Сложение векторов. Сложение сил.

Сложение векторов. Сложение сил.

Сумма векторов

Суммой векторов 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 1 ; 𝑎 2 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 ; 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 𝑎 1 ; 𝑎 2 и 𝑏 𝑏𝑏 𝑏 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑏 1 ; 𝑏 2 называется такой вектор 𝑐 𝑐𝑐 𝑐 с координатами 𝑎 1 + 𝑏 1 ; 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 ; 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑎 1 + 𝑏 1 ; 𝑎 2 + 𝑏 2
𝑎 ( 𝑎 1 ; 𝑎 2 ) 𝑏 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑐 𝑎 1 + 𝑏 1 ; 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 ( 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 ; 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 ) 𝑎 ( 𝑎 1 ; 𝑎 2 ) 𝑏 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑐 𝑎 1 + 𝑏 1 ; 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏 𝑏𝑏 𝑏 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑎 ( 𝑎 1 ; 𝑎 2 ) 𝑏 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑐 𝑎 1 + 𝑏 1 ; 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑐 𝑐𝑐 𝑐 𝑎 1 + 𝑏 1 ; 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 ; 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑎 1 + 𝑏 1 ; 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 ( 𝑎 1 ; 𝑎 2 ) 𝑏 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑐 𝑎 1 + 𝑏 1 ; 𝑎 2 + 𝑏 2

+

разность векторов

Разностью векторов 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 1 ; 𝑎 2 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 ; 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 𝑎 1 ; 𝑎 2 и 𝑏 𝑏𝑏 𝑏 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑏 1 ; 𝑏 2 называется такой вектор 𝑐 𝑐𝑐 𝑐 𝑐 1 ; 𝑐 2 𝑐 1 𝑐𝑐 𝑐 1 1 𝑐 1 ; 𝑐 2 𝑐𝑐 𝑐 2 2 𝑐 2 𝑐 1 ; 𝑐 2 , который в сумме с вектором 𝑏 𝑏𝑏 𝑏 даёт вектор 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 , откуда 𝑐 1 𝑐𝑐 𝑐 1 1 𝑐 1 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 − 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 ; 𝑐 2 𝑐𝑐 𝑐 2 2 𝑐 2 = 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 .
𝑎 ( 𝑎 1 ; 𝑎 2 ) 𝑏 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑐 𝑎 1 − 𝑏 1 ; 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 ( 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 ; 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 ) 𝑎 ( 𝑎 1 ; 𝑎 2 ) 𝑏 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑐 𝑎 1 − 𝑏 1 ; 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑏 𝑏𝑏 𝑏 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑎 ( 𝑎 1 ; 𝑎 2 ) 𝑏 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑐 𝑎 1 − 𝑏 1 ; 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑐 𝑐𝑐 𝑐 𝑎 1 − 𝑏 1 ; 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 − 𝑏 1 𝑏𝑏 𝑏 1 1 𝑏 1 ; 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑎 1 − 𝑏 1 ; 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑎 ( 𝑎 1 ; 𝑎 2 ) 𝑏 𝑏 1 ; 𝑏 2 𝑐 𝑎 1 − 𝑏 1 ; 𝑎 2 − 𝑏 2

-

Задача № 1

Найдите координаты суммы векторов:
а) 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 3;−2 3;−2 3;−2 и 𝑏 𝑏𝑏 𝑏 5;−1 5;−1 5;−1 ;


б) 𝑚 𝑚𝑚 𝑚 −1;7 −1;7 −1;7 и 𝑘 𝑘𝑘 𝑘 4;−2 4;−2 4;−2 .

Задача № 2

Найдите координаты разности векторов:
а) 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 3;−2 3;−2 3;−2 и 𝑏 𝑏𝑏 𝑏 5;−1 5;−1 5;−1 ;


б) 𝑚 𝑚𝑚 𝑚 −1;7 −1;7 −1;7 и 𝑘 𝑘𝑘 𝑘 4;−2 4;−2 4;−2 .

Правило треугольника

Каковы бы ни были точки 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶, имеет место векторное равенство:
𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶. 𝐴𝐴𝐶𝐶. 𝐴𝐶.

Суммой является вектор, который исходит из начала первого и кончается в конце второго вектора.

Правило параллелограмма

Если два вектора отложены от одной точки, то их суммой является вектор, который исходит из той же точки и изображается диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах.
𝑨𝑩 𝑨𝑨𝑩𝑩 𝑨𝑩 + 𝑨𝑫 𝑨𝑨𝑫𝑫 𝑨𝑫 = 𝑨𝑪 𝑨𝑨𝑪𝑪 𝑨𝑪

C

Разность векторов

Разностью векторов, исходящих из одной точки, является вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора с концом уменьшаемого.

𝑎𝑎−𝑏𝑏=𝑐𝑐, где 𝑎𝑎 – уменьшаемое, 𝑏𝑏 – вычитаемое, 𝑐𝑐 – разность.

Задача № 3

Даны точки 𝐴𝐴 2;−1 2;−1 2;−1 , 𝐵𝐵 3;2 3;2 3;2 , 𝐶𝐶 −3;4 −3;4 −3;4 , 𝐷𝐷 (−1;4). Найдите сумму векторов 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐶𝐷 .

Задача № 4

Даны точки 𝐴𝐴 −1;2 −1;2 −1;2 , 𝐵𝐵 2;3 2;3 2;3 , 𝐶𝐶 0;4 0;4 0;4 , 𝐷𝐷 (1;5). Найдите координаты векторов: 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 = 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 − 𝐶𝐷 𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐶𝐷 ; 𝑏 𝑏𝑏 𝑏 = 𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 − 𝐷𝐶 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐷𝐶 .

Задача № 5

Найдите сумму векторов:
𝐶𝐷 𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐶𝐷 + 𝐶𝐴 𝐶𝐶𝐴𝐴 𝐶𝐴 + 𝐵𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 + 𝐸𝐶 𝐸𝐸𝐶𝐶 𝐸𝐶 + 𝐷𝐸 𝐷𝐷𝐸𝐸 𝐷𝐸 =

Задача № 6

Начертите параллелограмм 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷. Найдите сумму и разность векторов: а) 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵 и 𝐶𝐷 𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐶𝐷 ; б) 𝐶𝐷 𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐶𝐷 и 𝐵𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐵𝐴 .