Сочетания

У р о к 76: Сочетания. Класс: 9б. Дата: 20.03.2017г. Цели:  ввести   понятие   сочетания   из  п  элементов   по  k  (k  ≤  п);   вывести формулу   нахождения   числа   сочетаний   из  п  элементов   по  k;   формировать умения решать комбинаторные задачи с применением данной формулы. Ход урока I. Организационный момент. II. Устная работа. 1.   З   а   д   а   ч   а.   В   футбольном   турнире   участвуют   несколько   команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты. а) Сколько команд участвовали в турнире? б) Сколько команд играли в зеленых футболках? в) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета? г) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета, причем трусы были не красные? 2. Найти значение выражения: а) Р4 + Р3;           б) Р6 – Р5;           в)  Р  1п Р п 7 Р 8 Р ;           г)  ! п 4 А . п ;           з)  ; 3 5А ;           е)  2 А 4 1 А ;           ж)  4 3 А 5 А 2 5 д)  III. Объяснение нового материала. 1.   Объяснение   нового   материала   целесообразно   начать   с   решения практической задачи: «Сколькими   способами   можно   смешать   по   три   краски   из   имеющихся пяти?». Р е ш е н и е Обозначим имеющиеся краски буквами латинского алфавита  a, b, c, d, e. Выпишем возможные варианты смешивания красок, учитывая, что от порядка расположения красок результат не зависит: abc, abd, abe, ace, ade bcd, bce, bde cde Мы указали различные способы смешивания красок, в которых по­разному сочетаются   три   краски   из   данных   пяти.   Говорят,   что   мы   составили   все возможные сочетания из 5 элементов по 3. 2.  Определение.  Сочетанием   из   п   элементов   по   k  называют   любое множество,   составленное    из    k   элементов,    выбранных    из    данных    п элементов. П о д ч е р к и в а е м, что, в отличие от размещений, в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из п элементов по k отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. 3. Обозначение.  k nС  (читается «С из п по k»). 3 5С  = 10. В рассмотренном примере мы нашли, что  4. Вывод формулы числа сочетаний из п по k, где k ≤ п. В   отличие   от   предыдущих   тем,   при   доказательстве   мы   опираемся   не напрямую   на   комбинаторное   правило   умножения,   а   на   ранее   выведенные формулы числа перестановок и размещений. А   3 5 (по   комбинаторному   правилу Сперва   замечаем,   что    ∙ С Р 3 3 5 3 С 5  3 А 5 Р 3 умножения), значит,  .  А – размещение; Р – перестановка. И затем проводим аналогичные рассуждения для общего случая:  k С n  k A n P k k A n  ! n k n  ( )! Учитывая, что  , где п ≤ k, получаем, что  C k n  ! n  !( k n k )! – формула вычисления числа сочетаний    из п по k, где k ≤ п.   5.   Рассматриваем   примеры   задач   на   нахождение   числа   сочетаний   из учебника на с. 184–185. IV. Формирование умений и навыков. Рассматриваем   задачи   на   применение   формулы   нахождения   числа сочетаний из п по k. Для предотвращения формального применения формулы требуем обоснования ее выбора. Упражнения: № 768. Р е ш е н и е Выбираем   2   учащихся   из   7,   порядок   выбора   не   имеет   значения   (оба выбранных пойдут на олимпиаду как полностью равноправные); количество способов выбора равно числу сочетаний из 7 по 2: С  2 7 7! 2!5!  6 ∙ 7 1 ∙ 2  21 . О т в е т: 21 способ. № 770. Р е ш е н и е  10! 6!4! Выбор 6 из 10 без учета порядка: С  6 10 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 О т в е т: 210 способов. № 772. 210  . Р е ш е н и е Из 11 человек 5 должны поехать в командировку: а) Заведующий едет, нужно выбрать еще 4 из 10 оставшихся: С  4 10 210   7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 10! 4!6! б) Заведующий остается, нужно выбрать 5 из 10 сотрудников: С  5 10 252   6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 10! 5!5! О т в е т: а) 210 способов; б) 252 способа. Следующие три задачи – повышенной сложности. № 773. Р е ш е н и е а) Словарь выбирается, нужно выбрать еще 2 книги из 11: С  2 11 55   11! 2!9! 10 ∙ 11 1 ∙ 2 . б) Словарь не выбирается, выбираем 3 книги из 11: С  3 11 165   9 ∙ 10 ∙ 11 1 ∙ 2 ∙ 3 11! 3!8! . О т в е т: а) 55 способов; б) 165 способов. № 774. Эту   задачу   следует   разобрать   у   доски.   При   решении   используется   не только формула числа сочетаний, но и комбинаторное правило умножения. Р е ш е н и е Сперва выбираем 4 маляров из 12: С  4 12 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙ 12 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 12! 4!8! 495    способов. Затем выбираем 2 плотников из 5: С  10 5! 4 ∙ 5 2!3! 1 ∙ 2  способов.   2 5 Каждый  из  способов выбора  маляров можно  скомбинировать  с  каждым выбором   плотников,   следовательно,   всего   способов   (по   комбинаторному правилу умножения): 495 ∙ 10 = 4950. О т в е т: 4950 способов. № 775. Р е ш е н и е 2 Нужно сделать два выбора: 3 книги из 10 ( 10С  способов) и 2 журнала из 4 ( 4С   способов)   –   порядок   выбора   значения   не   имеет.   Каждый   выбор   книг может   сочетаться   с   каждым   выбором   журналов,   поэтому   общее   число способов выбора по правилу произведения равно: 3 3 С 10 ∙ С  2 4 10! ∙ 4!  8 ∙ 9 ∙ 10 ∙ 4 1 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 2  720 3! ∙ 7! ∙ 2! ∙ 2! О т в е т: 720 способов. V. Итоги урока. В о п р о с ы   у ч а щ и м с я: – Что называется сочетанием из п элементов по k? – Запишите формулу вычисления числа сочетаний из п элементов по k. –   В   чем   отличие   сочетания   из  п  элементов   по  k  от   размещения   из  п элементов по k. Домашнее задание: № 769, № 771, № 783.