Решение экономических задач на оптимизацию

Мастер-класс по теме: Решение экономических задач на оптимизацию.

(Слайд 1)

Цель: рассмотрение решения задач типа 17 ЕГЭ-2016 с помощью исследования функции на наибольшее (наименьшее) значение или методами математического анализа

 (Слайд 2)                                    « В мире не происходит ничего,

в чем бы ни был виден смысл

какого-нибудь максимума или минимума!»

Леонард Эйлер

Добрый день, уважаемые коллеги! Я Бурякова Вера Николаевна, учитель математики Похвистневского района Самарской области. Тема моего урока «Решение экономических задач на оптимизацию».

Мотивация. Задачи оптимизации очень часто встречаются в управленческой, финансовой и научной деятельности. Они позволяют отыскать наилучшее (оптимальное) решение, дающее максимальную прибыль или обеспечивающее минимальные затраты. При этом требуется учитывать ряд дополнительных ограничений на значения используемых параметров.  

Впервые в 2015 году в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня появились экономические задачи на банковские вклады, кредиты, которые решались составлением уравнения. Такие задачи относятся к задачам повышенного уровня. Ненулевые баллы по этому заданию получили  около 15% выпускников. Это неплохой показатель. Несмотря на это, в методических рекомендациях для учителей, подготовленных на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по математике  авторами КИМов  И.В.Ященко, А.В.Семеновым, И.Р.Высоцким и опубликованных на сайте ФИПИ, выявляются ключевые проблемы, среди которых: неумение проводить анализ условия, искать пути решения, применять известные алгоритмы в измененной ситуации.

 Авторы предлагают включить в рабочие программы практико-ориентированные задания, выстроить систему изучения практической, жизненно важной математики во все школьные годы. Это элементы финансовой и статистической грамотности, умение принимать решения на основе расчетов, навыки самоконтроля с помощью оценки возможных значений величин на основе жизненного опыта.   

(Слайд 3)

В 2016 году наряду с такими задачами можно встретить задачи на выбор оптимального распределения ресурсов: поле и фермер, предприниматель и отель, добыча алюминия и никеля и производство сплава и другие. Понятно, что никаких экономических знаний для решения таких задач не требуется. Необходимо лишь понять смысл задачи, перевести его на язык математики и решив математическую задачу  вернуться к условию, правильно сопоставив полученное решение с условием задачи. При решении такого вида задач можно составить уравнение и найти его решение в натуральных или целых числах.  Мы же с вами будем  решать задачи такого типа методами математического анализа, т.е. составлением функции и исследованием ее на наибольшее (наименьшее) значение.  

Итак, переходим к уроку.

(слайд 4)

1 этап урока. Актуализация опорных знаний

Начнем с повторение теоретического материала, используемого на уроке.  Предлагаю работу в парах.

А) Таблица производных

Б) Правила нахождения производных. Производная сложной функции

В) Какова связь между монотонностью некоторой функции и ее производной

Какие точки экстремума существуют и как определить их вид.

Г) Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции  на отрезке 

Д) Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции  на интервале (а; в)

(слайд 5) Вспомним алгоритм решения задач на оптимизацию с помощью математического моделирования:

1 этап. Составление математической модели задачи.

2 этап. Работа с составленной моделью.

3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.

2 этап урока.    Применение знаний при решении задач.

Рассмотрим задачу из открытого банка заданий по математике ЕГЭ -2016.

(слайд 6)

В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х² человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у² человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Впервые встретившись с этой задачей, у меня возникло замешательство: как решать. Обратилась за помощью в Интернет, нашла авторское решение Комаровой Галины Петровны, учителя математики МКОУ СОШ №10 региона Кавказских Минеральных Вод. Привожу это решение. (слайд 7)

Мне показалось данное решение не очень убедительным.

Я же предлагаю другой способ решения этой задачи.

1 этап. Составление математической модели задачи (слайд 8)

(слайд 9)

Всего алюминия 2х+

Всего никеля (50-х)+

По условию, на производство сплава требуется никеля в 2 раза больше, значит  2(2х+) = (50-х)+

 10 + 0,2 - 0,4.

Рассмотрим функцию, определяющую массу всего металла

f (х,у)= 2х+(50-х)+...= 60+1,2, получили f (у).

2 этап. Работа с составленной моделью. (слайд 10)

Исследуем функцию f(у)=60+1,2 на наибольшее значение. D(f) = [0;50]

f'(у)= - , f'(у)=0 при у=10. Определим, как ведет себя производная при переходе через точку у =10

 f '(у)                                              

  0[_________+___________10________________________]50

f (у)                              точка  max

3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.  (слайд 11)

Значит, наибольшее значение функция принимает при у=10. Найдем f(10)= 60+1,2 = 60+1,2∙20+6=90.  Ответ: 90 кг сплава

3 этап урока.  Самостоятельная работа. А сейчас предлагаю решить аналогичную задачу таким же способом. (слайд 12)

Задача такая. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х² человеко-часов, а для добычи у кг никеля в день требуется у² человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

У вас на столах лежат бланки для решения данной задачи. Заполните, пожалуйста, их.

Всего алюминия 3х+

Всего никеля (100-х)+

По условию, на производство сплава требуется алюминия в 2 раза больше, значит  3х+ = 2((100-х)+

 40 + 0,4 - 0,2.

Рассмотрим функцию, определяющую массу всего металла

f (х,у)= 3х+(100-х)+...= 180+1,8, получили f (у).

2 этап. Работа с составленной моделью.

Исследуем функцию f(у)=180+1,8 на наибольшее значение. D(f) = [0;100]

f'(у)= - , f'(у)=0 при у=10.

f '(у)                                              

  0[_________+___________10________________________]100

f (у)                              точка  max

3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.

Значит, наибольшее значение функция принимает при у=10. Найдем f(10)= 180+1,8 = 180+1,8∙30+6=240.  

Ответ: 240 кг сплава

4 этап урока. Домашнее задание. (слайд 13)

В качестве домашнего задания вам предлагается разобрать решение  задачи №2 и аналогичную задачу решить самостоятельно.

5 этап урока. Рефлексия. (слайд 14)

 Обратите еще раз внимание на эпиграф к уроку: «В мире не происходит ничего, в чем бы ни был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума!»

На уроке мы решали  задачи, связанные с деятельностью человека. При решении

задач  переходили от реальных ситуаций к их математическим моделям.

Мы убедились, что такое абстрактное понятие, как производная, помогает

      решать различные жизненные задачи.  Я желаю всем, чтобы ваши знания, умения

     помогали вам преодолевать препятствия на  жизненном пути.