Решение уравнений высших степеней

 

ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

 

Алгебраические уравнения первой степени с неизвестным уже были решены в Древнем Египте и в Вавилоне. Вавилонские книжники знали, как решать квадратные уравнения, а также простые системы линейных уравнений и квадратных уравнений. Используя скомпилированные таблицы, они решили некоторые уравнения третьей степени, например, x³ + x = a. В древней Греции квадратные уравнения решались с помощью геометрических построений. Используя геометрические методы математики из средневековья, они изучали кубические уравнения, но не могли вывести формулу для их решения. У уравнений высших степеней очень интересная и драматическая история, которая началась в 11 веке, когда Омар Хаям впервые решил уравнения третьей степени, а затем в конце 18 века французский ученый Луи Лагранж попытался доказать невозможность алгоритма общих уравнений. В начале 19 века француз Гуала поддержал мысль Лагранжа, с тех пор начались поиски методов решения уравнений высших степеней.

Ученый-самоучка Тарталья Никколо, изобрел формулу для решаемых уравнений третьей степени, но свое открытие держал в тайне, до тех пор пока не рассказал о своей формуле Джероламо Кардано, который обещал никому не рассказывать об этой тайне, но обещание не сдержал и опубликовал алгоритм в своей книге «Великое искусство», лишь мельком упомянув о Тарталье, сейчас эта формула называется формулой Кардано.

 В это время Л. Феррари нашел решение уравнений четвертой степени, мы их знаем как биквадратные уравнения. Также был известный английский математик Ульям Хорнер, который является изобретателем схемы Горнера в 1819 году, которая является одним из самых легких способов решения уравнений высших степеней. Затем был математик Виет, который особенно гордился своей теореме о зависимости между корнями квадратного уравнения и его коэффициента, которую он получил самостоятельно и она по сей день актуальна - теорема Виета.

 

2.1. Решение уравнений 3-ей степени

 

Кубическое уравнение — алгебраическое уравнение вида

, где  [18]

Для того, чтобы получить общее решение кубического уравнения, необходимо привести его к каноническому виду

Это можно сделать путем деления уравнения на старший коэффициент  после чего провести замену переменной 

При этом коэффициенты будут раны:

 

 

2.1.1. Формула Кардано

 

Введем две переменные u и v, которые [18]

подставив их в уравнение получим

введем дополнительное условие для переменных, а именно:

 

подставив ее в уравнение, и использовав

 

получим и решим квадратное уравнение относительно следующим образом:

Существует всего три решения уравнения один из них:

Если         та:

, то уравнение имеет один действительный корень и два комплексных;

·           , то все корни уравнения являются разными действительными числами;

·           то все корни уравнения являются действительными числами, при этом два из них обязательно одинаковы.

Фо́рмула Карда́но — это формула для аналитического решения канонического кубического уравнения  вида .

Она имеет вид:

Названа в честь Джироламо Кардано, кто первый опубликовал ее.

Выведение формулы Кардано

пусть дано уравнение

Будем искать его решение в виде:

Получим уравнение

введем дополнительное условие для переменных

полученную систему

 

решим с помoщью формулы Виета для квадратного уравнения и получим:

где          — дискриминант кубического уравнения, откуда,

 

Решение уравнения подается в виде . В комплексных числах кубический корень имеет 3 разных значения. Для получения решения необходимо выбирать такие пары значений кубического корня, чтобы
. Таких пар обязательно найдется ровно 3.

 

1.1.2.   Теорема Виета

 

Тригонометрическая формула Виета — один из способов  решения кубических уравнений   [18]

Формула

·              Вычислим 

·              Вычислим

·           Если  , то вычисляем   и получим три действительных корня:

 

·           Если , то заменяют тригонометрические функции гиперболическими. Тут возможны следующие случаи в зависимости от значения Q:

:

          (действительный корень)

  (пара комплексных корней)

:

 

 (действительный корень)

 (пара комплексных корней)

:

 (действительный корень)

  (пара комплексных корней)

·           Если , то уравнение вырожденное и имеет меньше чем 3 разных корня (второй корень будет кратным 2):

 

 

Выведение формулы:

·           Исходный многочлен имеет вид

·              Подстановка   приведем многочлен к виду 

 , где  и

·           Ищем решение уравнения

в виде  , получим уравнение

 

·           В случае  при  это уравнение получит вид

 

·                     Используем тригонометрическое тождество 

 

приведем к уравнению вида            .

