Развитие комбинаторных способностей учащихся: курс математики 5-6 класс

Содержание: 1.  Содержание:....................................................................................................................................1 Введение..........................................................................................................................................2 2. Основная часть...........................................................................................................................4 2.1. Психологические особенности учащихся 5­6 классов.........................................................4 2.2. Развитие логического мышления школьников средствами математики............................6 2.3. Развитие интереса к изучению математики у учащихся......................................................8 2.4. Общие сведения.......................................................................................................................9 2.5. Содержание вопроса комбинаторики и теории вероятности в учебной литературе.......12 2.6. Анализ учебной литературы.................................................................................................15 2.7. Анализ учебно­методической литературы по комбинаторике и теории вероятностей. .17 Заключение...................................................................................................................................31 Приложение..................................................................................................................................32 Сборник основных правил комбинаторики и упражнений для их применения......................32 Литература:..................................................................................................................................59 Введение На   современном   этапе   развития   общества,   когда   в   нашу   жизнь стремительно   вошли   референдумы   и   социологические   опросы,   кредиты   и страховые полисы, разнообразные банковские начисления и т.п., становится очевидной актуальность включения в школьный курс математики материала вероятностно­статистического характера. Данная тема исследования актуальна для наших детей в связи с тем, что современные   школьники   стали   более   развиты   и   им   требуются   не   просто задачи   на   вычисление,   а   задачи,   требующие   в   своем   решении   участия логического мышления, а также задачи, наиболее приближенные к жизненным ситуациям.   Такими   задачами   и   являются   задачи   на   комбинаторику   и вероятность.   Данное   исследование   определяет   уровень   логического мышления школьников 10­13 лет. А выявление методов обучения решению таких   задач   дает   возможность   выбора   наиболее   оптимального   метода   для преподавания в школе. Данная   тема   исследования   интересна   потому,   что   таких   задач   в школьной программе 5­6 классов не много, но и их решение можно свести к игре, интересной детям. Объектом исследования являются задачи на комбинаторику и теорию вероятности. Предметом,   методика   обучения   решению комбинаторных   задач   и   формирования   первоначального   представления   о   в   свою   очередь, вероятности в 5­6 классах основной школы. Целью исследования выступает изучение методики обучения решению комбинаторных задач и задач на вероятность в 5­6 классах основной школы. Цель нашего исследования раскрывается в следующих задачах: 2 1. Проанализировать научную и методическую литературу по теме исследования. 2. 3. Изучить психологические особенности учащихся 5­6 классов. Выявить уровень логического мышления учащихся 5­6 классов. 4. Изучить   методику   ознакомления   детей   с   задачами   на комбинаторику, соединив их с решением жизненных ситуаций для возраста учащихся 5­6 классов. В основу исследования положена гипотеза, согласно которой возможно сформировать первоначальное представление о вероятности и научить решать комбинаторные задачи учащихся 5­6 классов, используя методы проблемного обучения, занимательные задачи, задачи, содержащие жизненные ситуации. 3 2. Основная часть 2.1. Психологические особенности учащихся 5-6 классов Учащиеся   5­6   классов   –   это   дети   11­13   лет.   Психологические особенности   учащихся   этого   возраста,   по   мнению   различных   авторов, рассматриваются как кризисные и связаны с перестройкой в трех основных сферах:   телесной,   психологической   и   социальной.   На   телесном   уровне происходят   существенные   гормональные   изменения,   на   социальном   уровне подросток занимает промежуточное положение между ребенком и взрослым, на психологическом подростковый возраст характеризуется формированием самосознания. Каждый возрастной период является переходным, подготавливающим человека к переходу на более высокую возрастную ступень. Развитие всех сторон   личности   и   интеллекта   подростка   предполагает   сотрудничество ребенка   и   взрослого   в   процессе   осуществления   собственной   деятельности, игры,   учения,   общения,   труда.   Такое   сотрудничество   в   школе   нередко отсутствует. По мнению Л.И. Божович, главное внимание в воспитании подростка следует   сосредоточить   на   развитии   мотивационной   сферы   личности: определения   своего   места   в   жизни,   формировании   мировоззрения   и   его влияния на познавательную деятельность, самосознание и моральное сознание. Именно в этот период формируются нравственные ценности, жизненные перспективы,   происходит   осознание   самого   себя,   своих   возможностей, способностей, интересов, стремление ощутить себя и стать взрослым, тяга к общению   со   сверстниками,   оформляются   общие   взгляды   на   жизнь,   на отношения между людьми, на свое будущее, иными словами ­ формируются личностные смыслы жизни. 4 Основными   новообразованиями   в   подростковом   возрасте   являются: сознательная   регуляция   своих   поступков,   умение   учитывать   чувства, интересы других людей и ориентироваться на них в своем поведении. Новообразования   не   возникают   сами   по   себе,   а   являются   итогом собственного опыта ребенка, полученного в результате активного включения в выполнение самых разных форм общественной деятельности. Л.И.   Божович   подчеркивала,   что   в   психическом   развитии   ребенка определяющим является не только характер его ведущей деятельности, но и характер   той   системы   взаимоотношений   с   окружающими   его   людьми,   в которую он вступает на различных этапах своего развития. Поэтому   общение   подростков   со   сверстниками   и   взрослыми необходимо считать важнейшим условием их личностного развития. Неудачи в общении ведут к внутреннему дискомфорту, компенсировать который не могут никакие объективные высокие показатели в других сферах их жизни и деятельности. Общение субъективно воспринимается подростками как нечто личностно   очень   важное.   Однако,   как   показывает   анализ   современного   потребность   учащихся   подростков   в педагогического   процесса, благоприятном   доверительном   общении   со   взрослыми   и   сверстниками   в школе   очень   часто   не   получает   своего   удовлетворения.   Это   ведет   к формированию повышенной тревожности, развитию чувства неуверенности в себе,   связанного   с   неадекватной   и   неустойчивой   самооценкой,   со сложностями   в   личностном   развитии,   мешает   ориентации   в   жизненных ситуациях.   Все   это   много   раз   усугубляется,   если   у   ребенка   отсутствует благоприятное общение в семье. При   работе   с   младшими   подростками   упор   следует   сделать   на пробуждение интереса и развития доверия к самому себе, на понимание своих возможностей, способностей, особенностей характера. 5 Важным   показателей   умственного   развития   детей   является   уровень сформированности у них обобщающего мышления, отражающий интеллект, который формируется у них в учебной деятельности. Определенный   тип   организации   образовательных   воздействий,   как правило,   приводит   к   формированию   в   той   или   иной   конкретной   школе некоторого  "типичного   учащегося",   психологические   особенности   развития которого   соответствуют   специфике   осуществляемых   воздействий.   Это проявляется в особенностях интеллектуального развития учащихся, степени их   включенности   в   учебную   работу   на   уроках,   учебной   инициативы, активности взаимодействия с учителей и одноклассниками. Чем в большей мере выражены перечисленные параметры, тем с большей определенностью можно   говорить   об   эффективной   психологической   организации образовательных воздействий. 