Тема урока: Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

   Урок №

Тема урока: Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

с  разделяющимися переменными

Цели урока:

1.    Обучающая: Рассмотреть общий вид обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с  разделяющимися переменными и его решение.

2.     Развивающая: Способствовать развитию логического мышления, памяти.

        3. Воспитательная: Аккуратное ведение конспектов, самодисциплина.

       Тип  урока: Урок изучения нового материала

       Вид урока: комбинированный

       Методы:  словесные        

       Оборудование: мультимедийный проектор, экран.

Ход урока.

 I. Оргмомент

II. Актуализация опорных знаний

     Для изучения новой темы нам понадобятся ваши знания по изученным темам.

 II. Целевая установка.

1.      Тема урока                      2. Цель урока

III. Формирование новых понятий и способов действий.

   Определение. Дифференциальное уравнение вида:

называется уравнением с разделяющимися переменными. Если  то его можно представить в виде

В результате почленного интегрирования получаем

IV.  Формирование навыков умственного труда

       Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения (1 +е^2х)^y2dy = e^хdx и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 0.

Решение.

Разделим переменные: Почленно интегрируя, получим:, или

y³ =3arctg e^x +C, или у = +C — общее решение дифференциального уравнения.

Найдем постоянную интегрирования С из условия у(0) = 0: 0 = 3  + С или C = -

  Частное решение имеет вид y³ =3arctg e^x -     или  у =

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения х + уу' = 0 и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 2.

Решение.

Разделяя переменные и обозначая , получим  y = -x,  ydy = -xdx

Почленно интегрируя, будем иметь  или х² + у² = С —общее решение дифференциального уравнения. Найдем постоянную ин­тегрирования С из условия у(0) = 2: 0 + 4= С=> С = 4.

Частное решение имеет вид х² + у² = 4.

Замечание. Геометрической интерпретацией общего решения данного уравнения является семейство концентрических окружностей х² + у² = С с центром в начале координат. Частное решение представляет собой конк­ретную окружность х² + у² = 4, проходящую через точку с координатами (0;2).

V. Итог  урока.

     Подведение итогов, выводы.

VI. Домашнее задание:    Конспект.