Разработка урока повторения по теме "Методы решения уравнений" (2 курс)

  • Разработки уроков
  • doc
  • 19.11.2017
Публикация в СМИ для учителей

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

В данной разработке урока повторения содержится информация по решению уравнений двумя способами: способом разложения на множители и способом замены переменных, что способствует формированию умений решать уравнения различного типа высокого уровня сложности. Выполнение заданий, как устных, так и письменных, способствуют развитию логического мышления...
Иконка файла материала урок-повторение Методы решений уравнений 11 кл.doc
Урок повторения на 2 курсе по теме «Методы решения уравнений»                                        Разработка урока  Предмет: математика  Курс: 2  Тема: Методы решения уравнений   Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний по теме «Методы  Цель   урока:   закрепление   основных   приёмов   и   методов   решения решения уравнений»  уравнений.   Задачи:  Образовательная:   1. Проверить и обобщить знания и умения учащихся по теме «Методы решения уравнений»   2. Проверить  умение выполнять арифметические действия с целыми и дробными   числами,   проверить   умение   выполнять   преобразование тригонометрических   выражений,   выражений,   содержащих   модуль   и корни.  Развивающая: 1. Развивать логическое мышление.    2.   Активизировать   мыслительную   деятельность,   познавательную активность.  3.Формировать   навыки   самоконтроля,   адекватной   самооценки   и саморегуляции  собственной деятельности.   Воспитательная:  1. Воспитывать аккуратность, трудолюбие.   2. Развивать общую  культуру личности.  3. Способствовать толерантному воспитанию учащихся.     Формы   организации   учебной   деятельности:   индивидуальная, фронтальная, парная. Средства: компьютер,   интерактивная доска, набор индивидуальных  карточек, презентация к уроку, наглядные пособия,                                          Ход урока: I. Организационный момент. Сегодня   мы   поговорим   об   общих   целях,   общих   методах,   которые пронизывают   всю   школьную  линию   уравнений  с  VII  по  XI  класс.  При решении уравнений эти методы нужно постоянно держать в поле своего внимания (вопрос о проверке корней следует рассмотреть отдельно, на других уроках). Мы   рассмотрим   два   метода:   метод   разложения   на   множители   и метод введения новых переменных. Метод разложения на множители Суть   этого   метода   заключается   в   следующем:   пусть   надо   решить  xf    xf 1    xf 2   xf  3     и пусть   0xf    можно заменить совокупностью более простых   0xf уравнение  Тогда уравнение   уравнений:  .0  .0   .0       xf 1   xf 2   xf 3 Найдя корни уравнений этой совокупности и отобрав из них те корни, ,   мы которые   принадлежат   области   определения   уравнения   получим корни исходного уравнения.  0xf  II. Актуализация знаний учащихся 3 2 Решить уравнение: 1.  