Тема урока: Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

Тема урока: Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого  порядка.    Урок №  Цели урока: 1. Обучающая: Рассмотреть общий вид линейного обыкновенного дифференциального уравнения  первого порядка и способы его решения.  Развивающая: Способствовать развитию логического мышления, памяти. 2.         3. Воспитательная: Аккуратное ведение конспектов, самодисциплина.    : Урок изучения нового материала          Тип  урока        Вид урока: комбинированный         Методы:  словесные                 Оборудование: мультимедийный проектор, экран. Ход урока.  I. Оргмомент II. Актуализация опорных знаний     Анализ сам. работы из практ. занятия № 11.  II. Целевая установка. 1. Тема урока                      2. Цель урока III. Формирование новых понятий и способов действий.      Уравнение   вида  y'+ (x)y   =   f(x), ρ   где   (x)ρ   и  f(x)  непрерывные   функции,   называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. IV.  Формирование навыков умственного труда Пример 1. Решить дифференциальное уравнение: y' – y = ex Решение. Линейное дифференциальное уравнение можно решить одной­единственной заменой: y = uv, где u и v – некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «икс». Далее   находим   производную.   По   правилу   дифференцирования   произведения: Подставляем  y = uv и  в наше уравнение, получим :     После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих местах: У них нужно вынести за скобки всё, что можно вынести. В данном случае: Теперь нужно составить систему уравнений. Система составляется стандартно: Приравниваем к нулю то, что находится в скобках. Если  v­v = 0, тогда из нашего уравнения  получаем: u'v = ex  Уравнения записываем в систему: Решаем систему:Далее подставляем найденную функцию  во второе уравнение системы. Из него находим: . Записываем общее решение:   Пример   2.  Найти   общее   решение   уравнения   y'+3y=e2x  и   частное   решение, удовлетворяющее начальным условиям х=0, у=1. Решение. Данное уравнение является линейным. ρ 2x.      Здесь  (x) = 3 и f(x) = e      Решение ищем в виде y =u∙ υ υ , где  u и   – некоторые функции от х.      Находим y'= u' + u ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем:  υ υ υ υ u' +u '+3u  = e υ , при котором выражение в скобках, обращается в нуль: 2x   или u' +u( '+3 )= e          Найдем одно значение  '+3 =0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем:    2x. υ υ υ υ υ υ dv dx+3v=0                   Подставляем   найденное   значение     dv v=−3dx         ln υ = –3x    υ = e–3x. υ   в   исходное   дифференциальное   уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:       Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:       Найдем частное решение. Для этого подставим  начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.      Частное решение имеет вид: .V. Итог  урока.       Подведение итогов, выводы. VI. Домашнее задание:          Конспект.