Решение задач с помощью рациональных уравнений

Подготовила и провела: учитель математики  1­ой квал. категории Смольникова Т.Ф. МОУ СОШ № 2 г. Московский Январь, 2010. Цели  урока:  1) обобщить и систематизировать материал по теме: «Рациональные уравнения»; 2)  научить  составлять дробно – рациональные  уравнения  по  условию  задачи;  3)  умение  определять  соответствуют  ли  найденные  корни  уравнения  условию  задачи;   4)  закрепить умение  решать  задачи  с  помощью  дробно – рациональных  уравнений;   5)  умение  выбора  способа  решения  текстовой  задачи.   6) познакомить  учащихся  с  методом  подобия  при  решении  текстовых  задач,  который так же  приводит  к  составлению  дробного  рационального  уравнения. Тип урока: урок ознакомления и первичного закрепления нового материала. Формы обучения: индивидуальная, коллективная. Средства обучения: раздаточный материал к уроку, учебник, доска, методическое  пособие. Структура урока: 1. Организационный момент. 2. Актуализация ранее полученных знаний: фронтальная беседа + самостоятельная  работа + устная работа. 3. Ознакомление с новым материалом и его первичное закрепление. 4. Итоги урока. 1. Организационный момент. 2.   А) Фронтальная  работа.  Ответить  на  вопросы: Ход  урока: 1) Какие  уравнения  называют  рациональными  уравнениями? 2)   Что  называют  корнем  уравнения  с  неизвестным  х? 3)   Что  значит  решить  уравнение? 4)   Какие  уравнения  называют  равносильными? 5)   По  какому  правилу  решают  рациональные  уравнения?  Что  может   произойти  при  отклонении  от  этого  правила? Б) Самостоятельная работа по теме: «Решение дробно­рациональных  уравнений».  Взаимопроверка – 4 варианта.  Работа  выполняется  на  листочках.   Ответы  записаны  на  обратной  стороне  доски.  В  ходе  выполнения  работы   учащиеся  определяют  для  себя  алгоритм  решения  дробных  рациональных   уравнений.  На  каждой  парте – таблица – напоминание «Алгоритм  решения   дробных  рациональных  уравнений».  (Приложение ). В а р и а н т  1. В а р и а н т  3.  2 х  х 1 7  3 х х  4  1  31  21 х х   35  21 х х В а р и а н т 2. В а р и а н т 4. х 2 2 х   3 1  х х   5 3  х 51  х 1 2  х  х О т в е т ы:   I   вариант:    ,   х 1 1 х 2 27    ( 7х ;   ). 1х  II   вариант:    2,0х    ( 5,0х ;   ) 3х III   вариант:       ( ;5,0х     ) 5,0х 2х 9 IV   вариант:    ,    1 х 1 х 2 5,0    ( 1х ;    ). 0х В) Устная  работа.   Составить  уравнение  для  решения  задачи: 1. Расстояние  между  городами  скорый  поезд,  идущий  со  скоростью  90 км/ч, проходит  на  1,5 ч  быстрее  товарного, который  идет  со  скоростью  60  км/ч.  Каково  расстояние  между  городами? Ответ:  х 60 − х 90=1,5. 2. Ученику  и  мастеру  дано  задание  изготовить  одинаковое  количество   деталей.  Мастер,  изготовляя  18  деталей  в  час,  затратил  на  выполнение   задания  на  3 ч  меньше,  чем  ученик,  который  изготавливал  лишь  12   деталей  в  час.  Сколько  деталей  было  заказано? Ответ:  х 12 − х 18=3. 3. Знаменатель  дроби на  2  больше  числителя.  Если  числитель  увеличить  на   15,  а  знаменатель – на  3,  то  получится  число   . Найдите  дробь. 1 2 7 Ответ:  х+15 х+5 =1 2 7 . 4. Ознакомление с новым материалом           Схема решения задачи с помощью уравнения. (Приложение ).  Анализ условия;  Выделения двух ситуации; 1. 2. 3. Введение неизвестной величины; 4. Установление зависимости между данными задачи и неизвестной величиной; 5. Составление уравнения; 6. Решение уравнения; 7. Запись ответа. При  решении  задач  составлением  уравнения  за  х  можно  принять  любое неизвестное. Решаем  задачу  № 387  из  учебника. (Алгебра – 8 класс/ С.М.Никольский) К  доске  вызываются  четыре  ученика,  чтобы  записать  условие  задачи  и   составить  уравнение  четырьмя  способами: I – ученик  за  х  принимает  скорость  1­го автомобиля; II – ученик  принимает  за  х  скорость  2­го автомобиля; III – ученик  за  х  принимает  время  1­го автомобиля; IV – ученик  принимает  за  х  время  2­го автомобиля. Учащиеся записывают  в  тетрадь  условия  четырьмя  способами,  а  решают  одним,  в   соответствии  со  своим  вариантом. I    с п о с о б. S (км) V (км/ч) t (ч) 1­ый автомобиль 2­ой автомобиль 60 60 х     20х 60 х ч 60 х 20 на ч 1 2 больше Уравнение:  60  20  х 60 х  1 2 II     с п о с о б. 1­ый автомобиль S (км) 60 V (км/ч) (х + 20) 2­ой автомобиль 60 х  Уравнение:  60 х  60  20 х  1 2 III       c   п о с о б. 1­ый автомобиль S (км) 60 2­ой автомобиль 60 Уравнение:  60 х  60  5,0 х  20 IV     с п о с о б. 1­ый автомобиль S (км) 60 2­ой автомобиль Уравнение:  60  5,0  х 60 х  20 60 .  V (км/ч) 60 х 60 х 5,0 V (км/ч) 60 х 5,0 60 х t (ч) 60 х 20 60 х На ч 1 2 меньше на 20 меньше t (ч) х  (х + 0,5) t (ч) (х ­ 0,5)  х  на 20 больше Задача № 29   из методического  пособия  по  математике  А.