·                     Решение этого уравнения имеет вид

 

, де k получает значения  1, 2, 3.

·              Подставим полученное значение   в выражение для переменной  x, получим ответ    

 

 

 

 

 

1.1.3.   Теорема Безу

 

Теорема Безу позволяет сформулировать практическое правило разложения на множители левой части уравнения с целыми коэффициентами: [18]

1) если сведенное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена, поэтому выписываем делители свободного члена;

2) проверяем, не превращает какой-либо делитель а левую часть уравнения в ноль; если левая часть равна нулю, то этот делитель является корнем, то есть многочлен делится на х – а;

3) делим многочлен на х – а  и подаем его в виде

 - многочлен, степень которого равна n-1;

4) аналогично действуем с многочленом Q(x)

Пример. Решить уравнение х³ - 4х² + х + 6 = 0.

1)        выписываем делители свободного члена: 6

2) выясняем поочередно, какой делитель превращает левую часть уравнения в ноль: f(x) =(-1)³ – 4(-1)² – 1+6=-1 – 4 – 1 + 6=0, x₁= -1 - корень уравнения;

3) делим левую часть уравнения на х + 1:

Таким образом, х³ - 4х² + х + 6 = (х + 1)(х² - 5х + 6) = 0;

Решив уравнение второй степени х² - 5х + 6 = 0, получаем х₂ = 2; х₃ =3.

Ответ: -1; 2; 3.

 

1.1.4.   Схема Горнера

 

Деление многочлена a₀ xⁿ + a₁ x^n-1+a₂ x^n-2+…+a_n-1x +a_n на линейный двучлен  x – a  можно выполнять с помощью схемы Горнера, которая позволяет

находить коэффициенты многочлена степени (n - 1)

	a0	a1	a0	…	an
a	a0	b1 =ab0 + a1	b2 =ab1 + a2	…	bn =abn-1 + an
	Коэффициенты многочлена  (n – 1) степени				Остаток

 

В результате получаем многочлен степени (n – 1)

a₀ x^n-1+b₁ x^n-2+ b₂ x^n-3+… b_n-2 x + b_n-1 b  и остаток b_n =ab_n-1 +a_n

Таким образом, если остаток b_n =0, то число а является корнем многочлена.

Пример.

Решите уравнение х⁴ +2х³- 12х² – 8х+32=0

Выпишем делители свободного члена:

Проверим с помощью схемы Горнера какие из данных чисел являются  корнями уравнения.

	1	2	-12	-8	32
1	1	1×1+2=3	1×3+(-12)=-9	1×(-9)+(-8)=-17	1×(-17)+32=15
-1	1	-1×1+2=1	-1×1+(-12)=-13	-1×(-13)+(-8)=5	-1×5+32=27
2	1	2×1+2=4	2×4+(-12)=-4	2×(-4)+(-8)=-16	2×(-16)+(-32)=0

 

Таким образом,  х=2 это корень уравнения.

Следовательно, уравнение можно представить в виде:

х⁴ +2х³- 12х² – 8х+32=(х-2)( х³+4х² – 4х – 16)=0

Теперь схему Горнера можно применить к многочлену третьей степени, исключив из проверки числа .  Число 2 нужно перепроверить  поскольку оно может быть кратным корнем. В результате получим такие корни: -4; -2, 2

 

Таким образом,  нами рассмотрены основные способы решения уравнений третьей степени, а именно формула Кардано, теорема Виета, схема Горнера и теорема Безу и приведены примеры их использования.

2.2. Решение уравнений 4-ой степени

 

2.2.1. Метод Феррари [18]

 

Метод Феррари сводит решение уравнения четвертой степени, к решению кубического уравнения относительно введенного параметра. Определив параметр, находят неизвестное.