0    32 x 6 2 x x Решение.      x 2 3 xx 3       2 0 x x 3 2 3 x  или  x 0 2 3x Ответ: ­3;   ;  2 2 0  0 2 x 2,1 2  3 2 x 2.   x Решение:  2 2 x 2  31 x   1   x x   1   212   x  0 2   2 x 0 2 3  x 0 2 3 2 x D=25  x x ,1 2 1 1 ;  2 . 3 2   9 24 x   9 0 0 1x 2  или  4 2 4 4  x     Ответ: ­1;  3.  16 2 x Решение:   16 2 24 x x x   2   0 x x 4 3      2 x 4 3 x x  2 x 4 0 3 x 1 x 1 2 x 3 Ответ:   4.   7 3 x Решение:   7 2 xx x 0x или 2   x 5 4 4   0 x 3 или x 2  x 4 3  0 x  2 3 x 2 4 7 7 ; 1; 3.  0 7 12 ;  2   0 7 12 x   12 0  7 2 4 x x  tt 2 x 0,   t 7 t 1 t 4 2 t 3 б)  12 2 2 x 3       0 x 4,3 3 3 2 x ; 0;  3 ; 2.   2 0  1 x x 4 а)  2 x x       2 2,1 Ответ: ­2;    5.   32 Решение: 2 x 3 x   или 7x 2 x   x 2 01   1 2  x 0 1x 3 3  x 7 6 0 6 x  6 x Ответ: 0; 1; 7. 6.   x Решение:   x 6 x 0 x       12 xx 1      2 x x 1 6 0 01 x   или 1x Ответ: ­3; 1; 2. 7.   x Решение: 63 0 8 x  4 0 2 x x 1  x 6  x ,3 2 0  2 О.Д.З.  2x  или 0x2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 x x 9 0  1  x 4  D<0   0 Прибавим и отнимем  16x . Число 63 представим как 63=64­1.     x 16 x 16 0 63 x 8 x        2 2 x 16 8 64 1 0 x x x 16          2 x 16 64 1 0 x 8 x 16 x     2    x 1 0 x 4 8     x 48 1 x x 48   или   2 x 0 7 4 x D<0. Ответ: нет действительных корней. 8.  13 Решение:     2 x 18 x 6 x x 15 4 x           3 2 18 x x 6 5 x 12 x 4 15 x         6 2 3 xx 5 xx 3 4 x       2 4 0 5 x x 63 x 3x   или   6 2 x 5 x 4  D=121,    0  12 0  0  3  0 0 1 2 4 3 12 19 5 2  x 1  6 x x x 0 x x   , 3 2 3 2 2  3 x  2 2 x  5 x  2 x  1  :  x  1  x 2 3 x  2 3  x 5 2  9.  2 2 x Решение: 1x  ­ корень уравнения  1   0 2 3 x x x    2 1x или  2 x  x 3  x 1  2 0  17 3 2 , 17 3  2 3 ,  2 2 cos  2 2 x x 2 17  2 sin 17 1, . 3 x  2 cos 4 x  2 x 8cos 2  2 1    0  x x 6 4 1  cos 2  x  cos 2 3cos cos 2  cos 6 x 8cos x    x 2 x cos 0 4   cos 3cos x 0 x   x 0  x cos 7 3cos x  0  3 Ответ:  10.   x Решение: 1 x sin 2  2  1  cos 2   cos 2 cos x 4     8cos cos x x 6   x 7cos cos x 2   7 cos x 2 cos x cos x или 0    z nn , x  2  5sin2 x 5sin x 0  , 5  x kk  2sin x или z   0 2sin x 0  , 2  x kk  zx  , kk  5  z x  , kk  2  z z     4  x    sin     4  4 x    sin     3 4  4 x      cos   7 4  5 x        cos 2  5 x     sin     9 x  sin    5 2   x    x  9sin x  cos x 2 kk ,  Ответ:  5  kk , 2 z . 2 x  sin  cos x cos 11.  Решение: 3cos x  x x  cos 3cos 2 5sin  2   x 3cos cos x 3cos   0 9sin x 5sin x   0 cos 7 x 2sin2 x cos x 2sin x или 0 2   , z nn   7 x x 7 x x nn ,  z x  , nn  z  2  n , 14 2 Ответ:   2 7  12 7 2 2 x Решение:    12.  x 9       x  2 x  0   2   7 14  nn ,  z nn ,  z 2    0 9 3x     2 x 9 12 2 x    7 2 x  x 9 2       x 9  12  2 x x 9 0 7 2 x     x 2 2 x 7 x    12  2 9 x   x 2 x 7 0 x 3 1 x 4 2 Ответ: ­4 и 4. 