2.2. Развитие логического мышления школьников средствами математики В   последнее   время   много   говорится   о   преемственности   в   обучении между начальной и средней школой. Этот вопрос стал так остро потому, что наблюдается значительное снижение успеваемости при переходе учащихся в среднее звено, растет нежелание посещать школу, угасает интерес к учебе. Причин   тому   много,  например:   увеличение   учебной   нагрузки,  трудности   в адаптации   к   новым   условиям   обучения,   физиологические   особенности   и изменения   в   психике   ребенка   и   т.д.  Считается,  что   складывающаяся   к   11 годам   система   мыслительных   операций   подготавливает   почву   для формирования   научных   понятий,   и   на   последнем   этапе   интеллектуального развития, т.е. периоде формальных операций, подросток освобождается от конкретной привязанности к объектам, и тем самым приобретает возможность мыслить   так   же,   как   взрослый   человек.   Он   рассматривает   суждения,   как гипотезы, из которых можно вывести всевозможные следствия; его мышление 6 становится   гипотетико­дедуктивным. заканчивается к 14­15 годам.   Согласно   Пиаже   эта   стадия Школа   обязана   строить   обучение   таким   образом,   чтобы   шло интенсивное   развитие   различных   качеств   ребенка,   в   частности,   его логического мышления. В 5­6 классах этому наиболее полно соответствует математика.   При   этом   считается,   что   «левополушарные»   формально­ логические   компоненты   мышления   организуют   любой   знаковый   материал таким   образом,   что   создается   строго   упорядоченный   и   однозначно понимаемый контекст, необходимый для успешного общения между людьми. Это могут быть не только слова, но и другие символы, знаки и даже образы, то есть когда из всех реальных и потенциальных связей между предметами и явлениями выбирается несколько определенных, не создающих противоречий и укладывающихся в данный контекст.  По   некоторым   данным,   созревание   правого   полушария   идет   более быстрыми   темпами,   чем   левого,   и   поэтому   в   ранний   период   развития   его вклад в обеспечение психологического функционирования превышает вклад левого полушария, даже утверждается, что до 9—10 лет ребенок является правополушарным существом. Такая оценка не лишена некоторых оснований, поскольку   соотносится   с   определенными   особенностями   психического развития детей в дошкольном, а отчасти и в младшем школьном возрасте.  В возрасте 10­11 лет происходят изменения в головном мозге, более   Это быстрыми   темпами   начинает   развиваться   левое   полушарие. обстоятельство и должно учитываться при обучении математике, как науке особым образом развивающей логическое мышление. В этом процессе ребенок все   чаще   начинает   мыслить   не   только   образами,   но   у   него   появляется возможность   к   абстрагированию.   Именно   отсюда   при   обучении   младших подростков   математике   следует   учитывать   возрастную   ассимитрию полушарий   головного   мозга.   В   частности,   использовать   моделирование 7 учебных задач, проигрывание их на уроке, накопление образов, связанных с собственным сопереживанием той или иной учебной задаче.  Остановимся   на   некоторых   особенностях   содержания   учебного материала   в   5­6   классах.   Многие   темы   не   соответствуют   уровню формирования логического мышления детей этого возраста, но большинство учителей математики считают обратное. 2.3. Развитие интереса к изучению математики у учащихся В   последние   годы   много   и   часто   говорят   о   недостаточной эффективности процесса обучения в школе. Главную причину видят в том, что   его   традиционная   организация   не   отвечает   требованиям   времени,   не создает условий для улучшения качества обучения и развития учащихся. С этим   трудно   не   согласиться.   Решение   этой   проблемы,   главным   образом, зависит   от   того,   на   получение   какого   именно   результата   ориентируется учитель   в   своей   работе.   В   этой   связи   главным   критерием   деятельности учителя является представление о конечном результате. Хотим ли мы дать ученику определенный набор знаний по предмету или сформировать личность, готовую   к   творческой   деятельности.   Главное   найти   тот   рычаг,   который приведет в движение механизм развития творческой деятельности, а вместе с тем и личности учащегося. Исходя из общей цели, стоящего перед системой обучения,   направленной   на   общее   развитие   школьников,   курс   математики нацелен на решение следующих задач:  1. Способствовать продвижению школьников в общем развитии, то есть развивать их мышление; 2. Дать представление о математике как науке, обобщающей реально существующие   и   происходящие   явления   и   способствующей   познанию окружающей действительности; 3.   Сформировать   знания,   умения   и   навыки,   необходимые   ученику   в жизни. 8 При знакомстве с программой нужно иметь в виду, что ее содержание не однородно и относится к трем разным уровням, каждый из которых имеет свою   специфику   и   требует   различного   подхода.   Воспитать   инициативного, думающего, ответственного человека традиционными способами невозможно и программа развивающего обучения – один из путей достижения этой цели. Проблема,   которая   особенно   беспокоит   педагогов,   работающих   в подростковых   классах   –   потеря   познавательного   интереса,   снижение внутренней мотивации учения. Педагог должен исходить из реальной учебной ситуации. Ему надо не исследовать мышление ребенка, а анализировать ошибки детей, которые они допускают   в   процессе   выполнения   учебных   заданий.   Главной   задачей   для педагога является формирование у учащихся познавательной мотивации. А это может произойти только через грамотно построенное образование. 2.4. Общие сведения В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно   не   упустить   ни   один   из   них.   Для   этого   надо   уметь   осуществлять перебор   всех   возможных   вариантов   или   подсчитывать   их   число.   Задачи, требующие   такого   решения,   называются  комбинаторными.  Область математики,   в   которой   изучают   комбинаторные   задачи,   называется комбинаторикой. Комбинаторика   возникла   в  XVI  веке   и   первоначально   в   ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. В процессе изучения таких задач были выработаны некоторые общие подходы к их решению, получены формулы для подсчета числа различных комбинаций. 9 В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математической   науки.   Ее   методы   широко   используются   для   решения практических   и   теоретических   задач.   Установлены   связи   комбинаторики   с другими разделами математики. В   начальном   обучении   математике   роль   комбинаторных   задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни. Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило,   методом   перебора.   Для   облегчения   этого   процесса   нередко используются   таблицы   и   графы.   В   связи   с   этим   учителю   необходимы определенные умения и навыки решения комбинаторных задач. КОМБИНАТОРИКА   –  раздел   математики,   в   котором   изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.  Комбинаторику   можно   рассматривать   как   введение   в   теорию вероятностей, поскольку методы комбинаторики используются для решения многих   вероятностных   задач,   в   которых   речь   идет   о   подсчете   числа возможных исходов и числа благоприятных исходов в различных конкретных случаях. Выбором   объектов   и   расположением   их   в   том   или   ином   порядке приходится   заниматься   чуть   ли   не   во   всех   областях   человеческой деятельности.  С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди сталкивались   в   глубокой   древности.   Уже   несколько   тысячелетий   назад   в Древнем   Китае   увлеклись   составлением   магических   квадратов,   в   которых заданные   числа   располагались   так,   что   их   сумма   по   всем   горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали   число   различных   комбинаций   длинных   и   коротких   слов   в 10 стихотворных   размерах,   занимались   теорией   фигурных   чисел,   изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т.д. Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.  Комбинаторика становится наукой лишь в 18 веке ­ в период, когда возникла   теория   вероятностей.   Чтобы   решать   теоретико­вероятностные задачи,   нужно   было   уметь   подсчитывать   число   различных   комбинаций, подчиненных тем или иным условиям. После первых работ, выполненных в 18 веке итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тартальей, и Г. Галилеем, такие задачи   изучали   французские   математики   Б.   Паскаль   и   П.   