Решение исследовательских задач с помощью программы GeoGebra

Решение исследовательских задач с помощью программы GeoGebra

Приведены примеры задач для организации исследовательской деятельности в рамках математического кружка для обучающихся 9 класса. На занятиях сначала рассматривается математическое решение задач, а затем проводится исследование с помощью программы GeoGebra, работа ведется в компьютерном классе.

ЗАДАЧА 1. Найти все значения параметра a, при которых функция  возрастает на  R.

1. Математическое решение

1) Рассмотрим случай когда , то есть , .  Если , то функция имеет вид  и является возрастающей функцией.  Если , то функция имеет вид - парабола.

2) Пусть  Исследуем функцию с помощью производной. .

, когда;

Найдем дискриминант.

Исследуем знак дискриминанта:

 Если , то функция имеет две экстремальные  точки, то есть она имеет промежутки возрастания и убывания. Это действительно для

 Если  то функция экстремальных точек не имеет. Это действительно для

Нас интересуют случаи когда для всех значений .

Графиком функции  является парабола, ветки которой направлены вверх.  для Найдем координаты вершины параболы

Нас интересуют случаи когда . То есть >0

Это действительно для Учитывая начальные условия получаем для

3) У нас остался случай когда . Тогда  и,

Функция монотонно возрастает.

2.Исследование с помощью программы GeoGebra.

Рис. 1

а) на полотне разместить ползунок  ;

б) построить функцию с параметром

 и установить экстремальные точки (на графике это точки А и В);

в) исследовать положение функции для разных значений .

Выводы:

1)  Если  - график функции возрастающая квадратичная гипербола, экстремальных точек не имеет.         (Рис. 1.1)

2)  Если  - монотонно-возрастающая квадратичная гипербола, одна экстремальная точка.

       Рис. 1.1                Рис. 1.2                   Рис. 1.3

3)  Если  - график функции имеет промежутки возрастания и убывания, две экстремальные точки.                 (Рис. 1.2)

4)  Если  - график функции превращается в параболу. (Рис. 1.3)

5)  Если  - квадратная гипербола имеет промежутки возрастания, убывания и две экстремальные точки. (Рис. 1.4)

      Рис. 1.4            Рис. 1.5               Рис. 1.6

6)  Если  - функция превращается в возрастающую линейную функцию. (Рис. 1.5)

7)  Если  - график функции возрастающая квадратная гипербола, экстремальных точек не имеет. (Рис. 1.6)

Ответ: функция возрастает для  и для  монотонно возрастает.

ЗАДАЧА 2. Найти все значения параметра a, при которых система уравнений не имеет решений.  

1. Математическое решение

Система не имеет решений,  если . То есть  ; ; .

По теореме Виета

1)  Если , то . Система имеет множество решений.

2)  Если , то . Система не имеет решений.

2.Исследование с помощью программы GeoGebra.

а) на полотне разместить ползунок  ;

б) построить графики функций с параметром

 та . Выбрать в меню точку пересечения функций;

Рис. 2

в) меняя значения параметра  с помощью ползунка, рассмотреть разные случаи размещения прямых.

  Если  оба графика совпадают. То есть система имеет бесконечное количество решений.

Рис. 2.1

  Если  графики не пересекаются. То есть, система не имеет решений.

Рис. 2.2

Для всех других значений параметра  графики линейных функций имеют одну общую точку.

Рис. 2.3

Ответ: система уравнений не имеет решений для .

ЗАДАЧА 3. Найти решения уравнения  в зависимости от параметра .

1. Математическое решение

Построим схематически графики функций  и  для ( ). График функции   является графиком убывающей линейной функции. График функции  это возрастающая кривая, наименьшее значение которой точка .

Рис. 3

Наименьшее решение будет когда функция  проходит через точку. То есть  . Значит для всех  всегда будет единое решение.

Найдем его.

.

Так как , то

Возведем правую и левую часть уравнения во 2-ю степень.

.

Так как , то - лишний корень.

2. Исследование с помощью программы GeoGebra.

а) на полотне разместить ползунок  ;

б) построить график функции с параметром

 та . Выбрать в меню точку пересечения функций;

Рис. 3.1

в) изменяя значения параметра с помощью ползунка, рассмотреть различные случаи размещения графиков.

Программа не позволяет найти общую формулу решения уравнения, но она помогает проанализировать для каких значений параметра графики функций пересекаются, то есть уравнение имеет единственное решение. Ответ:  для .

ЗАДАЧА 4. При котором значении параметра расстояние между вершинами парабол и  является наименьшей

1.  Математическое решение

Найдем координаты вершины параболы

Найдем координаты вершины параболы

Определим расстояние между вершинами парабол

Проведем исследование функции  и найдем ее минимальное значение.

- локальный минимум.  Если , то расстояние между вершинами парабол

2. Исследование с помощью программы GeoGebra.

а) на полотне разместить ползунок  ;

б) построить графики функций

 и .

в) В меню программы выбрать Extremum для графиков функций. На рисунке это соответственно точки  и.

Рис. 4

г) В меню программы выбрать "Отрезок" и соединяем точки  и . На панели объектов это отрезок .

д) В меню программы выбрать “Настройки”- “округление”-“5 десятичных разрядов”.

е) переместив ползунок, находим меньше значения расстояния между вершинами парабол  при .

Ответ:  при .

ЗАДАЧА 5. В зависимости от значения параметра решить уравнение .

1.                  Математическое решение

Областью действительных значений х переменной является множество, удовлетворяющее системе неравенств.

Возведем правую и левую часть уравнения в квадрат.

 Если , то есть , то уравнение решений не имеет.

 Если , то есть , то уравнение имеет одно решение  , которое удовлетворяет ОДЗ.

 Если  то есть  то уравнение имеет два корня 

.

Проверим удовлетворяют ли корни первому условию ОДЗ. Для

 Данное выражение действительно для любого значения

Для

 Данное выражение действительно для любого значения

Значит первое условие ОДЗ никаких ограничений для корней не дает.

Проверим второе условие ОДЗ. Для

 Данное выражение действительно для любого значения  

Для

То есть для  кореньне существует.

Проанализировав решение получаем ответ.

Если , то уравнение решений не имеет.

 Если , уравнение имеет одно решение

 Если , уравнение имеет два решения

2. Исследование с помощью программы GeoGebra.

а) на полотне разместить ползунок  ;

б) построить графики функций

 та .

в) изменяя значения параметра а с помощью ползунка, рассмотреть различные случаи размещения графиков.

 Если , то уравнение решений не имеет.

Рис. 5.1

 Если , уравнение имеет одно решение

Рис. 5.2                         Рис. 5.3

 Если , уравнение имеет два решения

Рис. 5.4

Ответ: 1)  Если , то уравнение решений не имеет.

2)  Если , уравнение имеет одно решение

3) , уравнение имеет два решения

Скачано с www.znanio.ru