Тема урока: Исследование функции на выпуклость, вогнутость и перегиб.

Тема урока: Исследование функции на выпуклость, вогнутость и перегиб.    Урок №  Цели урока: 1. Обучающая:   Рассмотреть   понятия   выпуклости   вверх   и   выпуклости   вниз   функции, необходимое и достаточное условия наличия точки перегиба. 2. Развивающая: Способствовать развитию логического мышления, памяти.         3. Воспитательная: Аккуратное ведение конспектов, самодисциплина.    : Урок изучения нового материала          Тип  урока        Вид урока: лекция        Методы:  словесные                 Оборудование: раздаточный материал по теме урока. Ход урока.  I. Оргмомент II. Актуализация опорных знаний        Результаты с.р. практического занятия № 5.  II. Целевая установка. 1. Тема урока                      2. Цель урока III. Формирование новых понятий и способов действий.  Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если  для любых точек x1 и x2 из этого отрезка  Другими словами, если для любых точек x1 и x2 отрезка [a; b] секущая AB проходит под  графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх. Аналогично определяется функция, выпуклая вниз. Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вверх, если для любого  Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вниз, если для любого      Так, вторая производная функции   равна   функция выпукла вниз на всей области определения.  откуда следует, что квадратичная  Пусть функция f (x) непрерывна в точке   и имеет в этой точке конечную или бесконечную  производную. Тогда точка  направление ее выпуклости.  называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется Необходимое условие наличия точки перегиба. Если   – точка перегиба функции f(x), и  функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то  Достаточные условия наличия точки перегиба. Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке  .  Если   меняет знак при переходе через точку  , то    – точка перегиба функции f (x).Если   Приведем примеры, когда точка x0 не является точкой перегиба несмотря на то, что ее вторая  – точка перегиба функции f (x).   то   производная меняет знак при переходе через эту точку:  если функция разрывна в точке  (например,      );  в случае угловой точки (например,      Не являются точками перегиба и точки возврата, например точка х0 = 0 у функции   Все вышеперечисленные случаи изображены на рисунке. Точки, не являющиеся точками перегиба: точка разрыва, точка возврата, угловая точка IV.  Формирование навыков умственного труда        Пример 1.  Выяснить промежутки, на которых график функции  выпуклость направленную вверх и выпуклость направленную вниз.  имеет  Решение.  Областью определения этой функции является все множество действительных чисел. Найдем  вторую производную. Область определения второй производной совпадает с областью определения исходной функции,  поэтому, чтобы выяснить интервалы вогнутости и выпуклости, достаточно решить  и соответственно. Следовательно, функция выпуклая вниз на интервале   и выпуклая вверх на интервале . V. Итог  урока.       Подведение итогов, выводы. VI. Домашнее задание:           Конспект.