Ферма.   Первым рассматривал   комбинаторику   как   самостоятельную   ветвь   науки   немецкий философ и математик Г. Лейбниц, опубликовавший в 1666 году работу " Об искусстве   комбинаторики",   в   которой   впервые   появляется   сам   термин "комбинаторный".  Замечательные   достижения   в   области   комбинаторики   принадлежат Л.Эйлеру.   Комбинаторными   задачами   интересовались   и   математики, занимавшиеся   составлением   и   разгадыванием   шифров,   изучением   древних письменностей. Теперь комбинаторика находит применение во всех областях науки   и   техники:   в   биологии,   где   она   применяется   для   изучения   состава белков и ДНК, в химии, в механике и т.д.  По мере развития комбинаторики выяснилось, что, несмотря на внешнее различие   изучаемых   ею   вопросов,   многие   из   них   имеют   одно   и   то   же математическое содержание и сводятся к задачам о конечных множествах и их подмножествах. Постепенно выяснилось несколько основных типов задач, к которым сводится большинство комбинаторных проблем. Важную область комбинаторики   составляет   теория   перечислений.   С   ее   помощью   можно пересчитать число решений различных комбинаторных задач. 11 ТЕОРИЯ   ВЕРОЯТНОСТЕЙ   –  это   раздел   математики,   изучающий закономерности, основанные на взаимодействии  большого числа  случайных явлений (статистические закономерности). Отношение   числа   случаев   благоприятствующих   событию   А,   к   числу всех возможных случаев называют вероятностью события А. (6 кл. учебник для   образовательных   учреждений   /   С.М.   Никольский,   А.В.   Шевкин   и   др., стр.42) Основы новой математической теории – теории вероятностей – были заложены в работах Б. Паскаля и других математиков XVII века. Во второй половине XIX века выдающиеся исследования по теории вероятностей велись русскими учеными П.Л. Чебышевым (1821­1894), А.А. Марковым (1856­1922) и другими. К настоящему времени в России сложилась сильная школа теории вероятностей.   Крупнейшим   ее   представителем   являлся   А.Н.   Колмогоров (1903­1987). 2.5. Содержание вопроса комбинаторики и теории вероятности в учебной литературе ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ   СТАНДАРТ   ОСНОВНОГО   ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ   МИНИМУМ   СОДЕРЖАНИЯ   ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей Доказательство.  Определения,   доказательство,   аксиомы   и   теоремы, следствия. Необходимые и достаточные условия. Контрпример. Доказательство от противного. Прямая и обратная теоремы. Понятие   об   аксиоматике   и   аксиоматическом   построении геометрических решений. Пятый постулат Евклида и его история. 12 Множества   и   комбинаторика.  Множество.   Элемент   множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера.  Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения. Статистические   данные.  Представление   данных   в   виде   таблиц,   Понятие   о   Средние   результаты   измерений. диаграмм,   графиков. статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий. Вероятность.  Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности. На рубеже третьего тысячелетия становится очевидной универсальность вероятностно­статистических законов, они стали основой описания научной картины   мира.   И   ребенок   в   своей   жизни   ежедневно   сталкивается   с вероятностными   ситуациями,   ведь   игра   и   азарт   составляют   существенную часть   его   жизни.   Круг   вопросов,   связанных   с   осознанием   соотношения понятий   вероятности   и   достоверности,   проблемой   выбора   наилучшего   из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех, представлением о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных   коллизиях  –  все   это,  несомненно,  находится   в  сфере   реальных интересов становления и развития личности. Подготовку   человека   к   таким   проблемам   и   осуществляет   школьный курс   математики.   Принципиальные   решения   о   включении   вероятностно­ статистического   материала   как   равноправной   составляющей   обязательного школьного математического образования приняты ныне и в нашей стране. Все перспективные государственные образовательные документы последних лет содержат   вероятностно­статистическую   линию   в   курсе   математики   5­9 классов наравне с такими привычными линиями, как «Числа», «Функции», «Уравнения   и   неравенства»,   «Геометрические   фигуры».   Продолжение изучения этой линии предполагается в старших классах. 13 Современные стандарты и программы математического образования в основной школе предполагают пропедевтику основных понятий, знакомство на   наглядном,   интуитивном   уровне   с   вероятностно­статистическими закономерностями в 5­6 классах, определение основных понятий, построение и изучение базовых вероятностно­статистических моделей – в 7­9 классах. Первые учебники, в которых последовательно с 5 по 9 класс проводится вероятностно­статистическая линия, органично связанная с другими темами курса   ­   это   новый   учебный   комплект   «Математика   5­6»   по   ред.   Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, «Математика 7­9» под ред. Г.В. Дорофеева. в этих   учебных   комплектах   принят   статистический   подход   к   понятию вероятности,   который   методически   и   психологически   соответствует возрастным особенностям учеников основной школы. Следует отметить, что наиболее подходит для реализации оптимального обучения школьников 10­11 лет математике учебный комплект под редакцией Г.В Дорофеева, а также комплект «Арифметика 5­6 класс» под редакцией С.М. Никольского. Был проведен сравнительный анализ обучения школьников 5­6   классов   решению   комбинаторных   задач,   обучающихся   с   помощью учебника   С.М.   Никольского   и   с   помощью   учебника   Г.В. Дорофеева.   Дети, наученные   составлять   дерево   возможных   вариантов,   более   осмысленно решали   предложенные   задачи,   отсекая,   если   нужно,   повторяющиеся комбинации.   Так,   решение   задачи,   с   применением   специальных   методов, привело   к   правильному   ответу     большее   число   учащихся,   чем   решение простым перебором.  Сохранение интереса к изучению математики при использовании новых комплектов учебников обеспечивается не только через дополнительные темы, но и через достаточное количество занимательных задач. Занимательные задачи — инструмент для развития мышления, ведущего к   формированию   творческой   деятельности   школьника.   К   таким   задачам относятся   задачи   «на   соображение»,   «на   догадку»,   головоломки, 14 нестандартные   задачи,   логические   задачи,   творческие   задачи.   Например, задача 6­го класса: Восемь подружек решили обменяться фотографиями так, чтобы у каждой из них оказались фотографии остальных подруг. Сколько фотографий для этого потребуется.  Занимательный материал многообразен, но его объединяет следующее: 1. способ решения занимательных задач не известен;  2.   занимательные   задачи   способствуют   поддержанию   интереса   к предмету. Для решения занимательных задач характерен процесс поисковых проб. Появление догадки свидетельствует о развитии у детей таких качеств умственной деятельности как смекалка и сообразительность. Смекалка – это особый   вид   проявления   творчества.   Она   выражается   в  результате   анализа,   выводов, сравнений,   установления   связей,   обобщений,   аналогий, умозаключений. Систематизированный   набор   нестандартных   задач   применяется   по индивидуальному   плану   учителя   на   уроках   и   во   внеурочной   работе. Конкретно   можно   рассмотреть   некоторые   темы:   5   класс,   тема   «Перебор возможных вариантов», в которой начинается изучение новой содержательной линии «Анализ данных»; 6 класс, тема «Вероятность события». Представлены характерные   для   комбинаторики   задачи   на   размещения,   сочетания, перестановки,   но   сами   термины   и   формулы   не   рассматриваются. Предлагается   более   доступный   детям   данного   возраста   метод   решения   ­ построение дерева. 2.6. Анализ учебной литературы Анализ начнём с учебника для 6 класса средней школы (под редакцией Дорофеева   Г.В.,   Шарыгина   И.Ф.).   Авторы   рассматривают   комбинаторный принцип умножения, различные виды сочетаний (перестановки, размещения, сочетания) с повторениями и без повторений и формулы для их вычисления. 15 Относительно   теории   вероятностей   Дорофеев   рассматривает   понятие случайного   события   и   вычисление   вероятностей   с   помощью   формул комбинаторики.   Аналогично   этому   изданию   учебник  Зубаревой   И.И., Мордковича А.Г. “Математика 5(6)”. В   учебнике  Никольского   С.М.  и   др.   “Арифметика5­6”   даются   лишь определения   различных   соединений,   формулы   для   их   вычисления   (6кл.)   и классическое определение вероятности (8кл.). В этом учебнике рассмотрен минимальный круг вопросов. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.   в   учебнике   для   общеобразовательных   учебных   заведений   “Алгебра. Функции. Анализ данных”. Рассмотрел вопросы, касающиеся исключительно теории вероятностей. Это классическое определение вероятности, понятие о генеральной совокупности и выборке, их параметры и оценки, а также оценка вероятности события по частоте. Авторами разработана методика проведения практических занятий по информатике   по   теме   "Начала   комбинаторики".   Основу   теоретического материала составляет бес формульная комбинаторика: генерация сочетаний, перестановок   и   подмножеств,   разбиения   на   слагаемые.   Кроме   этого предлагаются задачи, состоящие в требовании выделить из всех возможных решений   такое,   которое   удовлетворяет   заданному   дополнительному требованию. Опыт проведения занятий подтвердил, как велика роль комбинаторных задач   как   средства   развития   мышления   учащихся,   формирования   приемов умственной   деятельности   ­   анализа,   синтеза,   обобщения   через   реализацию полной   схемы   эвристических   рассуждений:   анализ   проблемы,   выдвижение гипотез, их проверка. Кроме этого поддерживается на достаточно высоком уровне познавательный интерес учащихся и к математике, и к информатике, а также укрепляются межпредметные связи. 16 2.7. Анализ учебно-методической литературы по комбинаторике и теории вероятностей В учебном пособии для проведения факультативного курса по теории вероятностей   Лютикаса   В.С.   вначале   даны   сведения   из   прошлого   теории вероятностей, затем достаточно подробно и систематично рассматриваются вопросы комбинаторики, вероятности события, операций над вероятностями, независимые   повторные   испытания   (формулы   Бернулли,   Муавра­Лапласа, Пуассона   и   Лапласа),   дискретные   и   непрерывные   случайные   величины,   а также   рассмотрены   различные   интересные   задачи   (например,   задача Бюффона,   парадокс   Бертрана   и   т.д.).   Эта   книга   интересна   как   с методической,   так   и   с   познавательной   точек   зрения.   Она   может   быть одинаково доступна как учителю, так и ученику, так как написана простым, понятным языком, в ней дано много таблиц, диаграмм, все главы находятся во взаимосвязи. Материал систематичен и постепенно усложняется.  Книга предназначена для учителей, работающих в школах и классах с   Она   содержит   методические углублённым   изучением   математики. рекомендации   по   изучению   некоторых   теоретических   вопросов   и   решению задач, планирование уроков, образцы самостоятельных и контрольных работ по всем темам; эти материалы написаны в соответствии с учебным пособием Виленкина Н.Я., Ивашева­Мусатова О.С. и Шварцбурда С.И.  Книга посвящена элементарной комбинаторике, теории вероятностей и их   приложениям,   в   ней   систематически   используется   теоретико­ множественный язык. Абстрактность этого языка компенсируется большим количеством подробно разобранных примеров. Задачи собраны в отдельные части,   которые   можно   читать   независимо.   Там   рассматриваются   простые модели, связанные с приложениями комбинаторики и теории вероятностей. Книга предназначена для и преподавателей, учащихся, а также для студентов. Авторы   книги   для   внеклассного   чтения   Балк   М.Б.,   Балк   Г.Д.   в интересном изложении дают комбинаторику и теорию вероятностей, кроме 17 теории в этой книге есть исторические сведения, которые предлагается дать детям на занятиях кружков или факультативе по математике. После теории представлен набор занимательных задач на соединения без повторений и с повторениями. В отличие от пособия Лютикаса В.С. на занятия по теории вероятностей   представлен   материал   только   для   одного   или   двух тематических занятий, а комбинаторика рассматривается без связи с теорией вероятностей.   Но   в   книге   представлен   большой   список   литературы   по комбинаторике и теории вероятностей. Книга   является   пособием   для   факультетов   подготовки   учителей начальных   классов.   В   ней   дан   достаточно   большой   объём   материала   по комбинаторике   и,   преимущественно,   теории   вероятностей.   Этот   материал отличается высоким уровнем сложности, он постепенно усложняется, в книге даны обширные исторические сведения. В статье М.В. Ткачёвой под названием “Анализ данных в учебниках Н.Я. Виленкина и других” приводится пример того, как можно ввести в изучение математики   V­IX   классов   новую   содержательную   линию,   основная   цель которой – формирование у учащихся элементарных статистических знаний, а также   развитие   комбинаторного   и   вероятностно­статистических   стилей мышления.   М.В.   Ткачёва   говорит   о   том,   что   вопросы   статистики   и комбинаторики можно вводить в изучение уже сейчас, на базе учебников и учебных пособий Виленкина Н.Я., Жохова В.И., Чеснокова А.С., Шварцбурда С.И. и др. “Математика 5” и “Математика 6” (М.: Мнемозина, 1996 и далее), которые сейчас наиболее распространены в школах России. Так, предлагается в   практически   каждой   теме   решать   с   детьми   комбинаторные   задачи   при изучении натуральных чисел, операциях над ними, обыкновенных, десятичных дробей, операций над десятичными дробями (5 кл.); при изучении делимости чисел,   умножение   и   деление   натуральных   и   отрицательных   чисел,   при решении уравнений (6 кл.), далее эта линия усложняется введением элементов статистики   и   теории   вероятностей   (систематизация   и   подсчёт   данных   в 18 частотных   таблицах,   столбчатые   диаграммы,   среднее   значение   и   мода   как характеристики совокупности числовых данных (5 кл.); нахождение частот данных по их относительным частотам в выборке заданного объёма и обратно, систематизация и представление данных в частотных таблицах, представление распределения данных в выборке в виде полигона частот (6 кл.). В статье приведён вариант планирования (для 5­6 классов), даны способы адаптации материала   учебника   к   введению   элементарных   комбинаторных   и статистических знаний. Т.е. комбинаторный материал даётся применительно к темам, изучаемым в нынешнем школьном курсе математики. Элементы теории вероятностей   вводятся  на   практических   занятиях  (например,  практическая работа по сбору, распределению данных по признакам, представление их в виде частотных таблиц) и в задачах. Также в журнале “Математика в школе” есть статья от министерства образования, в которой говорится о том, что одним из важнейших аспектов модернизации   содержания   математического   образования   состоит   во включении   в   программы   элементов   статистики   и   теории   вероятностей. Изучение   элементов   комбинаторики,   статистики   и   теории   вероятностей   в основной   и   старшей   школе   станет   обязательным   после   утверждения федерального компонента государственного стандарта общего образования. Но в связи с тем, что внедрение в практику этого нового материала требует несколько лет и накопления методического опыта, Министерство образования РФ рекомендовало образовательным учреждениям начинать его преподавание в основной школе уже в 2003­2004 учебном году перечислен примерный круг вопросов,   на   которые   следует   ориентироваться   учителям   при   введении комбинаторики,   статистики   и   теории   вероятностей   в   основной   и   старшей школе.   Причем   рекомендуется   начинать   изучение   этих   вопросов   уже   в   5 классе, т.к., по мнению психологов, дети этого возраста способны усвоить комбинаторный   и   статистический   материал   наиболее   продуктивно.   Кроме этого, в статье приведён достаточно большой список литературы по данной 19 теме  (включая  учебники, вкладыши  к ним,  дополнительную литературу  по данной теме и материалы для организации подготовки учителей).  В   2003   году   издательство   «Просвещение»   опубликовало   учебное пособие   Макарычев   Ю.Н.,   Миндюк   Н.Г.   «Элементы   статистики   и   теории вероятностей» (под редакцией С.А. Теляковского). Книга предназначена для учащихся  VII­IX  классов   и   дополняет   учебно­методический   комплект: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра 7», «Алгебра   8»,   «Алгебра   9»   (под   редакцией   С.А.   