Пример. Решить уравнение

 

Ø         Выделим полный квадрат в левой части уравнения, и подадим его в виде

Ø     Получим уравнение:

Введя параметр a, выделяем полный квадрат:

 

Выберем параметр a так, чтобы правая часть была полным квадратом. Для этого дискриминант квадратного трехчлена должен бать равен нулю:

Для параметра a получили кубическое уравнение:

 

Выяснив, что  — корень этого уравнения, получим уравнение относительно  x:

,

или

Рассматривая это выражение как разницу квадратов двух выражений, подам ее в виде:

Уравнение распадается на два уравнения:

.

 

2.2.2. Метод неопределенных коэффициентов

 

Суть этого метода заключается в том, что вид множителей-многочленов, на которые раскладывается левая часть уравнения, заранее известен. [18]

Этот метод опирается на такие утверждения:

1) два многочлена тождественно равны тогда, и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях x;

2) любой многочлен третьей степени раскладывается на произведение двух многочленов: многочлена первой и многочлена второй степени;

3) любой многочлен четвертой степени раскладывается на произведение двух многочленов второй степени.

 

Пример. Решить уравнение  х⁴ +х³ – 4х² – 5х – 5 = 0   (1)

Если два его корня равны по модулю, но противоположны по знакам.

Решение: если два корня соответствуют указанному условию, то можно разложить уравнение следующим образом  (1) используя неопределенные коэффициенты:

х⁴ +х³ – 4х² – 5х – 5 = (х² – а²)(x²+ bx+c) = x⁴ + bx³ + (c – a²)x² – a²bx – a²c (2)

Приравнивая коэффициенты левой и правой частей тождества (2) при одинаковых степенях x, имеем систему уравнений:

 

Решая систему уравнений, найдем

Таким образом,  х⁴ +х³ – 4х² – 5х – 5 = (х² – 5)(x²+ x+1)=0

Откуда получим:

 

2.2.3. Симметрические уравнения

 

Уравнение вида  ax⁴ + bx³ + cx² +bx + a = 0  [18]

Чтобы решить симметричное уравнение 4 степени, необходимо:

1.Поделить обе части уравнения на   и сгруппировать полученные выражения следующим образом:

2. Введением замены   уравнение сводится к квадратному.

Пример.

Поделим обе части уравнения на :

Пусть ; тога ;

Найдем соответствующие значения начальной переменной:

1)       

D=9 – 4 =5

2)       

 

Ответ:  ; 1.

 

2.2.4. Выделение полной степени

 

Пример. Решить уравнение четвертой степени

Ø    Выделим полную степень:

  (*)

Трехчлен в правой части будет полным квадратом, если его дискриминант равен нулю:

Получи кубическое уравнение относительно а:

 

Методом подбора находим корень a=2 этого кубического уравнения.

Подставив в уравнение (*) значение a=2, получим уравнение относительно х:

или

Окончательно находим решение:

 

 

Таким образом,  нами рассмотрены основные способы решения уравнений четвертой степени, а именно формула Феррари, решение симметрических уравнений и выделение полной степени, а также приведены примеры их использования.

 

Выводы по главе 2

 

Во второй главе исследования нами рассмотрены основные способы решения уравнений высших степеней. При сравнении рассмотренных методов можно сделать следующие выводы:

1.Схема Горнера является удобной для поиска корней, одним из минусов является то, что использование схемы Горнера занимает много времени.

2.Теорема Безу, является достаточно легким способом и подходит для большинства уравнений высших степеней, а также не является громоздким, но один из минусов является то, что она не подходит для уравнений, где корнями являются не целые числа.

3.Формула Кардано, является универсальным способом  решения уравнений вида 𝑦³ + 𝑝𝑦 + 𝑞 = 0 и для тех, что сводятся к нему, но минусом является то, что она не подходит для других уравнений.

Можно сказать, что все рассмотренные методы основаны на общем подходе, когда данное уравнение постепенно заменяется простым, которое несложно решить.

 

Тема:  Авторские задачи на решение уравнений высших степеней

 

Цель занятия: обобщить и систематизировать методы решения уравнений высших степеней на основе авторских задач.

 

Ход занятия

I.                  Организационный момент;

II.              Мотивация учебной деятельности;

III.           Решение задач:

 

1.                 Задача Бахскари

=9999

Это уравнение четвертой степени, которое автор решает методом  группировки, которое представляет уравнение в следующем виде:

Затем выделяет общий множитель:

Далее он выносит за скобки (x-11), таким образом получает первый корень 11, а дальше работает с частью, которая осталась:

Но такой способ очень тяжелый, потому что подбор чисел, которые можно сгруппировать, требует много времени, поэтому предлагаю решить данное уравнение с помощью схемы Горнера.

