Тема урока : « Решение логарифмических неравенств введением вспомогательной переменной» .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неравенства, которые содержат переменную под знаком логарифма или в его основании, называются логарифмическими.
Решение логарифмических неравенств основано на строгой монотонности логарифмической функции. Известно, что
·
при основании,
большем единицы (a>1), логарифмическая функция
возрастает (т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение
функции, ).
·
при
положительном основании, меньшем единицы(0<a<1), логарифмическая функция убывает
(т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, ).
Именно монотонность логарифмической функции позволяет решать простейшие логарифмические неравенства.
Теорема: Если f(x)
> 0 и g(x) > 0, то:
при a > 1 логарифмическое неравенство log a f(x)
> log a g(x) равносильно неравенству того же
смысла: f(x) > g(x);
при 0 < a < 1 логарифмическое неравенство log a f(x)
> log a g(x) равносильно неравенству противоположного
смысла: f(x) < g(x).
и
Решение простейших логарифмических неравенств мы рассматривали на прошлой лекции, сегодня еще один подход к решению логарифмических неравенств.
Некоторые логарифмические неравенства можно решить методом замены переменной. Рассмотрим несколько примеров на применение данного метода:
Пример 1: Решить
неравенство
Решение : ОДЗ: х>0
Введем замену ,
тогда получим неравенство
или
Сделаем обратную замену , т.к. основание логарифма 10>1
Ответ:
Пример 2: Решить
неравенство
Решение:
ОДЗ:
К первому логарифму в левой части
неравенства применим свойство логарифма степени:
С учетом ОДЗ, получим:
Введем замену
, тогда получим неравенство
или
Делаем обратную замену:
Так как основание логарифмов больше 1, то знаки неравенств сохраняются и получаем систему:
Пересечение с ОДЗ дает этот же промежуток.
Ответ:
Пример 3: Решить неравенство
Решение:
ОДЗ:
Введем замену , тогда неравенство примет вид:
Перенесем все влево и сведем к общему
знаменателю:
Получим
Делаем обратную замену и возвращаемся к
первоначальной переменной :
Так как основание логарифмов больше 1, то
знаки неравенств сохраняются и получаем:
Пересекая с ОДЗ, окончательно имеем: .
Ответ:
Пример 4: Решить
неравенство
Решение:
ОДЗ:
Используя свойство логарифма степени и формулы замены основания, приведем второй логарифм к основанию 3
Введем замену , тогда неравенство примет вид:
при
любом значении t, так как дискриминант квадратного трехчлена
.
Следовательно
Перейдем к х, для этого делаем
обратную замену:
Так как основание логарифмов больше 1, то
знаки неравенств сохраняются. Пересекая с ОДЗ, окончательно имеем промежуток:
.
Ответ:
Пример 5: Решить
неравенство
Решение:
ОДЗ:
Используя формулы замены основания, приведем все логарифмы в рассматриваемом неравенстве к логарифмам по основанию 2:
Распишем полученные логарифмы, используя свойство суммы логарифмов:
Введем замену
, тогда неравенство примет вид:
Имеем Сделаем обратную замену:
Так как основание логарифмов больше 1, то
знаки неравенств сохраняются:
То есть С учетом ОДЗ,
окончательно имеем:
Ответ:
Пример
6: Решите неравенство
Решение:
ОДЗ:
Используя формулы замены основания, приведем все логарифмы в рассматриваемом неравенстве к логарифмам по основанию 3:
Введем замену
, тогда неравенство примет вид:
Имеем Сделаем обратную замену:
Так как основание логарифмов больше 1, то
знаки неравенств сохраняются: С учетом ОДЗ, окончательно имеем:
Ответ:
Пример 7: Решите неравенство
Решение:
ОДЗ:
Введем замену
, тогда неравенство примет вид:
Имеем Сделаем обратную замену:
Так как основание логарифмов больше 1, то
знаки неравенств сохраняются:
С учетом ОДЗ, окончательно имеем:
Ответ:
Пример 8: Решите неравенство
Решение:
ОДЗ:
Введем замену
, тогда неравенство примет вид:
Имеем Сделаем обратную замену:
Так как основание логарифмов больше
1, то знаки неравенств сохраняются:
С учетом ОДЗ, окончательно имеем:
Ответ:
Скачано с www.znanio.ru
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.