Решение задач на применение Аксиом Стереометрии 10 класс Мерзляк

Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий - урок 2 - АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

Цель урока:

- сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

Учащиеся отвечают на вопросы математического диктанта.

1) Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве? (Стереометрия.)

2) Назовите основные фигуры в пространстве.

3) Сформулируйте аксиому А1.

4) Сформулируйте аксиому А2

5) Сформулируйте аксиому A3.

5) Могут ли прямая и плоскость иметь две общие точки? (Нет.)

6) Сколько плоскостей можно провести через три точки? (Одну)..

7) Сколько плоскостей можно провести через прямую и не лежащую на ней точку? (Одну.)

8) Сколько может быть общих точек у прямой и плоскости? (Одна; бесконечно много; ни одной.)

9) Могут ли прямая и плоскость иметь одну общую точку? (Да..

Собрать листочки с ответами. Заслушать решение задач у доски.

III. Решение задач (фронтальная работа)

Задача 1

Дано: куб АВСДА₁В₁С₁Д₁
Найдите:

1.     Точки, которые лежат в плоскости α; (А, В, С, Д)

2.     Точки, которые не лежат в плоскости α; (А₁, В₁, С₁, Д₁)

3.     6 прямых, которые лежат в плоскости α; (АВ, ВС, СД, АД, АС, ВД)

4.     10 прямых, которые не лежат в плоскости α; (А₁В₁, В₁С₁, С₁Д₁, А₁Д₁, А₁С₁, В₁Д₁, АА₁, ВВ₁, СС₁, ДД₁)

5.     8 прямых которые пересекают прямую ВС; (ВВ₁, СС₁)

6.     10 прямых, которые не пересекают прямую ВС. (АД, АА₁ …)

Задача 2

Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см. Д ∈ MB, Е ∈ МС, F ∈ АВ, AF = FB, Р ∈ МА.

1) Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и MFC; б) MCF и ABC.

2) Найдите длину CF и SABС.

3) Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью ABC?

Решение:

1.  аксиома А3 МАВ ∩ MFC = MF.

     аксиома А3 MCF ∩ ABC = FC.

2. ΔABC - равносторонний ⇒ FC - медиана, высота, биссектриса. ΔCFB - прямоугольный: СВ = 6 (см), FB = 3 (см). По теореме Пифагора 

- Как еще можно найти длину FC?

- Как по-другому найти SABC?

3. ДЕ и ВС лежат в плоскости ВМС. Пусть они пересекаются в точке К, так как К принадлежит ВС, значит К принадлежит плоскости АВС (аксиома А2):

Задача 3

Дан куб АВСДА1В1С1Д1, Р ∈ ВВ1, В1Р = РВ.

1) Как построить точку пересечения плоскости ABC с прямой Д1Р?

2) Как построить линию пересечения плоскости АД1Р и АВВ1?

3) Вычислите длину отрезков АР и АД1, если АВ = а.

Решение:

1. Д1Р и ДВ лежат в одной плоскости Д1ДВ. Пусть они пересекаются в точке К. Тогда точка К принадлежит прямой ДВ, а значит, К ∈ ABC.

2. Точка Р принадлежит ВВ1, а значит, и плоскости АВВ1. Точка Р принадлежит АВ, а значит, и плоскости АВВ1. Следовательно, по аксиоме А2: АР ⊂ АВВ1. Аналогично АР ⊂ АД1Р. Значит, АД1Р ∩ АВВ1 = АР.

3. а) Из ΔАВР, по теореме Пифагора  

б) Из ΔАДД1, по теореме Пифагора 

Задача 4

Точки А, В, С не лежат на одной прямой. М ∈ АВ, К ∈ АС, Р ∈ МК.

Докажите, что точка Р лежит в плоскости ABC.

Решение: АВ ∩ АС = А. По второму следствию, прямые АВ и АС определяют плоскость α. Точка М ∈ АВ, а значит, принадлежит плоскости α, и точка К ∈ АС, а значит, и плоскости α. По аксиоме А2: МК ⊂ α. Точка Р ∈ МК, а значит, и плоскости α.

Задача 5

Плоскость α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые а и с? Почему?

Решение: По условию, прямая а пересекает плоскость β. Пусть a ∩ β = В(В ∈ а). По условию прямая а принадлежит плоскости а, значит, В ∈ а. По аксиоме А3 существует прямая с, такая, что B ∈ c.

II уровень (самостоятельное решение задач)

1. Дан прямоугольник АВСД, О - точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости α. Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости α. Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 (см), ∠AOB = 60°.

Решение:

1) Так как В принадлежит α и точка О принадлежит α, то ВО принадлежит α. Так как точка Д принадлежит ВО, то Д принадлежит α (по аксиоме А2). Аналогично точка С принадлежит α:

1. Bϵα, Oϵα, => BOϵα;

2. DϵBO, => Dϵα (акс А2)

3. Аϵα, Oϵα, => АOϵα;

4. СϵАO, => Сϵα (акс А2)

2) Возможны различные способы решения задачи:

1. Найти стороны прямоугольника.

2. Использовать тот известный факт, что диагонали параллелограмма (прямоугольника) разбивают его на четыре равновеликих треугольника, и найти сначала площадь одного из треугольников.

3. Использовать формулу  (Ответ: )

IV. Подведение итогов

Оценки за урок.

Задача 1

Дано: куб АВСДА₁В₁С₁Д₁   Найдите:

1.       Точки, которые лежат в плоскости α;

2.       Точки, которые не лежат в плоскости α;

3.       6 прямых, которые лежат в плоскости α;

4.       10 прямых, которые не лежат в плоскости α;

5.       8 прямых которые пересекают прямую ВС;

6.       10 прямых, которые не пересекают прямую ВС.

Задача 2

Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см. Д ∈ MB, Е ∈ МС, F ∈ АВ, AF = FB, Р ∈ МА.

1) Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости:

а) МАВ и MFC; б) MCF и ABC.

2) Найдите длину CF и SABС.

3) Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью ABC?

Задача 3

Дан куб АВСДА1В1С1Д1, Р ∈ ВВ1, В1Р = РВ.

1) Как построить точку пересечения плоскости ABC с прямой Д1Р?

2) Как построить линию пересечения плоскости АД1Р и АВВ1?

3) Вычислите длину отрезков АР и АД1, если АВ = а.

Задача 4

Точки А, В, С не лежат на одной прямой. М ∈ АВ, К ∈ АС, Р ∈ МК.

Докажите, что точка Р лежит в плоскости ABC.

Задача 5

Плоскость α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые а и с? Почему?

Задача 6

II уровень (самостоятельное решение задач)

1. Дан прямоугольник АВСД, О - точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости α. Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости α. Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 (см), ∠AOB = 60°.