Найдем возможные корни (± 1; ± 2; ± 3; ± 9; ± 11...) среди делителей свободного члена.

В верхней части таблицы запишем коэффициенты, а потом будем подставлять числа.

Проверка корней ± 1; ± 2; ± 3; +9, показывает, что они не удовлетворяют данному уравнению.

	1	0	-2	-400	-9999
-9	1	-9	79	-1111	0

 

Таким образом,  мы видим, что корень 9 нам подходит и уравнение теперь имеет вид

 теперь рассмотрим часть

 также с помощью схемы Горнера.

	1	-9	-79	-1111
11	1	2	101	0

 

Вот мы привели это уравнение к квадратному и оно выглядит следующим образом:

Итак, получим еще один корень 11, который, как мы видим, удовлетворяет данному уравнению. Если решать уравнения , то  дискриминант будет отрицательным, следовательно действительных корней не будет.

 

2.                 Задача Луки Пачолли [29]

 

Эта задача решается с помощью формулы сокращенного умножения, которую можно заметить, если добавить единицу, а потом ее отнять, дальше перенесем 81600 и 1 в правую сторону уравнения. Таким образом, у нас получается следующее , мы можем убрать степень, если возьмем две стороны уравнения под корень, и у нас получится обычное квадратное уравнение, если мы перенесем вновь √81601 на другую сторону.

. Получим два корня

 

Схема Горнера и Теорема Безу помочь не смогут из-за того, что корни не является целыми числами.

 

3.                 Задача Рафаэля Бомбелли [29]

Это уравнение третьего степень, которое очень легко решается, если знать схему Горнера и уметь решать квадратные уравнения.

Сначала перенесем все в левую часть уравнения и рассмотрим его. Найдем возможные корни (± 1; ± 3; ± 2; ± 4; ± 5).

Проверка корней ± 1; ± 3 ± 2 показывает, что эти корни нам не подходят,

	1	0	-15	-4
4	1	4	1	0

 

Итак, мы свели это уравнение к квадратному  и нашли один из корней - 4. Далее будем решать часть, которая осталась, как простое квадратное уравнения, и тогда уже получим корни

Также это уравнение можно решить с помощью формулы Кардано, но схема Горнера здесь будет более уместна.

 

4.                 Задача Кеплера [29]

Для начала вынесем х за скобки, получим  следовательно первый корень 0, а дальше рассмотрим уравнение, которое осталось, для того чтобы его решить вводим замену , получим

, а это уже решим через дискриминант, у нас получится

,

Следовательно

или .

 

5.                 Задача Маклорена [29]

Рассмотрим это уравнение, автор предлагает нам решить его способом замены

Он получает уравнения вида . Теперь перенесем все на левую сторону и решим с помощью дискриминанта. Получим корни z = 27 и z = - 8.

Итак, отсюда мы найдем x = 3 и x = -2. Этот способ по скорости своего решения нам подходит, по схеме Горнера будет это сделать возможно, но дольше, также теорема Безу тоже потребует нескольких этапов, поэтому остановимся на этом способе.

 

6.                 Задача Монферье [29]

Автор предлагает нам воспользоваться методом группировки, для этого он приводит уравнения в следующий вид:

Затем выносит общий множитель, а потом снова пользуется методом группировки:

Я предлагаю решить это уравнение

  по схеме  Горнера. Возможны корни ± 1; ± 2; ± 4; ± 7.

Проверка показывает, что корни 1; ± 2 нам не подходят.

	1	5	-3	-35	-28
-1	1	4	-7	-28	0
-4	1	0	-7	0

 

Мы свели уравнения к виду , а также получили корни

 x = -1 x = 4, а если решить последнее уравнение мы получим

 

IV.             Подведение итогов занятия

 

Таким образом, разработанное факультативное занятие позволит рассмотреть авторские задачи на решение уравнений высших степеней, а также предложить обучающимся применить методы, которые не использовались авторами задач и проверить их эффективность.

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

 

Скачано с www.znanio.ru