Теорема Пифагора

Муниципальное бюджетное государственное образовательное учреждение Перенская средняя школа Рославльского района Смоленской области Исследовательский проект «Теорема Пифагора  и оригинальные способы её доказательства» Номинация «Царица наук» Выполнила ученица 9 класса    МБОУ     Перенской средней школы Рославльского   района   Смоленской области  Новикова Вероника учитель Руководитель: математики   МБОУ       Перенской средней школы                                                      Соловьева Галина Дмитриевна                                                                                                 2014г.                                                       Содержание работы          I   Введение           II История открытия теоремы           III  Оригинальные способы доказательства теоремы  III.1 Простейшее доказательство            III.2 Немного юмора             III.3 Стул невесты             III.4 Алгебраический метод  доказательства             III.5 Доказательство через подобные треугольники             III.6 Доказательство Хоукинсa             III.7 Доказательство Мельманна             III.8 Доказательство Гарфилда             III.9 Доказательство Бетхера           IV Значение и применение теоремы            V Заключение          VI Литература I .  ВВЕДЕНИЕ. Интерес в подготовке данного проекта вызван желанием узнать об истории создания  теоремы, оригинальных ее способах доказательств и практическом ее применении в нашей  жизни. Основной метод, который я использовала в своей работе, это метод систематизации  и обработки данных. Мой проект является пособием для учителей и учащихся. Цели исследования: 1. Сформировать в себе отношение к геометрии как к части общечеловеческой  культуры. 2. Формирование компетентности в сфере самостоятельной познавательной  деятельности.  Задачи работы: 1. Приобрести навыки самостоятельной работы с большими объемами информации. 2. Развить навыки исследовательской деятельности.  3. Активизировать деятельность в творческом направлении. 4. Научиться ясно, точно, грамотно излагать свои мысли.  Основополагающий вопрос: что должен знать ученик об истории создания теоремы  Пифагора и интересных способах ее доказательства? Проблемные вопросы:  1.Почему теорема Пифагора получила мировую известность? 2.Чем интересны различные способы её доказательства? 3.Каково её практическое применение? II История открытия теоремы  Исторический обзор начнём с Древнего Китая.                                Особое внимание привлекает математическая книга  Чу­ пей. В этом сочинении так  говорится о пифагоровом  треугольнике со сторонами 3,4,5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". Также Теорема Пифагора была обнаружена и в  древнекитайском  трактате  «Чжоу – би суань цзинь», где утверждается, что в XVв.до н.э. китайцы знали  свойства египетского треугольника, а в XVI в.до н.э. – общий вид теоремы. Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что  равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена  царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели верёвок", строили прямые углы при  помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Соотношение между катетами и гипотенузой можно встретить у вавилонян. В одном  тексте, относимом ко времени царствования Хаммурапи, т. е. к  2000 г. до н.э., приводится  приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Теорема о квадрате гипотенузы встречается в священных древнеиндийских книгах  «Сульва­сутра» («Правила верёвки») созданных в период с VII по  IV веках до н.э. Читаем  правило для построения прямого угла ­ перпендикуляра к направлению жертвенника: «К  концам отрезка длиной 39 прикрепим  концы верёвки длиной 51 с узлом на расстоянии  15 от одного из концов; держа за узел и , подтянув верёвку, получим прямой угол».  Известная нам теорема Пифагора там имела следующую формулировку: «Квадрат  диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его большей и меньшей сторон.           Квадрат на диагонали квадрата в два раза больше самого  квадрата». Я предполагаю, что теорема Пифагора была известна задолго до Пифагора. Изучение этих  рукописей доказывает, что возможно, за тысячелетия до него. Заслуга же Пифагора  состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы. Его имя прочно сплавилось с  теоремой Пифагора, так же, как и легенда о заклинании быков. Немецкий писатель­романист Шамиссо с юмором пишет:   Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек!         И ныне теорема Пифагора         Верна, как и в его далёкий век.         Обильно было жертвоприношенье         Богам от Пифагора. Сто быков         Он отдал на закланье и сожженье         За света луч, пришедший с облаков.         