В.  Шевкина  «Текстовые  задачи.  7 – 9 классы, часть2». Две  старушки  вышли  одновременно  навстречу  друг  другу  из  двух  городов. Они  встретились  в  полдень  и  достигли  чужого  города:  первая  в  4 ч  по полудни,   а   вторая – в   9 ч.   Нужно   узнать,   когда   они   вышли   из   своих городов.          1) Данную  задачу  заранее  предлагаю  учащимся  решить  в парах.  Заслушиваем комментарии  по  решению  задачи  учащимся.  Задача  решена  составлением  дробного рационального  уравнения.  1 х+4+ 1 х , где х – время старушек до встречи, а весь путь  х+9= 1 Уравнение:  пройден за 1. (Ответ: в 6 часов). 2) Объясняю  решение  данной  задачи  методом  подобия,  построив  графики  движения  старушек. Р е ш е н и е:  Изобразим  график  движения  старушек  и  применим  метод   подобия. Пусть  старушки  до  встречи  шли  х ч. АD  –   промежуток     времени     движения     первой     старушки.     СВ   –  промежуток времени   движения  второй  старушки.  КL – отсекает  промежутки  времени  движения старушек  до  встречи.  На  рисунке  АL – промежуток  времени  движения  до  встречи.                  Расстояние                                                                                        С                            К      4       D                                                                                 I                                                                                                                    N                                                                                                    II                                                                                    А             х             L                  9                        В           Время  движения 1) Рассмотрим   2) Рассмотрим     и     и   NKD  NKC :    NLA NKD   подобен   NA   по  двум  углам. ,  они  подобны  по  двум  углам.  NLB 3) Из  подобия  двух  пар  треугольников  следует,  что   KD  LA KN LN   и   KN  LN CK BL ,  т.е.  KD  LA CK BL 4) Составим  и  решим  уравнение:    4 х                                                                  х х        ( ) 0х  х 9 2  36  6 Это   уравнение   имеет   единственный   положительный   корень,   удовлетворяющий условию  задачи.    ­ это  время  движения  старушек  до  встречи. 6х 5) Выясним,  в  какое  время  старушки  вышли  из  своих  городов:        . 12  6 6 Ответ:  старушки  из  своих городов  вышли  в  6 ч  утра. Как  мы  видим,  метод  подобия  приводит  к  более  простому  решению. 8. Итоги  урока. Домашнее  задание: № 388 (а), № 390, № 392 ­ решить  задачу  двумя  способами:   1) стандартным   способом  и  2)  методом  подобия. Раздаточный  материал  к  уроку: ПРИЛОЖЕНИЕ . Урок  «РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ  С  ПОМОЩЬЮ  РАЦИОНАЛЬНЫХ  УРАВНЕНИЙ» 1. Ответить  на  вопросы: 1)    Какие  уравнения  называют  рациональными  уравнениями?             2)   Что  называют  корнем  уравнения  с  неизвестным  х?             3)   Что  значит  решить  уравнение?             4)    Какие  уравнения  называют  равносильными?             5)   По  какому  правилу  решают  рациональные  уравнения?  Что  может                      произойти  при  отклонении  от  этого  правила? 2. Алгоритм  решения  дробных  рациональных  уравнений: 1. Найти  общий  знаменатель  дробей, входящих  в  уравнение. 2. Умножить  обе  части  уравнения  на общий  знаменатель. 3. Решить  получившееся  уравнение. 4. Исключить   проверкой   из   корней уравнений   те,   которые   обращают в  нуль  общий  знаменатель. 3.Составить  уравнения  для  решения  задач: 5. Расстояние  между  городами  скорый  поезд,  идущий  со  скоростью  90 км/ч, проходит  на  1,5 ч  быстрее  товарного, который  идет  со  скоростью  60  км/ч.  Каково  расстояние  между  городами? 6. Ученику  и  мастеру  дано  задание  изготовить  одинаковое  количество   деталей.  Мастер,  изготовляя  18  деталей  в  час,  затратил  на  выполнение   задания  на  3 ч  меньше,  чем  ученик,  который  изготавливал  лишь  12   деталей  в  час.  Сколько  деталей  было  заказано? 7. Знаменатель  дроби на  2  больше  числителя.  Если  числитель  увеличить  на   15,  а  знаменатель – на  3,  то  получится  число   . Найдите  дробь. 1 2 7 4. Схема решения задачи с помощью уравнения.   Выделения двух ситуации; 1. Анализ условия; 2. 3. Введение неизвестной величины; 4. Установление зависимости между данными задачи и неизвестной величиной; 5. Составление уравнения; 6. Решение уравнения; 7. Запись ответа. 5. Домашнее  задание:   № 388 (а), № 390, № 392 ­ решить  задачу  двумя  способами:  1) стандартным    способом  и  2)  методом  подобия.