Тема «Числа. Аксиомы стереометрии». 10 класс.

ПЛАН­КОНСПЕКТ УРОКА  __________________________________________ (Общественный смотр знаний) Тема «Числа. Аксиомы стереометрии». 10 класс. Цель     урока:    формирование   умений   применять     математические   понятия     в     различных областях науки и жизни. Задачи: Обучающие:  обобщить   понятие   действительного   числа,  сформировать   умения   применять математические понятия в других областях жизни, научить применять полученную модель на практике, сформировать умения применять полученные знания при решении типовых заданий ЕГЭ. Развивающие:  обучить  навыкам  работы  с  компьютером,  развить   умения  находить   нужную литературу, обрабатывать информацию, формировать «ключевые компетенции».  Воспитательные:  обучить   навыкам:   планирования   деятельности,   работы   в   оптимальном темпе,   подведения   итогов;   развить   умения   оценивать   свои   способности,   свое   положение   в группе, контактировать с товарищами; вызвать чувства ответственности и сопереживания; воспитывать духовно – нравственно на примере жизни выдающихся математиков.  Урок обобщающего повторения и систематизации знаний. Формы работы учащихся: фронтальная, групповая, индивидуальная.  Компьютер, экран, мультимедийный проектор. СТРУКТУРА И ХОД УРОКА № Этап урока 1 Организационный этап. 2 Сообщение темы и цели урока. 3 4 Лирическое отступление.  Повторение теоретического материала. 5 6 7 8 Индивидуальная работа по карточкам. Взаимопроверка. Подведение итогов, рефлексия. Домашнее задание. Инструкции по выполнению. Время (в мин.) 1 1 12 2 20 15 2+5 2 I  . ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ ЭТАП. ПЛАН  УРОКА Показатели выполнения психологической задачи этапа:      доброжелательный настрой учителя и учащихся;  быстрое включение класса в деловой ритм;  организация внимания всех учащихся;  кратковременность организационного момента;  полная готовность класса и оборудования к работе.                Урок   по   теме   «Числа.   Аксиомы   стереометрии».   Урок   проводится   после   изучения   тем «Действительные числа», «Аксиомы стереометрии и следствия из них». Форма организации учебной деятельности индивидуальная. При актуализации знаний предлагаются задания из ЕГЭ. Часть урока отводится выступлениям обучающихся. I  I  .СООБЩЕНИЕ ТЕМЫ И ЦЕЛИ УРОКА. Здравствуйте.                  Человеческая жизнь сложна и многогранна. Нужно решить одну проблему, а затрагивается целый спектр человеческих знаний. Поэтому нам необходимы знания во многих областях.  Вот мы и начнем сегодня разговор о различных сторонах одного предмета – числах.  Тема  нашего  урока «Числа.  Аксиомы  стереометрии».  И  сегодня  мы  попытаемся,  насколько  это возможно, в рамках одного урока рассмотреть эту тему.   Эпиграфом к нашему уроку хочу взять слова   «Больше приносит пользы рассмотрение одного и того же предмета с десяти различных сторон, чем обучение десяти различным предметам, с одной стороны. Нужно знать что­ то точно, хорошо, полно».  А. Дистервег    Активизация   знаний   учащихся.  Вам   было   предложено   несколько   теоретических   вопросов   по алгебре и геометрии в качестве домашней подготовки к уроку. И сегодня мы увидим насколько успешно вы справились с этой задачей.    I  I  I. ПОВТОРЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА.  Проведем устную работу.    На следующем слайде вы видите наглядное изображение понятия «Действительные числа». Сообщения учащихся Натуральные числа  Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный  деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но  еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде  чисел. Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался  выдающийся французский математик, философ­просветитель Даламбер (1717­1783 гг.). Отрицательные числа               Обходиться только натуральными числами неудобно. Например, ими нельзя вычесть большее из меньшего. Для такого случая были введены отрицательные числа: китайцами – в Х в. до н. э.,  индийцами – в VII веке, европейцами – только в XIII веке. В Европе к идее отрицательного  количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский, однако в явном  виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.              Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками « + »  и « ­ »  применил немецкий математик Видман, однако еще в ХVI столетии много математиков (например,  Виет) не признавали отрицательных чисел.  О происхождении дробей С возникновением представлений о целых числах возникали представления и о частях единицы,  точнее, о частях целого конкретного предмета. С появлением натурального числа n возникло  представление о дроби вида 1/n, которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной.  Чтобы выяснить вопрос о происхождении дроби, надо остановиться не на счете, а на другом  процессе, который возник со стародавних времен, ­ на измерении. Исторически дроби возникли в  процессе измерения.  В основе любого измерения всегда лежит какая­то величина (длина, объем, вес и т.д.).  Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали  дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие  раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой  единицей. Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких­то определенных мер.  Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части  других величин, а потом и абстрактные дроби. Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За ней последовали 1/4,  1/8 …, затем 1/3 , 1/6  и т.д., то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или  основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую  очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно  позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего  вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми  натуральными числами. В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все  действия с дробями.              Только в XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и  оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.              Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее  трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало – зайти в  безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики. Обобщение   Натуральные числа, противоположные им (отрицательные) числа и ноль называются  целыми числами. Целые и дробные числа на 2­ом уровне обобщения получили общее  название ­ рациональные числа. Их называли также относительными, потому что любое из  них можно представить отношением двух целых чисел. Каждое рациональное число можно  представить как бесконечную периодическую десятичную дробь.  С помощью рациональных чисел можно осуществлять различные измерения (например,  длины отрезка при выбранной единице масштаба) с любой точностью. То есть совокупность  рациональных чисел достаточна для удовлетворения большинства практических  потребностей. «Иррациональные числа»  Древнегреческие математики классической эпохи пользовались только рациональными числами  (вернее целыми, дробными и положительными).   Что же произошло, когда пифагорейцы открыли иррациональные числа и  в чем состоит проблема  несоизмеримости? На первой стадии познания мира пифагорейцы считали, что все знания можно выразить через  рациональные числа. Однако некоторое время спустя они столкнулись с тем фактом, что есть числа, которые невозможно представить как отношение натуральных чисел. И это привело  их в ужас! Неужели в основании мира лежит что­то  непредсказуемое, неустойчивое, иррациональное (от лат.irrationalis­ неразумный)? Ужас перед иррациональными числами был столько велик, что  пифагорейцы решили скрыть  от  человечества   свое открытие.  Орден пифагорейцев был строго  засекречен. Как же пифагорейцы попытались  частично  разрешить проблему несоизмеримости.    Это им удалось с помощью теоремы Пифагора. Здесь мы можем говорить о загадочном синтезе.  Более того, «иррациональная длина» гипотенузы как бы нейтрализуется «рациональной площадью»  5 √¿ ¿ ¿ ¿ квадрата, построенного на ней как на стороне, например  S= =5. Итак, смысл теоремы  Пифагора (помимо общепринятого) заключается в том, что она разрешает   проблему  несоизмеримости, но только геометрически.  Благодаря открытию несоизмеримости  (иррациональности) человечество приблизилось к тайне гармонии, истины добра, а мир стал  парадоксальнее, загадочнее и прекраснее.  Острота проблемы заключалась ещё в том, что для   античного сознания природа ­ это проявление божества, она одушевлена и населена богами,  демонами и духами. Изучать ее, ставить эксперименты и строить ее модели для человека древнего  мира казалось невозможным и даже опасным.  Ответьте на следующие вопросы. 1. Какие числа называются натуральными? 2. Какие действия всегда выполнимы на множестве натуральных чисел? 3. Какие числа называются целыми? 4. Какие действия всегда выполнимы на множестве целых чисел? 5. Какие числа называются рациональными? 6. Какие действия всегда выполнимы на множестве рациональных чисел? 7.  Сформулировать утверждение о разложении рационального числа в  бесконечную десятичную периодическую дробь. Как доказывается это  утверждение.   Как звучит обратное утверждение? Верно ли оно?   Какие числа называются иррациональными? 8. 9. 10. Какие числа называются действительными? 11. Как записать конечную десятичную дробь в виде бесконечной (два способа)? Как записать число нуль в виде бесконечной десятичной дроби? 12. Какие действия всегда выполнимы на множестве действительных чисел?     Стереометрия – один из важнейших разделов геометрии. Зачем она нужна? Попробуем ответить  на этот вопрос: 1) Именно она формирует пространственные представления, знакомит с разнообразием  пространственных форм, позволяет правильно ориентироваться в окружающем мире; 2) Это метод научного познания, который способствует развитию логического мышления; 3) Исторически стереометрия очень интересна, т.к. связана с именами великих ученых  математиков: Пифагора, Евклида, Архимеда, Кеплера, Декарта, Эйлера, Лобачевского: 4) Стереометрия изучает красивые объекты архитектуры и строительства: пирамида Хеопса,  например, немой трактат по геометрии,  Парфенон – внешнее проявление геометрии  Евклида… Ответить на вопросы: Вопрос 1. Что такое геометрия? 