Поэтому всегда с тех самых пор,         Чуть истина рождается на свет,         Быки ревут, её почуя ,вслед.         Они не в силах свету помешать ,         А могут лишь, закрыв глаза, дрожать         От страха, что вселил в них Пифагор III  Оригинальные способы доказательства теоремы  III.1 Простейшее доказательство Для доказательства нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только  прямоугольным, но и равнобедренным. Утверждение «квадрат, построенный на  гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах» можно проиллюстрировать следующим чертежом Посмотрите на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC: На гипотенузе АС  можно построить квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному АВС.  А на катетах АВ и ВС построено по квадрату, каждый из которых содержит по два  аналогичных треугольника. Т.е.a2+b2=c2 – вы доказали теорему Пифагора.             III.2 Немного юмора  Этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме  Пифагора. Самый знаменитый, пожалуй, это «Пифагоровы штаны во все стороны  равны»: III.3 Стул невесты  Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» ­  из­за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений.              Предлагаю мысленно отрезать от чертежа на рис.1 два зеленых прямоугольных  треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и  гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура  под названием «стул невесты» (рис.2). Для наглядности я тоже самое проделала с  бумажными квадратами и треугольниками. И убедилась, что «стул невесты» образуют  два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной a. Эти построения позволили древнекитайским математикам и мне вслед за ними прийти к выводу, что c2=a2+b2. III.4 Алгебраический метод  доказательства  Этот рисунок иллюстрирует доказательство великого  индийского математика Бхаскари ( знаменитого автора Лилавати, ХII в.)В пояснении к  рисунку  он написал только одно слово: "Смотри!". Учёные считают, что Бхаскари  выражал площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей  треугольников (4ab/2) и площадь внутреннего квадрата (a ­ b)²: c²=4ab/2+(a ­b)²;         c²=2ab+a²­2ab+b²;         c²=a²+b².        Теорема доказана.  III.5 Доказательство через подобные треугольники   В прямоугольном треугольнике АВС  b c C D a B A проведём из вершины прямого угла высоту CD; тогда треугольник разобьётся на два  треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут  подобны друг другу  и исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым  признаком подобия прямоугольных  треугольников  (по острому углу) Из пропорциональности сторон подобных                                                                                треугольников следуют верные равенства:        АC*AC=AB*AD; BC*BC=AB*BD;  Складывая эти два верных равенства,                                                                                       и получим, что c²=a²+b².      Теорема доказана. III.6 Доказательство Хоукинсa Хоукинс задаёт поворот плоскости по часовой стрелке с центром в  точке С на 90 градусов. Тогда образом треугольник ВСА при этом повороте перейдет в  треугольник B’CA’ .Проведём высоту В'D  треугольника В'АВ. Выделим штриховкой   невыпуклый четырёхугольник A'АВ'В. Его можно разложить или на два равнобедренных  треугольника САA' и СВВ' ,или на два треугольника A'В'А и A'В'В.  SCAA'=b²/2  ,     SCBB'=a²/2 SA'AB'B=(a²+b²)/2  Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание A’B’=с и высоты DA и DB,  поэтому :  SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая два полученных выражения для вычисления  площади одной и той же фигуры,  получим: a²+b²=c² Теорема доказана.  III.7 Доказательство Мельманна  Площадь данного прямоугольного треугольника, с  одной стороны, равна         с другой        ,где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности   Имеем:    c²=a²+b². откуда следует, что с2= а2 +b2. III.8 Доказательство Гарфилда Гарфилд пользуется тем, что площадь прямоугольного  треугольника равна половине произведения его катетов, а площадь трапеции равна  произведению полусуммы оснований на высоту. На рисунке мы видим три  прямоугольных треугольника составляют прямоугольную трапецию. Поэтому площадь  этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как  сумму площадей трех треугольников. Имеем: Sтрапеции=0,5(a+b)² Sтрапеции=0,5ab+0,5ab+0,5c² Приравнивая правые части, получим: a²+b²=c² Теорема доказана. III.9 Доказательство Бетхера  Это доказательство теоремы интересно тем, как из треугольников, входящих в состав  квадратов, построенных на катетах, можно составить квадрат, построенный на  гипотенузе. Бетхер нам это показывает. Нижние треугольники 8 и 4 отодвигаем от фигуры 5­1, перераспределяем 7;6;2;3 так,  как показано на втором рисунке.  