12  9 x 7  12  2 x или  0  2 7 x x 3 x 3 4 x 4  0 12 13. Решить систему уравнений          x x  xy    y 2  2 y  2 2 x y   ,7   .175 2   x x y y    Решение:      ,7 x y         2 2 x y 175 Пусть   x 1  x 2 y  2 2 y 2   Vu  xu , 2  Vy и учитывая, что запишем исходную систему иначе:  ,7 uV    2V V 4  Отсюда   350 3 V  343  3 ,7 V  7 и тогда 1u Таким образом, исходная система равносильна системе  y x   2y  x ,7  .1    Эта система распадается на две:   x   x   Ответ: (4;3); (3;4).  ,7 y  .1 y  y ,7  .1 y x x и Метод введения новых переменных Суть   метода   очень   проста:   если   уравнение    ,   решить   уравнение    0xf    0y    удалось ,   то   нужно   ввести   новую   переменную ,   а   затем   рассмотреть   совокупность  0xf  yy , 1 , y 2 3 ,......,  ­ корни уравнения  0y    Умение   удачно   ввести   новую   переменную   –   важный   элемент математической   культуры.   Новая   переменная   в   уравнениях   иногда действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить лишь в процессе каких­либо преобразований. Бывает полезно так же ввести не одну, а две переменные.  xq преобразовать   к   виду   y  уравнений:   y xq 1   xq y  2  .......... ....   ny xq  , где       4 2 2 4 x 6  x 5  01 Решить уравнение: 1.   x 5 Решение:  x 01 6 Ответ: нет корней. 2.   17 2 x 0 Решение:  tt 2 0, x   t ,1 2 t 1 1)  2 x 1 x 1 2,1 17 t 16 16 x   t 2 4 2)  2 x 16 x 4 4,3 при  Rx   16 02  5 x   24  0 , тогда уравнение примет вид:  2 0  0 x 2 sin5 2  0 x  tt , 1  2  ­ посторонний корень  kk ,  z   6 x 2  kk ,  z  7 x 2 2 x  2 x  21 2 2 2  x 5 2   5 t Ответ: ­4;­1;1;4. 3.    x x Решение:: Пусть  x x    2 24 0 2 t t   t ,4 2 6 t 1 4.   sin5 2 x cos Решение:  sin21 x  sin2 x sin5 Пусть  x sin  t 2 2 0 5 2 t  D=9,   t 2 2 1 2 x , t , 1 2 1 2   6   k 1 1 1)  sin x   k   1 1 x 2  x 2  tt 12  Ответ:  5.  x Решение: 2 x Пусть   t 25 t   tt 5 2   5 tt 6   t 2 0 36  t  ,9 2 4  x 2 2 x  x  2 0   x ,1 2 t t 1 1)  2 x x 2 1 Ответ: ­1 и 2. 5 4  0, tt x  2  2 t 5 , тогда уравнение примет вид:  t  t  5 2 t  17 17 ­9 – посторонний корень Рассмотрим несколько уравнений, где применение метода введения 4 2    x x x 2 2  01 новых переменных не так очевидна. 6.  3 x Решение: Данное уравнение  – симметричное, оно является  уравнением четвертой степени. Разделим обе части уравнения на  x . Получим  2 x 0 x    2 1 2 2  x    2 x   0 1 2 x  1  01 x  2 x     1 2 x   1 2      x x   Пусть  x     22 x   1 t 1 x   01  , тогда уравнение примет вид: 0x 2)  x  1 x ,01  x 1 x  0 2 x D<0 x   0 3 2 t  t  ,1 2 3 1  3 x x  x 01 3 2 t t 1 1)  2  x D=5 3 x 2,1 5  2 3 2 2 2 2 , y  x  2 x x x 6 5 6 5 x 5 6 6  5 3 5 x 2 xy , y y 0 ;3 x 5 y   2 2   0 Ответ:  7.  Решение: Пусть    x Уравнение примет вид:  Значит,   x  6 0 5   5 x 6 0 x      2 3 x x     x 2; U    Ответ:    ;3 2; U  8.         x 4 x x 1 2 3 x               2 1 x 4 x x x 3        2 2 5 4 x x 5 x 24 x 6 Пусть  , тогда уравнение примет вид:   2 5 4 t x x    t 2 t 0 2 24  t  ,6 2 4 t 1 1)   x  2 4 5 x   x 2 x 5 10 D<0 2)    x 2 5 x  x 2 0 x 5   5 xx 0 0x или  5x 24 24  0 6 4 4 24 x :  2 x 0  3 x   8 x  12   24 x     x  2 x      x 8 3  11 24 x x 24 x   11    4 4 x 2  Ответ: ­5;0 9.    