2. Что такое планиметрия? 3. Каковы основные,  неопределяемые фигуры  планиметрии? 4. Что такое аксиома? 5. Вспомните основные  аксиомы планиметрии Ответ раздел математики, изучающий пространственные  структуры, отношения и их обобщения раздел геометрии,  изучающий двумерные  (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые  можно расположить в пределах одной плоскости. Точка и прямая исходное положение какой­либо теории, принимаемое  в рамках данной теории истинным без требования  доказательства и используемое в основе доказательства других ее положений 1. Каждой прямой, принадлежат по крайней мере две точки 2. Имеются,  по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. 4.   Из   трех   точек   прямой   одна   и   только   одна   лежит между двумя другими.  И другие… Используя схему составим краткое описание стереометрических понятий по аналогии с  планиметрией: (лист 3) Геометрия - это наука о свойствах геометрических фигур Планиметрия - это наука о свойствах фигур на плоскости Основные фигуры планиметрии: точка, прямая Стереометрия - это ………………………… ………………………… Основные фигуры ……………….... стереометрии: ………………………… ……………..    VII. РЕФЛЕКСИЯ, ПОДВЕДЕНИЕ  ИТОГОВ  УРОКА. Ребята, давайте оценим нашу работу на уроке. Критерии оценки: 20­21 балл ­ «5»  16­19 баллов – «4» 11­15 баллов – «3» 14 и менее – «2» Слово жюри. V   III   .  ДОМАШНЯЯ РАБОТА . ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ. Индивидуальная по карточкам. Спасибо за работу! По рисунку ответьте на вопросы: 1. Каким плоскостям принадлежит точка А? 2. В каких плоскостях не лежит точка К? 3. По какой прямой пересекаются плоскости ABD и BDC? 4. Какую плоскость задают прямые AD и DC? По рисунку ответьте на вопросы: 1. Каким плоскостям принадлежит М? 2. В каких плоскостях не лежит точка D? 3. По какой прямой пересекаются плоскости ABD и АDC? 4. Какую плоскость задают прямые AС и ВC? Домашнее задание: Задание 1 Определите по рисунку: а) Какие две прямые не лежат на одной плоскости? 1 2 3 4 1DAиAB 1 AB и BC 1CAиAB 1 1CDиAB 1 б) Какие три прямые вместе с прямой   лежат на  AA1 B1 C1 D1 В D C A1 А 1 2 3 одной плоскости? AA 1, ABиDA 1 1 AA 1, ABиBA 1 AA ,1 BCиAB 4 Ни один из этих ответов не верен в) Какие утверждения относительно прямой АВ являются ложными? 1 2 3 Лежит на плоскости  Лежит на плоскости  BBAA 1 1 BCC 1B 1 Не лежит на плоскости  CCBB 1 1 А г) Определите четыре точки, не лежащие на одной плоскости. 1 2 3 4 BиCDA 1 , , 1 1 1 CиBAA , 1, 1 1 CиCBB , 1, 1 CиCAA , 1, 1 D M E К N В С Задание 2 По рисунку назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые КE, MN, DB.  б) точки пересечения прямой DM с плоскостью ABC,      прямой АE с плоскостью DBC. Домашнее задание: Задание 1 Определите по рисунку: а) Какие две прямые не лежат на одной плоскости? B1 C1 D1 В D C A1 А 5 6 7 8 1DAиAB 1 AB и BC 1CAиAB 1 1CDиAB 1 б) Какие три прямые вместе с прямой   лежат на  AA1 5 6 7 одной плоскости? AA 1, ABиDA 1 1 AA 1, ABиBA 1 AA ,1 BCиAB 8 Ни один из этих ответов не верен в) Какие утверждения относительно прямой АВ являются ложными? 4 5 6 Лежит на плоскости  Лежит на плоскости  BBAA 1 1 BCC 1B 1 Не лежит на плоскости  CCBB 1 1 А г) Определите четыре точки, не лежащие на одной плоскости. 5 6 7 8 BиCDA 1 , , 1 1 1 CиBAA , 1, 1 1 CиCBB , 1, 1 CиCAA , 1, 1 D M E К N В С Задание 2 По рисунку назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые КE, MN, DB.    б) точки пересечения прямой DM с плоскостью ABC,      прямой АE с плоскостью DBC. ФИ__________________________________ №1 Ответ Вопрос 1. Что такое геометрия? 2. Что такое стереометрия? 3. Каковы основные,  неопределяемые фигуры  стереометрии? 4. Что такое аксиома? 5. Сформулируйте аксиомы  стереометрии А1 А2 А3 6. Какие числа называются  натуральными? 7. Какие действия всегда  выполнимы на множестве целых  чисел? 8. Какие числа называются  рациональными? 9. Какие числа называются  иррациональными? 10. Сформулируйте признак  делимости на 8. 11. Сформулируйте признак  делимости на 11. 12. Сформулируйте признак  делимости на 7 (на13). 13. С каким показателем  входит число 5 в разложение на  простые множители числа 20! 14. Запишите число в виде  обыкновенной, несократимой  дроби: 0,(36). 15. Могут ли длины сторон  треугольника выражаться  числами √3, √2, 1? №2. Заполнить таблицу, распределив по столбцам соответственно фигуры из предложенного списка:  окружность, квадрат, куб, шар, параллелепипед, ломаная, угол, сфера, объединение трех лучей с общим началом, пирамида, круг, цилиндр, сектор. Плоские фигуры Стереометрические фигуры №3. Символика геометрии: необходимо заполнить таблицу Є   ­   ­  ∩ -      ???║­  ┴   ­  №4. Тест  ­   ­  ­  ­  ∆  ­   Вариант 1 Вариант 2 Найдите значение выражения Найдите значение выражения 1. 2.                                3.       1           2.             3.    4. (7x ­ 10)(7x + 10) ­ 49x2 + 2x + 49,  при х = 50. 4. (7x ­ 3)(7x + 3) ­ 49x2 + 2x + 50, при х = 60.