Теляковского),   который сегодня является самым массовым, наиболее широко используемым учебным пособием по математике в основной школе. Поэтому выход в свет дополнения к   указанному   комплекту,   предназначенного   для   изучения   вероятностно­ статистического   материала,   свидетельствует   о   том,   что   введение   новой вероятностно­статистической линии в школьное математическое образование уже стало реальностью и данное пособие является основным для изучения этой линии. Учебное   пособие   «Элементы   статистики   и   теории   вероятностей» содержит теоретический и практический материал по элементам статистики и теории  вероятностей,  а  также  методический   комментарий  и  планирование, составленное   из   расчета,   что   на   изучении   математики   в  VII­IX  классах отводится 5 часов в неделю. Небольшое   по   объему   пособие   состоит   из   четырех   параграфов   и дополняет учебники: 1. Статистические характеристики. 2. Статистические исследования. 3. Элементы комбинаторики. 4. Начальные сведения из теории вероятностей. Структура пособия аналогична структуре указанных выше учебников. Параграфы делятся на пункты. В каждом пункте содержатся теоретические сведения   и   соответствующие   упражнения.   В   конце   пункта   приводятся 20 упражнения для повторения. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения   более   высокого   уровня   сложности   по   сравнению   с  основными упражнениями. Концепция   введения   элементов   статистики   и   теория   вероятностей   в основной   школе,   которой   придерживаются   авторы   нового   пособия,   в основном   совпадает   с   концепцией,   реализованной   в   рамках   учебного комплекта «Математика 7», «Математика 8», «Математика 9» под редакцией Г.В.Дорофеева,   но   материал   несколько   сокращен.   Исключением   является только параграф об элементах комбинаторики. Он помещен в курс IX класса (а не в VII класс, как это сделано в УМК под ред. Г.В.Дорофеева) и содержит гораздо больше и теоретических сведений и практических упражнений, чем соответствующий   материал   в   учебнике   «Математика   7»   под   ред. Г.В.Дорофеева. Остановимся   подробнее   на   особенностях   предлагаемых   подходов   к изучению элементов статистики в курсе алгебры 7­8 классов. В  VII  классе   учащиеся   знакомятся   с   такими   простейшими статистическими   характеристиками,   как   среднее   арифметическое,   мода, медиана,   размах.   Их   содержательный   смысл   разъясняется   на   примерах. Учащиеся должны знать соответствующие определения, научиться находить эти характеристики в несложных случаях, понимать их практический смысл в конкретных ситуациях. На изучение этого материала рекомендуется выделить 4   урока   в   конце   учебного   года   за   счет   времени,   отводимого   на   итоговое повторение. Среднее арифметическое  ряда данных является одним из основных статистических показателей. Оно используется в статистике наряду с такими средними величинами, как средняя квадратичная, средняя гармоническая.  Авторы подробно рассматривают графические способы представления статистических   данных.   При   этом   предлагают   использовать   столбчатую диаграмму для изображения распределения частот дискретных данных. 21 Наибольший объем материала запланирован для изучения в  IX  классе. Этот   материал   объединен   в   два   параграфа:   «Элементы   комбинаторики»   и «Начальные   сведения   из   теории   вероятностей»,   причем   второй   параграф включает два пункта, один из которых – обязательный, а решение об изучении   На   изучение   вероятностно­ второго   пункта   принимает   учитель. статистического   материала   в  IX  классе   выделяется   12   уроков   (или,   по решению учителя, 15 уроков), из них 8 уроков – на комбинаторику, 3 урока (или, по решению учителя, 6 уроков) – на теорию вероятностей и 1 урок – контрольная работа. Элементы комбинаторики излагаются традиционно. Сначала на простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Затем разъясняется и формулируется комбинаторное правило умножения (которое чаще называют правилом произведения). Далее последовательно вводятся понятия перестановки, размещения из n  элементов   по  k  и   сочетания   из  n  элементов   по  k.   С   помощью комбинаторного   правила   умножения   выводятся   формулы   для   вычисления числа всевозможных перестановок, размещений и сочетаний из данного числа п элементов. Изложение материала сопровождается большим числом задач для   самостоятельного   решения.   Комбинации   с   повторением   элементов   не рассматриваются (кроме нескольких несложных примеров).  Соответствующее   планирование   приведено   в   «Методическом комментарии» в конце указанного пособия. В §3 «Элементы комбинаторики» содержится четыре пункта: 1. Примеры комбинаторных задач. 2. Перестановки. 3. Размещения. 4. Сочетания. Последний   параграф   пособия   «Начальные   сведения   из   теории вероятностей» включает в себя два пункта: 22 1. 2. Вероятность случайного события. Сложение и умножение вероятностей. Как   указывают   авторы   в   методическом   комментарии   к   пособию,   в пункте   «Вероятность   случайного   события»   вводятся   начальные   понятия теории вероятностей, формируется представление о случайных, достоверных и   невозможных   событиях,   приведены   статистическое   и   классическое определение   вероятности.   При   вычислении   вероятностей   используются формулы комбинаторики. Авторы   пособия   использовали   тот   же   подход   к   введению   базовых понятий теории вероятностей, который реализован в УМК под редакцией Г.В. Дорофеева: школьникам показывают, что понимать под словом «вероятность» и   как   оценивать   вероятность   наступления   несложных   случайных   событий сначала на качественном уровне – по результатам простейших экспериментов, а   позднее   происходит   количественный   подсчет   вероятностей.   Однако,   при реализации   этого   подхода   авторы   пособия,   будучи   жестко   ограниченными выделенным на изучение временем и, как следствие, малым объемом пособия, проявили   определенную   непоследовательность   –   не   смогли   избежать некоторых противоречий и не дали четкого понятия о вероятности случайного события   и   способах   ее   нахождения   в   различных   частных   случаях.   Пункт «Вероятность случайного события» начинается с рассмотрения эксперимента и его результата. В последнем пункте пособия «Сложение и умножение вероятностей» рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей и связанные с ними   понятиями.   Авторы   вводят   понятие   несовместных   событий   и рассматривают случаи наступления одного из двух несовместных событий, не вводя   понятия   «сумма   случайных   событий».   Далее   разъясняется   понятие «противоположные   события»   и   формулируется   утверждение   о   сумме вероятностей противоположных событий. 23 В   заключении   авторы   формулируют   утверждение   о   вероятности события,   состоящего   в   совместном   появлении   двух   независимых   событий. При   этом   не   вводится   понятие   «произведение   случайных   событий»,   не вводится и понятие условной вероятности.  В   заключении   отметим,   что   пособие   содержит   большое   количество интересных, хорошо подобранных упражнений разного уровня сложности, к большинству из которых даны ответы и указания по решению. К сожалению, в ответах много опечаток, есть неточности и ошибки (подробное рассмотрение ошибок имеется в статье В.Н. Студенецкой, О.М. Фадеевой «Статистика и теория вероятностей на пороге основной школы»). Материал пункта 1 является подготовительным к пунктам 2­4. в нем рассматриваются   примеры   комбинаторных   задач,   при   решении   которых требуется непосредственно составлять те или иные комбинации и лишь после этого подсчитывать число возможных вариантов. Этот этап очень важный. В процессе  составления  различных  комбинаций учащиеся  начинают  понимать структуру той или иной комбинации, а также усваивают способы рассуждений и подсчета вариантов. Здесь же разъясняется и формулируется комбинаторно правило   умножения,   которое   неоднократно   используется   при   изучении последующего материала. Для   того   чтобы   разъяснить   учащимся   смысл   этого   правила, рассматривается такая задача: «Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?». При решении этой задачи сначала составляется древо всех возможных вариантов. Первая цифра Вторая цифра 1 3 3 1 5 7 5 1 3 7 7 1 3 5 5 7 24 Третья цифра 5 7 3 7 3 5 5 7 1 7 1 5 3 7 1 7 1 3 3 5 1 5 1 3 Далее делается важное замечание, что ответ на поставленный вопрос в задаче   можно   получить,   не   выписывая   сами   числа   и   не   строя   дерево возможных  вариантов.  Рассуждать  будем   так.  Первую  цифру   трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так после выбора первой цифры останутся  три,  то вторую  цифру можно  выбрать из оставшихся  цифр  уже тремя   способами.   