Очень надеюсь, что вам самим захочется взять в руки ножницы,  бумагу и составить эту композицию, чтобы убедиться ещё  раз, что площадь квадрата, построенного на  гипотенузе, действительно равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.  IV Значение и применение теоремы Теорема Пифагора­ это одна из самых важных теорем геометрии.  Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство  теорем геометрии. Она позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, и открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трехмерное пространство и  дальше – в многомерные пространства. Этим определяется ее исключительная важность для геометрии и математики в целом. Я была очень удивлена, когда узнала, что теорема Пифагора находит применение не  только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже  литературе. Сначала про строительство: теорема Пифагора находит в нем широкое  применение в задачах разного уровня сложности. Например, посмотрите на окно в  романском стиле: Для того, чтобы вычислить радиус внутреннего окна требуется теорема Пифагора. Какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы  передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.)  Используя теорему Пифагора, получим ответ 2,3 км. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной  крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. Решение:  По теореме Пифагора h2 ≥ a2 +b2, значит h ≥ (a2 + b2)½. Ответ: h ≥ (a2+b2)½ Теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это  делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта  фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета: Свет истины рассеется не скоро, Но, воссияв, рассеется навряд И, как тысячелетия назад, Не вызовет сомнения и спора. Мудрейшие, когда коснется взора Свет истины, богов благодарят; И сто быков, заколоты, лежат – Ответный дар счастливца Пифагора. С тех пор быки отчаянно ревут: Навеки всполошило бычье племя Событие, помянутое тут. Им кажется: вот­вот настанет время, И сызнова их в жертву принесут Какой­нибудь великой теореме.                                                            (перевод Виктора Топорова) А в двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения  Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы  рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора  стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в  нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает  значения слов «круглый» и «пушистый». А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики  Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько  разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на  знакомые вещи посмотреть по­новому. V Заключение В мире уже известно более 500 различных доказательств теоремы Пифагора, я выбрала  наиболее интересные, оригинальные доказательства. Мой проект помогает заглянуть за  пределы школьной программы по математике .  Я в работе показала связь между теоремой Пифагора и другими дисциплинами; её  практическую значимость. Попыталась собрать и обобщить информацию по данной  теме. Мною  было прочитано, изучено, переосмыслено огромное количество  литературы, посещено множество сайтов. Наука математика, через теорему Пифагора  тесно связана с искусством, музыкой, философией, астрономией. Теорема Пифагора –  это одно из двух имеющихся в геометрии сокровищ. И за эту ценность мы должны быть  благодарны Пифагору – великому человеку, основоположнику современной  математики. Именно он воспитал в человечестве веру в могущество разума,  убеждённость в познаваемости природы, уверенность в том, что ключом к тайнам  мироздания является математика.  Я хотела помочь своим одноклассникам прочувствовать, насколько математика  интересная наука. Убедиться на конкретных примерах, что в ней всегда есть место  творчеству. И надеюсь, что теорема Пифагора и мой проект вдохновят учащихся на  самостоятельные поиски и волнующие открытия в математике и других науках. В  дальнейшем я буду расширять эту работу, пополняя ее новыми знаниями по этой теме.               VI     Информационные ресурсы: Литература: 1. Акимова С. Занимательная математика, серия "Нескучный учебник". –  Санкт­Петербург. : "Тригон", 1997. 2. Волошников А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.:  Просвещение, 1993. 3. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1981. 4. Еленьский Ш. По следам Пифагора. М., 1961. 5. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960. 6. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней  школе. М., 1963. 7. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск,  1978. 8. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. – 3­е  изд., испр. и доп. – М.: Педагогика­Пресс, 1997. Интернет– ресурсы.  http://center.fio.ru/ ­ Московский Центр Интернет­образования 1. .