Системы линейных уравнений с двумя переменными

Системы линейных уравнений с двумя  переменными В начале урока предлагаем рассмотреть задачу, решая которую мы  показываем, что же такое система уравнений, что представляет собой  решение системы. Затем мы знакомимся с одним из способов решения  систем. И рассматриваем примеры. Конспект урока "Системы линейных уравнений с двумя  переменными"    Вопросы занятия: ∙  ввести понятие «система линейных уравнений»; ∙  рассмотреть графический способ решения систем линейных уравнений. Материал урока Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы вспомним, что: А теперь давайте рассмотрим задачу. Сумма двух чисел равна 25, а их разность – 17. Чему равны эти числа? Пусть икс – первое число, а игрек – второе. Так как по условию задачи сумма этих чисел равна 25, то можно составить  уравнение: Также известно, что разность чисел равна 17, а тогда можем записать следующее  уравнение: Таким образом, мы получили два уравнения с двумя переменными. Чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо найти такие значения  переменных x и y, которые обращают каждое из уравнений в верное равенство, то есть найти общие решения уравнений. Говорят, что требуется решить систему уравнений и записывают вот таким  образом: Теперь подбором найдём пару значений переменных: Действительно, эта пара является решением каждого уравнения системы, так  при подстановке этих значений мы получаем верные равенства. Такая пара чисел называется решением системы. Сформулируем определение. Определение. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара  значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное  равенство. Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что их  нет. Существует несколько способов решения систем уравнений с двумя  переменными. И сейчас мы познакомимся с одним из них. Возьмём следующую систему Вам уже известно, как строить график линейного уравнения с двумя  переменными. Давайте построим график каждого уравнения нашей системы. Из каждого уравнения системы выразим переменную у через переменную х. Так как графиком каждого из уравнений будет прямая, то для его построения  нам достаточно указать две точки. Отметим эти точки на координатной плоскости и проведём через них линии. Обратите внимание, что построенные графики пересекаются в точке: Координаты этой точки удовлетворяют обоим уравнениям, то есть являются  решением системы уравнений. В этом можете убедиться самостоятельно,  подставив эти значения в уравнения системы. Таким образом, система имеет единственное решение: Такой способ решения системы называется графическим. Возникает вопрос: всегда ли система уравнений с двумя переменными имеет  решения и если имеет, то сколько? На примере мы с вами увидели, что если прямые (то есть графики уравнений)  пересекаются, то система имеет единственное решение. А вот если прямые  параллельны, то система не имеет решений. Если же прямые совпадают, то  система имеет бесконечно много решений. Рассмотрим пример, в котором надо выяснить, сколько решений имеет система. Но сначала вспомним, что: Пример. Пример. Пример. Итоги урока Итак, сегодня на уроке мы рассмотрели одни из способов решения систем  линейных уравнений с двумя переменными. Но следует отметить, что  графический способ позволяет чаще всего находить решения лишь приближённо.