Наконец,   третью   цифру   можно   выбрать   (из   оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4∙3∙2 = 24. После   этого   формулируется   комбинаторное   правило   умножения: «Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый  элемент можно выбрать  n1  способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся  n2  способами, затем третий элемент   –  n3  способами   и   т.д.,   то   число   способов,   которыми   могут   быть выбраны все k элементов, равно произведению n1∙n2∙n3∙…∙nk». Применение   правила   умножения   иллюстрируется   на   следующем примере: «Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги,   из   города   С   до   пристани   –   две   дороги   (рис.   1).   Туристы   хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут? Решение. Путь из А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в   каждом   случае   они   могут   проехать   из   В   в   С   тремя   способами.   Значит, имеется 2∙3 вариантов маршрута из А в С. Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2∙3∙2, т.е. 12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани. 25 Упражнения   в   данном   пункте   направлены   на   составление   различных комбинаций и подсчет числа возможных вариантов этих комбинаций. В   конце   пункта   4   помещены   задания   смешанного   типа,   в   которых рассматриваются   различные   комбинации   элементов   (перестановки, размещения, сочетания). Дополнительные   упражнения   к   §3   «Элементы   комбинаторики» включают   усложненные задания.  Они могут быть использованы  в  работе с учащимися, проявляющими интерес и склонности к математике. В   2004   году   издательством   «Дрофа»   было   выпущено   пособие   Е.А. Бунимовича,   В.А.   Булычева   «Основы   статистики   и   вероятность»   для   5­9 классов.   Пособие   содержит   необходимый   теоретический   и   интересный практический   материал   для   изучения   новой   вероятностно­статистической линии. Пособие может быть использовано вместе с любым из действующих учебников.  Цель   данного   пособия   –   помочь   ребенку   в   формировании вероятностного   мышления,   в   освоении   школьного   курса   «Вероятность   и статистика»,   помочь   учителю   в   постановке   преподавания   этого   нового материала.  В   книге   содержится   дополнительный   теоретический   материал   и соответствующие ему блоки задач, которые могут оказаться полезными для проведения   занятий   в   профильных   классах,   математических   кружках   и   на факультативах.   Ко   всем   задачам   учебного   пособия   даны   ответы,   а   к большинству задач – подробные указания, комментарии и решения. За последние годы были приняты неоднократные попытки изменения способа предоставления информации ученикам путем внедрения учебников с новыми методиками (учебники М.И. Моро, Л.Г. Петерсона, Н.Б. Истоминой и др). Начиная с 5 классов новая программа была введена, но учителя начальных классов   категорически  отказываются   от   новой   программы   и  предпочитают работать по классической, проверенной годами методике. Этим и объясняется 26 разница в предоставлении  материала ученикам 1­4 и 5­6 классов. По этой причине происходит снижение уровня мотивации, как у школьников, так и у учителей, не выявляется или теряется интерес к получению информации, не наблюдается улучшения в познании нового. Учебники   различных   авторов   содержат   как   базовое   содержание,   так   и углубленное,   но   в   различных   соотношениях.   Учебник   математики   Л.Г. Петерсона   состоит   на   44   процента   из   базовых   компонентов   и   и   на   56 процентов из углубленного расширенного содержания. Что касается базовых знаний, то основную часть материала,   а именно 70 процентов, составляют арифметические действия и примеры, по 30 процентов занимают величины и   и   всего   лишь   9   процентов   занимают геометрические   фигуры, пространственные   величины,   которые   требуют   сравнения,   анализа   и мышления. Из углубленного содержания большую часть занимают дроби и множества, по 3­5 процентов оценка результатов вычислений, вычисления по формулам, уравнения, таблицы, диаграммы, комбинаторика, логика. И лишь по 1 проценту круглые тела, осевая симметрия, делители и кратные числа. Большинство   заданий   построено   на   принципах   повторения   и   закрепления. Несомненно, повторение должно быть, необходимо закреплять пройденный материал, но это должно быть построено таким образом, чтобы повторение пройденного материала  пересекалось   с  изучением  нового, просматривалась взаимосвязь между пройденным и изучаемым. Например,   в   учебнике   Н.Я.   Виленкина   эта   взаимосвязь   при   повторении проявляется крайне слабо, ученики отводят много времени исключительно повторению   пройденного   материала   без   какого   либо   намека   на   освоение новых   знаний   и   навыков.   Ученики,  занимающиеся   в  5  классе   по   учебнику Виленкина   начинают   проходить   новый   материал   лишь   к   концу   первого полугодия, получается что за несколько месяцев они не научились ничему новому, а проходили старый, изученный материал. Анализ учебника показал, что  57 процентов заданий и материала соответствуют учебнику и уровню 5 27 класса,   36   процентов   уровню   3   и   4   класса,   и   лишь   7   процентов   заданий повышенной   сложности.   По   уровню   сложности   учебник   Н.Я.Виленкина значительно уступает, например, учебнику Л.Г. Петерсона. Чтобы   решить   острую   на   сегодняшний   день   проблему несогласованности   материалов   учебников   1­4   и   5­6   классов   потребуется немало   времени.   В   первую   очередь   необходимо   создать   и   внедрить   на практике единый учебно­методический комплекс для 1­6 классов, согласовать содержание   и   материал   учебников,   прийти   к   одному   мнению   в   выборе методики. Комбинаторная,   вероятностная,   статистическая   компоненты содержания   представляют   собой   некоторый   минимум,   доступный   уже младшим   школьникам   и   достаточный   для   формирования   у   них комбинаторного стиля мышления, вероятностной интуиции и первоначальных вероятностно­статистических представлений. Об этом свидетельствует опыт практического преподавания соответствующего материала по учебникам Л.Г. Петерсон. В среднем звене эта линия получит дальнейшее развитие. Для   внедрения   указанного   содержания   в   практику   уже   с   начальной   Имеется   учебно­методическое школы   созданы   реальные   условия. обеспечение, позволяющее включать элементы комбинаторики, статистики и теории   вероятностей   в   учебный   процесс.   Учебники   по   математике   Л.Г. Петерсон   (программа   «Школа   2000…»),   авторского   коллектива   Т.Е. Демидовой, С.А.Козловой и А.П. Тонких (УМК «Школа 2100»)   содержат соответствующий   материал   как   органическую   часть   курса.   К   другим подготовлены специальные учебно­методические пособия, например, в УМК «Гармония»   создан   комплект   тетрадей   на   печатной   основе   (3   тетради) «Учимся решать комбинаторные задачи» Н.Б. Истоминой. Помимо этого есть публикации, раскрывающие методику преподавания названного материала как по конкретным учебникам, так и в общем плане. 28 Часто материал содержательной линии «Элементы стохастики» новый для современной начальной школы и, возможно, частично не знаком учителю. Поэтому   важно   пояснить   на   элементарном   уровне   важнейшие   понятия комбинаторики, теории вероятностей и статистики.  Элементы комбинаторики Комбинаторика  –   это   раздел   математики,   посвященный   задачам выбора   и   расположения   предметов   из   различных   конечных   множеств. Согласно   этому   определению   комбинаторики   комбинаторными   задачами следует   считать   «задачи,   касающиеся   перебора   вариантов   происходящих событий» . Комбинаторные задачи принято классифицировать по их требованию . В связи с этим выделяют следующие их виды: 1.  Найти   комбинацию   элементов,   обладающую   заранее   заданными свойствами. 2. Доказать существование или отсутствие комбинаций элементов с заданными свойствами. 3. Найти общее число комбинаций элементов с заданными свойствами. 4. Найти решения и  из всех решений данной комбинаторной задачи выбрать оптимальное по тем или иным параметрам, критериям. Отметим,   что   основное   понятие   комбинаторики   –   понятие «комбинация» – дети осваивают на интуитивном уровне, опираясь на текст и контекст каждой конкретной задачи. Комбинация может трактоваться как вид соединения элементов. Целенаправленное   обучение   решению   комбинаторных   задач, несомненно,   способствует   развитию   комбинаторного,   конструктивного мышления,   такого   его   качества,   как   вариативность.   