Тема урока: Численное решение уравнений с одной переменной

Тема урока: Численные методы решения задач математического анализа    Урок №  Цели урока: 1. Обучающая: рассмотреть численные методы решения задач математического анализа. 2. Развивающая: Развивать память, логическое мышление.  3. Воспитательная: Воспитывать аккуратность, самодисциплину.  : Изучение нового материала Тип  урока    Вид урока: лекция, практикум.  Методы: Словесные, практические        Оборудование: мультимедийный проектор, экран.  I. Оргмомент II. Актуализация опорных знаний      Устный опрос.  II. Целевая установка. Ход урока. 1. Тема урока                      2. Цель урока III. Формирование новых понятий и способов действий.  К численным методам решения задач математического анализа относятся:     изучение алгоритма метода,  условия сходимости итерационных методов,  изучение границ применимости методов,  исследования оценок погрешностей методов и вычислений.  Методы решения большинства задач численных методов можно разделить на два типа: прямые и  Определение 1. Метод решения задачи называется прямым, если он дает ее точное решение за  итерационные. конечное число действий.  Заметим, что при реализации прямого метода на ЭВМ вообще говоря возникает вычислительная  погрешность, связанная с конечным числом разрядов ЭВМ для представления вещественных чисел.  Определение 2. Метод решения задачи называется итерационным, если он дает точное решение как  предел последовательности приближений, вычисляемых по единообразной схеме. Как правило, нельзя рекомендовать какой­либо один метод, который можно использовать для  решения всех без исключения задач, возникающих на практике. Одни методы в этом отношении являются  более общими, другие ­ менее общими. Наконец, целую группу методов (методы исследования функций  классического анализа, метод множителей Лагранжа, методы нелинейного программирования) на  определенных этапах решения оптимальной задачи можно применять в сочетании с другими методами,  например динамическим программированием или принципом максимума. В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие методы:   методы исследования функций классического анализа;   методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа;       вариационное исчисление;  динамическое программирование; принцип максимума; линейное программирование;  нелинейное программирование. Методы исследования функций классического анализа представляют собой наиболее известные  методы решения несложных оптимальных задач, с которыми известны из курса математического анализа.  Обычной областью использования данных методов являются задачи с известным аналитическим  выражением критерия оптимальности, что позволяет найти не очень сложное, также аналитическое  выражение для производных. Полученные приравниванием нулю производных уравнения, определяющие  экстремальные решения оптимальной задачи, крайне редко удается решить аналитическим путем,  поэтому, как, правило, применяют вычислительные машины. При этом надо решить систему конечных  уравнений, чаще всего нелинейных, для чего приходится использовать численные методы, аналогичные  методам нелинейного программирования. Метод множителей Лагранжа применяют для решения задач такого же класса сложности, как и  при использовании обычных методов исследования функций, но при наличии ограничений типа равенствна независимые переменные. К требованию возможности получения аналитических выражений для  производных от критерия оптимальности при этом добавляется аналогичное требование относительно  аналитического вида уравнений ограничений. Методы вариационного исчисления обычно используют для решения задач, в которых критерии  оптимальности представляются в виде функционалов и решениями которых служат неизвестные функции. Такие задачи возникают обычно при статической оптимизации процессов с распределенными параметрами или в задачах динамической оптимизации. Динамическое программирование служит эффективным методом решения задач оптимизации  дискретных многостадийных процессов, для которых критерий оптимальности задается как аддитивная  функция критериев оптимальности отдельных стадий. Без особых затруднений указанный метод можно  распространить и на случай, когда критерий оптимальности задан в другой форме, однако при этом  обычно увеличивается размерность отдельных стадий. При решении задач методом динамического программирования, как правило, используют  вычислительные машины, обладающие достаточным объемом памяти для хранения промежуточных  результатов решения, которые обычно получаются в табличной форме. Принцип максимума применяют для решения задач оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений. Достоинством математического аппарата принципа максимума является  то, что решение может определяться в виде разрывных функций; это свойственно многим задачам  оптимизации, например задачам оптимального управления объектами, описываемыми линейными  дифференциальными уравнениями. Нахождение оптимального решения при использовании принципа максимума сводится к задаче  интегрирования системы дифференциальных уравнений процесса и сопряженной системы для  вспомогательных функций при граничных условиях, заданных на обоих концах интервала интегрирования, т. е. к решению краевой задачи. На область изменения переменных могут быть наложены ограничения.  Систему дифференциальных уравнений интегрируют, применяя обычные программы на цифровых  вычислительных машинах. Линейное программирование представляет собой математический аппарат, разработанный для  решения оптимальных задач с линейными выражениями для критерия оптимальности и линейными  ограничениями на область изменения переменных. Такие задачи обычно встречаются при решении  вопросов оптимального планирования производства с ограниченным количеством ресурсов, при  определении оптимального плана перевозок (транспортные задачи) и т. д. Для решения большого круга задач линейного программирования имеется практически  универсальный алгоритм ­ симплексный метод, позволяющий за конечное число итераций находить  оптимальное решение подавляющего большинства задач. Тип используемых ограничений (равенства или  неравенства) не сказывается на возможности применения указанного алгоритма. Дополнительной  проверки на оптимальность для получаемых решений не требуется. Как правило, практические задачи  линейного программирования отличаются весьма значительным числом независимых переменных.  Поэтому для их решения обычно используют вычислительные машины, необходимая мощность которых  определяется размерностью решаемой задачи. Методы нелинейного программирования применяют для решения оптимальных задач с нелинейными функциями цели. На независимые переменные могут быть наложены ограничения также в виде  нелинейных соотношений, имеющих вид равенств или неравенств. По существу методы нелинейного  программирования используют, если ни один из перечисленных выше методов не позволяет сколько­ нибудь продвинуться в решении оптимальной задачи. Поэтому указанные методы иногда называют также  прямыми методами решения оптимальных задач. Для получения численных результатов важное место отводится нелинейному программированию и в  решении оптимальных задач такими методами, как динамическое программирование, принцип максимума  и т. п. на определенных этапах их применения. В последнее время разработан и успешно применяется для решения определенного класса задач  метод геометрического программирования. Геометрическое программирование есть метод решения одного специального класса задач  нелинейного программирования, в которых критерий оптимальности и ограничения задаются в виде  позиномов ­ выражений, представляющих собой сумму произведений степенных функций от независимых  переменных. С подобными задачами иногда приходится сталкиваться в проектировании. Кроме того,  некоторые задачи нелинейного программирования иногда можно свести к указанному представлению,  используя аппроксимационное представление для целевых функций и ограничений. IV.  Совершенствование навыков умственного труда        Устный опрос V.  Итог  урока.   Подведение итогов, выводы.VI. Домашнее задание:            Конспект