Урок № Тема урока: Численные методы решения задач математического анализа

Тема урока: Численное решение уравнений с одной переменной.    Урок №  Цели урока: 1. Обучающая: рассмотреть численные методы решения уравнений с одной переменной. 2. Развивающая: Развивать память, логическое мышление.  3. Воспитательная: Воспитывать аккуратность, самодисциплину.  : Изучение нового материала Тип  урока    Вид урока: лекция, практикум.  Методы: Словесные, практические        Оборудование: мультимедийный проектор, экран. Ход урока.  I. Оргмомент II. Актуализация опорных знаний      Устный опрос.  II. Целевая установка. 1. Тема урока                      2. Цель урока III. Формирование новых понятий и способов действий.  Численные методы решения уравнений вида F(x)=0 необходимы, когда уравнение не  может быть решено аналитически. Данные методы используются для численного решения  любых уравнений на компьютере. Решение уравнения f(x)=0 и системы уравнений F(x)=0 состоит из двух этапов: 1) Отделение корней, то есть отыскание достаточно малых областей, в каждой из  которых заключен ровно один корень уравнения или системы уравнений. 2) Вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью. Рассмотрим этап №2. Существуют следующие численные методы решения уравнений: 1. Метод деления отрезка пополам. 2. Метод хорд. 3. Метод Ньютона (метод касательных). 4. Метод простой итерации. 1. Метод деления отрезка пополам. 1) Пусть на участке [a,b] находится значение единственного корня уравнения. 2) Принимаем в качестве начального приближения корня середину отрезка с0 3) Находим значение функции на концах отрезков [a,c0] и [c0,b]. 4) Корень уравнения находится на том участке, на концах которого функция принимает  противоположные значения. Далее рассматриваем этот участок. 5) Принимаем в качестве начального приближения корня середину нового участка  с Условие останова:  (длина нового участка меньше 2 ) или ε 1= а1+в1 2  (значение функции близко к нулю на величину  ).ε k – номер итерации;  ε – допустимая погрешность. Достоинство: 1) Метод сходится всегда для любых функций. Недостаток: 1) Сходимость достаточно медленная. 2. Метод хордУсловие останова:  Сходимость метода хорд более быстрая. 3. Метод Ньютона 1) Находим начальное приближение корня x=c0. 2) Проводим через эту точку касательную.  3) Находим точку пересечения касательной с осью x. Это новое приближение корня. 4) И т.д. Достоинства: 1) Скорость сходимости значительно выше, чем у других методов. Недостатки: 1) Объем вычислений на каждой итерации больше. Необходимо вычислять не только  значение функции в точке, но и значение ее первой производной. 2) Трудность в выборе начального приближения корня. При неудачном выборе начального приближения итерации могут расходиться. 4. Метод простой итерации 1) Исходное уравнение записывается в виде: x=f(x)  2) Задается начальное приближение корня x=c0. 3) Вычисляется новое значение корня по п.1. и т.д. IV.  Совершенствование навыков умственного труда        Устный опрос V.  Итог  урока.   Подведение итогов, выводы. VI. Домашнее задание:     Конспект