Под   вариативностью мышления понимают направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задачи в случае, когда нет специального указания 29 на   это.   Как   известно,   комбинаторное   мышление   тесно   связано   со становлением   умственных   операций,   с   развитием   творческих   способностей ребенка.  Как показывает опыт работы, решение комбинаторных задач увлекает и вызывает   огромный   интерес   у   младших   школьников,   они   с   большим удовольствием   начинают   заниматься   придумыванием   и   составлением собственных задач [17]. 30 Заключение Исследуя тему «Развитие комбинаторных способностей учащихся: курс математики 5­6 класс» проанализировали научно­методическую литературу, выявили   уровень   логического   мышления   учащихся   5­6   классов   основной школы. Так же изучили психологические особенности учащихся 5­6 классов основной школы, изучили методику ознакомления учащихся с задачами на комбинаторику.  Цель исследования выполнена – изучили методику обучения решению комбинаторных задач и задач на вероятность в 5­6 классах основной школы. Гипотеза,   положенная   в   основу   исследования   подтверждается   – возможно   сформировать   первоначальное   представление   о   вероятности   и научить   решать   комбинаторные   задачи   учащихся   5­6   классов,   используя методы проблемного обучения, занимательные задачи. 31 Приложение. Сборник основных правил комбинаторики и упражнений для их применения Примеры комбинаторных задач 1. Пример 1. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары? Решение: Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ. Выпишем   теперь   пары,   в   которые   входит   Григорьев,   но   не   входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ. Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ. Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров уже составлены. Итак, мы получили 6 пар: АГ, АС, АФ ГС, ГФ СФ, т.е. 3∙2∙1=6. значит, существует всего шесть вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы. Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов. Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза? При решении этой задачи сначала составляется древо всех возможных вариантов. 32 Первая 1 цифра Вторая цифра Третья цифра 3 5 7 3 1 5 7 5 1 3 7 7 1 3 5 3 7 5 3 Заметим, что ответ на поставленный в примере вопрос можно получить, 7 3 5 5 7 1 7 1 3 7 7 1 5 1 3 3 5 1 5 1 не выписывая сами числа и не строя дерево возможных вариантов. Рассуждать будем   так.   Первую   цифру   трехзначного   числа   можно   выбрать   четырьмя способами. Так после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4∙3∙2 = 24. Ответ на поставленный в примере 2 вопрос мы нашли, используя так называемое комбинаторное правило умножения.  Пусть   имеется  n  элементов   и   требуется   выбрать   один   за   другим некоторые  k  элементов. Если первый элемент можно выбрать  n1  способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n2 способами, затем третий элемент –  n3  способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1∙n2∙n3∙…∙nk. Упражнения   в   данном   пункте   направлены   на   составление   различных комбинаций и подсчет числа возможных вариантов этих комбинаций. Упражнения 1. В   кафе   предлагают   два   первых   блюда:   борщ,   рассольник   –   и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов. 2. Имеется   белый   хлеб,   черный   хлеб,   сыр,   колбаса   и   варенье. Сколько видов бутербродов можно приготовить? 33 3. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод? Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу суммы, можно осуществить 5 + 4 = 9 способами. 4. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов, состоящую из яблока и апельсина? Решение: По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе пары (яблоко, апельсин),   то   ее,   согласно   правилу   произведения,   можно   выбрать   5∙4=20 способами. 5. Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 7, 4 и 5 при условии, что они в записи числа не повторяются? Решение:   чтобы   записать   двузначное   число,   надо   выбрать   цифру десятков   и   цифру   единиц.   Согласно   условию   на   месте   десятков   в   записи может быть любая из цифр 7, 4 и 5. другими словами, выбрать цифру десятков можно тремя способами. После того, как цифра десятков определена, для выбора цифры единиц остается две возможности, цифры в записи числа не должны повторяться. Так как любое двузначное число – это упорядоченная пара,   состоящая   из   цифр   десятков   и  цифр   единиц,  то   ее  выбор,  согласно правилу произведения, можно осуществить 3∙2=6 способами. 6. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5? Решение: в данной задаче рассматриваются трехзначные числа, так как цифры   в   записи   этих   чисел   могут   повторяться,   то   цифру   сотен,   цифру десятков   и   цифру   единиц   можно   выбрать   тремя   способами   каждую. Поскольку   запись   трехзначного   числа   представляет   собой   упорядоченный 34 набор   из   трех   элементов,   то,   согласно   правилу   произведения,   его   выбор можно осуществить 3∙3∙3=27 способами. 7. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3? Решение:   Запись   четырехзначного   числа   представляет   собой упорядоченный   набор   (кортеж)   из   четырех   цифр.   Первую   цифру   –   цифру тысяч можно выбрать только одним способом, так как запись числа не может начинаться   с   нуля.   Цифрой   сотен   может   быть   либо   ноль,   либо   три,   т.е. имеется   два   способа   выбора.   Цифру   десятков   можно   выбрать   двумя способами,   цифру   единиц   –   двумя.   Чтобы   узнать,   сколько   всего четырехзначных   чисел   можно   составить   из   цифр   0   и   3,   согласно   правилу произведения, способы выбора каждой цифры надо перемножить: 1∙2∙2∙2=8. таким образом, имеем 8 четырехзначных чисел. 8. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая из них может быть использована в записи только один раз? Решение: Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру сотен   можно   выбрать   пятью   способами;   выбор   можно   также   осуществить пятью способами, поскольку цифры в записи числа не должны повторяться, а одна из шести цифр будет уже использована для записи сотен; после выбора двух цифр (для записи сотен и десятков) выбрать цифру единиц из данных шести   можно   четырьмя   способами.   Отсюда,   по   правилу   произведения, получаем, что трехзначных чисел можно образовать 5∙5∙4 = 100 способами. 9. У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила   двух   из   них   пригласить   в   кино   укажите   все   возможные   варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов? 10. Сколько можно составить пар, выбирая: а) первый предмет из 4, а второй из 8;  35 б) первый предмет из 6, а второй из 3; в) первый предмет из 15, а второй из 12; 11. В   школе   есть   все   классы   с   1   по   11.   каждый   из   них   имеет дополнительную букву «а», «б», «в», «г» или «д». сколько всего классов в этой школе? 12. на каждом барабане игрального автомата  изображены символы: «вишня», «лимон» и числа от 1 до 9. автомат имеет три одинаковых барабана, которые   вращаются   независимо   друг   от   друга.   Сколько   всего   комбинаций может выпасть? 13. Первый класс праздновал Новый год. Каждая девочка подарила каждому   мальчику   открытку,   а   каждый   мальчик   подарил   каждой   девочке гвоздику. Чего было больше – подаренных открыток или подаренных гвоздик? 14. Стадион   имеет   4   входа:   А,   В,   С   и   Д.   укажите   все   возможные способы,   какими   посетитель   может   войти   через   один   вход   и   выйти   через другой. Сколько таких способов? 15. Укажите все способы, какими можно разложить три яблока в две вазы (учтите при этом случаи, когда одна из ваз окажется пустой). 16. Составьте все возможные двузначные числа, используя в записи указанные цифры не более одного раза: б)0, 3, 4. а) 1, 6, 8; 17. Из цифр 1, 2, 3 составьте все возможные двузначные числа при условии, что: а) цифры в числе не повторяются; б) допускается повторение цифр в числе. 18. Используя цифры 0, 2, 4, 6, составьте все возможные трехзначные числа, в которых цифры не повторяются. 19. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно? 36 20. В   соревнованиях   по   футболу   участвовало   12   команд.   Каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре на своем поле и по одной игре на поле соперника. Сколько всего игр было сыграно? 21. При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? 22. Учащиеся 6 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 24 человека? 23. На   входной   двери   дома   установлен   домофон,   на   котором нанесены цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. каждая квартира получает кодовый замок из двух цифр типа 0­2, 3­7, 7­3, 8­8 и т.