6
2u
6
1)
6 2
u
1
u
u
1
2
1
3
V
1
,
V
Значит,
2
2
54
01
u
5
01
1
, тогда
,
3
1
2
1
2
1
3
,
1
x
1
y
1
3
1
2
И
1
x
1
y
,
,3
2
x
y
,2
3
x
y
Ответ: (2;3), (3;2).
Задания для самостоятельной работы. Домашнее задание
Решить уравнение:17
x
11
1
3
5
1
1
12
x
1
2
x
5
4
2
x
x
3
2
x
x
x
x
4
2
2
2
8
108
0
1.
7
x
2.
3.
2
2
x
x
3
3
12
4
x
x
x
2
x
x
4
1
x
2
4.
1
x
x
3
5.
1
x
x
6.
2
x
xx
5
2
x
9
3
x
7.
2
2
0
0
x
3
0
12
7
2
11
x
x
3
12
x
x
2
3
x
5
6
2
96
1
5
x
1
3
x
x
x
1
3
x
1
x
10
x
x
2
2
2
3
x
6
10
2
x
x
2
4
x
6
x
20
1
9
9
3
x
6
x
4
3
2
1
1
2
2
x
x
x
9
2
2
2
x
x
x
4
1
x
2
8
6
3
2
3
2
10
x
x
5
x
4
5
x
2
5
x
2
1
x
x
x
x
x
7
x
8.
9.
xx
4
x
10.
12
2
x
11.
2
x
12.
13.
14.
x
2
x
15.
x
x
x
16.
x
17.
3
6
x
x
x
5
6
2
7
3
2
x
24
x
2
0
III. Итог урока
За два часа работы учащиеся углубили свои знания и умения по
решению уравнений двумя способами: способом разложения на
множители и способом замены переменных, что способствует
формированию умений решать уравнения различного типа высокого
уровня сложности.
Предложенные задания как устные,
так и письменные
способствовали развитию логического мышления и познавательной
деятельности.
Выполнение заданий формировали ответственность, глубину мысли,
самостоятельность, аккуратность, требовательность в работе.
урок-повторение Методы решений уравнений 11 кл.doc
