Урок алгебры на тему " Метод интервалов"

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ Цели:  повторить   определение   квадратного   неравенства   и   его   решения; напомнить   еще   один   способ   рассуждений,   который   можно   применять   при решении неравенств, – это метод интервалов; упражнять учащихся в решении квадратных неравенств; развивать логическое мышление учащихся. Ход урока I. Устная работа. 1.   Что   называется   квадратным   неравенством   с   одной   переменной  х?   Что называется решением неравенства f(х) > 0? 2. Разобрать решение примера 2 по учебнику на с. 9–10 (рис. 1). 3. Сформулировать два утверждения, применяемые при решении квадратных неравенств (при дискриминанте D < 0). 4.   Записать   в   тетрадях  теорему:   квадратный   трехчлен  ах2  +  bх  +  с  с отрицательным   дискриминантом   при   всех   значениях  х  имеет   знак   старшего коэффициента а. 5.   Разобрать   решение   примера   3   на   с.   10   учебника   и   записать   в   тетради решение. а) 2х2 – х + 4 > 0; D = – 31 < 0; а = 2, а > 0; значит, по теореме, при всех х выполняется неравенство 2х2 – х + 4 > 0. О т в е т: (– ∞; + ∞). б) – х2 + 3х – 8 ≥ 0; D = – 23 < 0; а = – 1, то есть а < 0. Тогда по теореме – х2 + 3х – 8 < 0. Значит, данное неравенство не имеет решений. О т в е т: нет решений. II. Выполнение упражнений. 1. Решить № 1.5 (а; в) на доске и в тетрадях.     а) х2 – 6х – 7 ≥ 0         х2 – 6х – 7 = 0        D = (– 6)2 – 4 ∙ 1 ∙ (– 7) = 64 6 8   1 6 8   7  2  2  2 2 14 2        х1 =         х2 =  в) – х2 + 6х – 5 < 0     – х2 + 6х – 5 = 0     D = 62 – 4 ∙ (– 1) ∙ (– 5) =      = 36 – 20 = 16  10   2 6 4   5     х1 =    2  6 4  2     х2 =    1   2 2     О т в е т: х ≤ – 1, х ≥ 7. 2.  Решить   №   1.6  (в;   г).   Двое   учащихся   решают   самостоятельно   на   доске, О т в е т: х < 1, х > 5. остальные – в тетрадях, затем проверяется решение.     в) 6х2 – 7х – 20 ≤ 0         6х2– 7х – 20 = 0         D = (– 7)2 – 4 ∙ 6 ∙ (– 20) = 529 г) 15х2 – 29х – 2 > 0     15х2 – 29х – 2 = 0     D = (– 29)2 – 4 ∙ 15 ∙ (– 2) = 961 7 23   12  12  16 12 30 12  4 3 5 2 7 23           х1 =          х2 =  29 31   1 15 29 31   2  2 30 60 30  30  30     х1 =      х2 =              О т в е т:   4 3 5 2 .  ≤ х ≤  О т в е т: х <   1 15 ;  х > 2. 3. Решить № 1.7 (в; г) с комментированием на месте.     в) 5х2 – 2х + 1 < 0         5х2 – 2х + 1 = 0         D = (– 2)2 – 4 ∙ 5 ∙ 1 = – 16 < 0         а = 5 > 0;          по теореме не имеет решений.     О т в е т: нет решений. г) – 7х2 + 5х – 2 ≤ 0     – 7х2 + 5х – 2 = 0     D = 52 – 4 ∙ (– 5) ∙ (– 2) =     = – 31 < 0     а = – 7 < 0, тогда по теореме      х – любое число. О т в е т: (– ∞; + ∞).III. Работа по учебнику. 1. Вспомним еще один способ рассуждений, который можно использовать  при решении   неравенств.   Разберем   решение   неравенства  х2  – 6х  + + 8 > 0 по учебнику на с. 10–11 (пример 4) по рис. 2. 2. Метод рассуждений, который мы применили в примере 4, называют обычно методом интервалов (или методом промежутков). Он активно используется в математике для решения рациональных неравенств. 3.   Решить   №   1.14   (а)   и   1.10   (б)   методом   интервалов.   Решение   объясняет учитель. (3  )( х х  7) 1.14   (а)   .   Выражение   имеет   смысл,   если   подкоренное выражение неотрицательно, то есть (3 –  х)(х  + 7) ≥ 0. Отметим на числовой прямой числа 3 и – 7. Если х < – 7, то 3 – х > 0  и  х + 7 < 0. Если – 7 ≤ х ≤ 3, то 3 – х > 0 и  х + 7 > 0. Если х > 3, то  3 – х < 0  и  х + 7 > 0. О т в е т: – 7 ≤ х ≤ 3, или [– 7; 3]. 2 х 5 х 1.10 (б)    Выражение  имеет  смысл,  если  5х –  х2  +  6 ≥ 0; – х2 + 6. 5х + 6  =  0;  D = 52 – 4 ∙ (– 1) ∙ 6 = 49;  х1 = – 1;  х2 =  6;  тогда  – (х + + 1)(х – 6) ≥ 0. О т в е т: – 1 ≤ х ≤ 6. 4. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить самостоятельно с проверкой. 144 2 153 7,8 8,7 7,8 1,3  144 18 144 18  153 90 153 90    7,8 8,7 1,3                  2  100 2 2 18 90  100   126 162 63 243  7,8 10 100     2 2  1 3 7,8 10   4 3 1 1 ; 3  0,78. 2) Решить на доске и в тетрадях. 428 + 427 = 427 ∙ (42 + 1) = 427 ∙ 43 кратно 43; 223 + 220 = 220 ∙ (23 + 1) = 220 ∙ 9 = 217 ∙ (23 ∙ 9) = 217 ∙72 кратно 72.IV. Итог урока. Выставление отметок. Домашнее задание: решить № 1.15 на с. 12 задачника; решить № 1.5 (б; г), № 1.6 (а; б), № 1.7 (а; б).