п., позволяющий открывать входную дверь. Хватит ли кодовых замков для всех квартир дома, если в доме 96 квартир? 24. Из села Дятлово в село Матвеевское ведут три дороги, а из села Матвеевское в село Першино – четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из Датлова в Першино через Матвеевское? 25. В   кафе   имеются   три   первых   блюда,   пять   вторых   блюд   и   два третьих.   Сколькими   способами   посетитель   кафе   может   выбрать   ответ, состоящий из первого, второго и третьего блюд? Решение.   Первое   блюдо   можно   выбрать   3   способами.   Для   каждого выбора  первого  блюда  существует  5  возможностей   выбора  второго   блюда. Значит,   первые   два   блюда   можно   выбрать   3∙5   способами.   Наконец,   для каждого выбора третьего блюда, т.е. существует 3∙5∙2 способов составления обеда   из   трех   букв.   Итак,   обед   из   трех   букв   может   быть   составлен   30 способами. 26. Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы:   пять   пар   брюк,   шесть   камзолов,   три   шляпы   и   две   пары   сапог. 37 Сколько   различных   карнавальных   костюмов   можно   составить   из   этих предметов? Перестановки 2. Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества являются перестановки. Рассмотрим  пример   1.   Пусть   имеются   три   книги.   Обозначим   их буквами a, b, c. Эти книги можно расставить на полке по­разному: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Каждое   из   этих   расположений   называют   перестановкой   из   трех элементов. Перестановкой из  n  элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn (читается «Р из n»). Мы установили, что Р3 = 6. для того, чтобы найти число перестановок из трех элементов, можно не выписывать эти перестановки, а воспользоваться правилом   умножения.   Будем   рассуждать   так.   На   первое   место   можно поставить любой из трех элементов. Для каждого выбора первого элемента есть   две   возможности   выбора   второго   из   оставшихся   двух   элементов. Наконец, для каждого выбора первых двух элементов остается единственная возможность выбора третьего элемента. Значит, число перестановок из трех элементов равно 3∙2∙1, т.е. 6. Выведем теперь формулу для числа перестановок из п элементов. Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из   них.   Для   каждого   выбора   первого   элемента   на   второе   место   можно поставить один из оставшихся  n­1 элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить  один из оставшихся  n­2 элементов и т.д. в результате получим, что 38 Pn = n(n­1)(n­2) ∙…∙3∙2∙1. Расположив множители в порядке возрастания, получим Pn = 1∙2∙3∙…∙(n­2)(n­1)n. Для   произведения   первых  n  натуральных   чисел   используется специальное обозначение: n! (читается «n факториал»). Таким   образом,   число   всевозможных   перестановок   из  n  элементов вычисляется по формуле Pn = n! Например, 2!=1∙2=2; 5!=1∙2∙3∙4∙5=120. По определению считают, что 1!=1. Применение данной формулы иллюстрируется в пособии следующими примерами. Пример 2.  Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках? Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа перестановок находим, что Р8 = 8!= 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 = 40320. Значит,   существует   40320   способов   расстановки   участниц   забега   на восьми беговых дорожках. Пример 3. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6? Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. число таких перестановок равно Р3. значит, искомое число четырехзначных чисел (без повторения цифр), которые можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, равно Р4 – Р3. Получаем, Р4 – Р3 = 4! – 3! = 24 – 6 = 18. Пример   4.  Имеется   девять   различных   книг,   четыре   из   которых   – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом? 39 Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг это можно сделать Р6 способами. В каждой из полученных   комбинаций   можно   выполнить   Р4  перестановок   учебников. Значит,   искомое   число   способов   расположения   книг   на   полке   равно произведению Р6∙Р4 = 6! ∙4! = 720∙24 = 17280. Упражнения  27. Сколькими   способами   4   человека   могут   разместиться   на четырехместной скамейке? 28. Курьер   должен   разнести   пакеты   в   7   различных   учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать? 29. Сколькими   способами   9   человек   могут   встать   в   очередь   в театральную кассу? 30. В   автосервис   одновременно   приехали   3   машины   для   ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание? 31. Сколько есть способов раздать спортивные номера с 1 по 5 пяти хоккеистам? 32. Сколько   существует   выражений   тождественно   равных произведению аbcde, которые получаются из него перестановкой множителей? 33. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 6, 7, но забыла в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге. 34. Сколько   шестизначных   чисел   (без   повторения   цифр)   можно составить из цифр: а) 1, 2, 5, 6, 7, 8; 35. б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?   Сколько   среди   четырехзначных   чисел   (без   повторения   цифр), составленных из цифр 3, 5, 7, 9, таких, которые: а) начинаются с цифры 3; б) кратны 15? 40 36.  Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без их повторения). 37. Сколько чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, таких которые: а) больше 3000;  38. Семь   мальчиков,   в   число   которых   входят   Олег   и   Игорь, б) больше 2000? становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если: а) Олег должен находиться в конце ряда; б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце; в) Олег и Игорь должны стоять рядом. Решение. а) так как место Олега фиксировано, то число комбинаций зависит   от   расположения   остальных   шести   мальчиков.   Значит   число комбинаций равно Р6=6!=1∙2∙3∙4∙5∙6=720.  б) Так как места Олега и Игоря фиксированы, то число комбинаций зависит   от   расположения   пяти   остальных   мальчиков,   т.е.   равно   Р5=5! =1∙2∙3∙4∙5=120. в)   Будем   рассматривать   пару   Олег­Игорь   как   один   элемент. Расположение этой пары и пяти остальных мальчиков может быть выполнено Р6=6!   способами.   В   каждой   из   этих   комбинаций   Олег   и   Игорь   могут располагаться   Р2=2!   Способами.   Значит   искомое   число   способов расположения мальчиков равно Р6∙Р2=6! ∙2!=720∙2=1440. 39. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология,   история,   физкультура,   химия.   Сколькими   способами   можно составить расписание на этот день так, чтобы два урока математики (алгебра и геометрия) стояли рядом? 40. Сколько существует перестановок букв слова «конус», в которых буквы к, о, н стоят рядом? 41 41. Сколькими   способами   можно   расставить   на   полке   12   книг,   из которых 5 книг – это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом? 42. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это сделать,  если   мальчики   будут   сидеть  на  нечетных  местах,  а  девочки  –  на четных? Решение. Если мальчики и девочки сядут в один ряд в произвольном порядке, то это можно сделать Р10=10!=3628800 способами. Если мальчики сядут   на   нечетные   места,   то   существуют   Р5  способов   их   расположения. Столькими же способами могут расположиться девочки на четных местах. Каждому   способу   расположения   мальчиков   соответствует   Р5  способов расположения   девочек.   Значит,   расположиться   так,   что   мальчики   будут сидеть   на   нечетных   местах,   а   девочки   –   на   четных,   можно   Р5∙Р5=5!   ∙5! =120∙120=14400 способами. 43. Делится ли число 30! на: а) 90; б) 92; в)94; г) 96? Решение. а) 90=2∙5∙9. Среди множителей числа 30! есть числа 2, 5 и 9. значит, число 30! делится на 90. б) 92=4∙23. Среди множителей 30! есть числа 4, 23. Значит, число 30! делится на 92. в)   94=2∙47.   Число   47   простое   и   больше,   чем   30.   Так   как   среди множителей числа 30! нет числа 47, то число 30! не делится на 94. г) 96=2∙3∙16. Среди множителей 30! есть числа 2, 3, 16. Значит, число 30! делится на 96. 44. Делится ли число 14! на: в) 147; а) 168; 45. Найдите значение выражения: б) 136; г) 132? 42 а)  !15 !14 б) !8 !10 в)  !42 !40 Решение: а)  !15 !14  15!14  !14  15 г)  !16  !3!14 б) !8 !10  !8  109!8 !42 !40 в)    1 90  1  109  41!40 !40 42  42 41 1722 г) !16  !3!14   15  15!14 16  321!14 Вычислите значение дроби:  16  32  85 40 46. а)  !5 ; !2 б)  !7 ; !5 в)  !10 ; !8 г)  !12  !3!9 !15  ; д)  !2!13 !100 ; !99 е) в)6! Выпишите все натуральные делители числа: 47. а) 4!; б) 5!; 48. Докажите, что если n