x Решение:     x    12 24 x x x 2  2 14 x 24 x  14 x       24 x 11 2 x     Пусть    t 2 t 3  t 4  t 0 4 x   t , тогда уравнение примет вид: 1 t 1 1)  2 x  t ,4 2 24  x  x 15 x x 2,1 0 129  15 24  2 15  11 ,4 x  0 2)  x   11 24 x  x 24 1 ,0 x  0 2 x  10 x 1  x ,6 2  4 , тогда уравнение примет вид: 1)  x 1  1 x . 2 x 1  x x  0 2)   x  x  5.2  01 2 1  x   x 5.2 0 x 2 6 y  4 y  1 16 :  2 x 0  4 2 2 4 4 2     x 6  y 4 16 129  4;6;  2  8 16   1 16  4 3 y y 4 Ответ:  10.   x Решение: 7 y x     4    y 1 16 1 y         22 22     y 1 1 y        2 2 y y 2 y 2 1 y     4 3 2 y 4 y 6 4 y y 1   4 2 2 12 y 2 16  y  6 2 y 0 7  aa y , 0   a 2 7 a 6 a  ­ посторонний корень 7 1 2 a 1 1)  2 y 1 1y  x 7 1 6x Ответ: 6; 8. 11. Решить уравнение  2 0 2  0  9  9 7 8x  x или   1 7 2 7 0 x x x x 2 4 7 x 2 2 x  1  x  9 0 3 7  2 x 7  x      x    1 1 2 x   x  7 2 y y y y  2 2 2 x   1  2 2 x  Пусть  x 2 x  2 2 x   2 2 y 1 2 x  2  0 9 2 2 y  7 y  0 5x x 2  x 01  0    x 1 x x  ,5.0  ,2 2  .0       40  a  2 b 2 9x D=9 1 y 5.2 2  2 y 1 Ответ: 0,5; 2. 2 2 x  12.  81 x   x 9 Решение: 9 x   9 2    2 x x x  2 x x 9 x  9 2    x 2 x  9       18  9 2 x  x  0 9 40  20  t 2 18 t t 1 2 t 2 2 x 1)   x x 2 x D=76 9  2  18 x  9 2 x  40  0 2  40 2  81 x   x 9 2 18 x  9 2 x  x   x 40  0 Пусть  t  , тогда уравнение примет вид:  2  18 ,0 x  9 x 2,1 19  22 2  1 19 2)  2 x  x 20 x 9   20 1  2    2 2 2 3    x x x 9 7 ,0   1  2  13 x  1 b x 180 D=400­720<0 Ответ:  1 19  13.   1 x x Решение: Пусть  2 , тогда уравнение примет вид:  a x x 1  7 b a 2  ab 13 2 a    a ab 2   ab 2 a    2 baa    2 aba  2 2 2 2 2  13 ab (разложим на множители)   2 b 7 0     14 ab b 7 0   2 ab 14 7 b 0    27 bab 0  b 7 0  2a 7 b a  b 2  или x 2 x x 1 1  2   x x 01 2 2   x 3 01 1)  2 2 x 2 2 x D=1 x 1 2 x Ответ: ­1; 0,5; 2; 4. 1 5.0 1 0 2 x  71 x x  7  x 71  0 2)  2 2  x x  6 x x 8 1 x 2 2 x 4 Можно решить иначе: разделить обе части уравнения на  Получим:  72  0 13  1 x  x 1 2    2  1 x  x 1  x 2  x  1 2 0 2 x y , тогда уравнение примет вид:      x  x 1  x 1  0 2 Пусть  2 x  y 13 2 7 2 y y 1 1 2 y 7 и т.д. (дальнейшее очевидно) 14.  2 x  3 x  3 1 x 22 x 2  5 x  3 16      x x 2  ,3  ,1  2 x 5 1x x  .03   3 x   1 2 2 x  5 x  3 Решение: Заметим, что  2 x Пусть   3 a x 2 1 b x Тогда   x a 2 x  2 1 b  3 ba x  x 3 ba 3 и 2 ab  16 2  16 2 ab , но 2 2 2 2 2 2 2 x x 4 x 2 3 b b b b  2 31  a 3 4 x    a 4 3 20 x    a 20 3 16 x   x a 3 4   2 2 ba b a 20   ba a b 20      ba 20 ba        20 ba ba  t   2 t 20 0  t  ,4 2 5 t 1    2 2 2 2 2 2 20 ab ab 0 ,  ba  ,t5 ba 25  1 x x   2 2 9 9 x x 4 ba  3 2 x x  1 4 Уравнение не имеет корней 1 3   2 x   x 5 x   3 x 2 3 x 221 x      x x x 22 21 1 3 3    23     24 x x x 21 1 3     2 24 5 3 126 441 x x   2 8 20 441 12 x x 126    2 146 0 x 429 x D/4=   732 4900 429   x ,143 2 3 x 1 Ответ: 3; 143. 15.    Решение:  a 29 ,  2 2 b 7  b x ab 29  1 1 a x x x     3 3 3 2 3 2  7 3  29   xx   1 . Тогда уравнение примет вид: 3 3 a x 29 3 a  29  29  3 a  b 3 , bx 3 xa ,  3 b 28 1 1 x 3   b 1 2 2 2 2 3 3 2  b   7 28 ,7 Итак, исходное равенство будет верным, если выполняется система     ab b a     a ;28 b     aba ab   4 ba    2 a ab b  4 1)  b a 2)     2 b 8 b 16   3 2 12 b 9 b  b  2 b 4 3 0 D=4 b 1 Если  Если  1)  2)  ,3 Ответ: 2; 28.  b 1 a 4 1 a 314 2 ;  x 28  x 29 27 2  3   b 1 ,3 2 1 b , то  3 2 b , то  1 ,1 x x 29 x 3 293 ,11 и   4 bb 4 bb 2 x b 0 28  ,3  7 1 x x   2 2 2 3 Решение   иррациональных   уравнений   также   можно   упростить   с помощью   удачно   выбранной   тригонометрической   подстановки,   т.е.2 3  x 1 4  переменные   уравнения   заменяются   на   значения   каких­либо тригонометрических функций. 16.  x Решение: Пусть   x  1 sin 2    Замена   возможна,      Тогда 0,  3   т.к. .  1x cos 3 3 x   .  cos   4 cos  cos 3  3cos  sin    cos 2     2  sin   2;0 0     3cos  0                4 0     4    0 sin    2    2 nn  , z 2  cos  sin  Значит,   3cos   sin2     4     4   4   sin 1)     2 4    2 8 n n Тогда корни:     8 ; 5 8    nn  , z   2)   4   4   3 4  nn  , z  ;0  cos  8  1  cos 2  4  1  2 2 2  2 2  2 Откуда имеем:  cos 3 4  1 2  5 4 1  cos 2 2  2  ; , 1 2 5 6  1 y  2 2  2 2 1  2  2 2 2 2      2 ; (1)  35 216 . cos 5 8   Ответ:             1 x 1 3 x 17.   1 3 y Решение: 1 Полагая  x  1 y u ,  V , преобразуем систему (1) к виду,  Vu 5 6  3 V u 3 (2) 35 216 ; 5 6 ,  Vu       VuVu  Vu , 5 6 2   3 uV   35 216 ;                       u ; V  uV 1 6 5  6  2u 6 1)  6 2 u 1  u u 1 2 1 3 V 1 ,  V Значит,  2 2  54 01   u 5 01 1  , тогда , 3 1  2 1 2 1 3         , 1 x 1 y 1 3 1 2 И  1 x 1 y         ,  ,3  2 x y     ,2  3 x y    Ответ: (2;3), (3;2). Задания для самостоятельной работы. Домашнее задание Решить уравнение:17 x  11  1   3 5  1  1   12 x  1 2 x 5  4  2 x  x  3  2  x  x  x  x 4 2 2 2    8  108  0 1.  7 x 2.  3.  2 2 x x 3 3 12   4 x  x x  2  x x 4 1 x 2 4.  1  x  x 3 5.   1 x x  6.   2 x xx 5 2 x 9 3 x 7.   2 2  0 0   x 3 0 12    7 2 11  x  x 3 12   x  x 2 3 x  5  6  2   96 1     5 x 1 3 x  x  x 1 3 x  1 x 10    x x  2 2  2  3 x  6 10     2 x x 2 4 x 6 x 20  1  9  9    3 x 6 x  4 3     2   1  1  2  2 x   x x   9 2 2 2  x x x  4 1     x 2   8  6 3 2 3 2  10 x  x 5  x 4   5 x   2 5 x  2 1       x  x x x x 7 x 8.  9.   xx  4 x 10.  12 2 x 11.  2 x 12.  13.  14.  x 2 x 15.  x x x 16.  x 17.  3  6 x x x  5  6  2 7   3  2 x   24 x 2  0   III. Итог урока За   два   часа   работы   учащиеся   углубили   свои   знания   и   умения   по решению   уравнений   двумя   способами:   способом   разложения   на множители   и   способом   замены   переменных,   что   способствует формированию   умений   решать   уравнения   различного   типа   высокого уровня сложности.  Предложенные   задания   как   устные,   так   и   письменные способствовали   развитию   логического   мышления   и   познавательной деятельности. Выполнение заданий формировали ответственность, глубину мысли, самостоятельность, аккуратность, требовательность в работе.