Урок математики в 9 классе "Решение неравенств методом интервала"

Учитель: Бучилова Галина Валентиновна
МОУ «Средняя общеобразовательная школа
сИвановка Ивантеевского района Саратовской области»

2014 год

«Знания, которые не пополняются ежедневно, убывают с каждым днем»


Французская пословица

Устный счет

«Всякий день есть учебник дня вчерашнего»

Римский поэт Публий Сира

Математика – это цепь понятий: выпадет одно звено – и не понятно будет дальнейшее.
Н.К.Крупская
Решить неравенство:
x2 - 7x + 12 > 0.

Нам надо решить вот такое неравенство:(x − 5)(x + 3) > 0

Какие есть варианты?

Во-первых: слева стоит квадратичная функция, график которой — парабола.

Причем эта парабола пересекает ось OX в точках x = 5 и x = −3.
Для дальнейшей работы надо раскрыть скобки. Имеем:
x2 − 2x − 15 > 0
Теперь понятно, что ветви параболы направлены вверх,
т.к. коэффициент a = 1 > 0.

Функция больше нуля там, где она проходит выше оси OX. В нашем случае это интервалы (−∞ −3) и (5; +∞) — это и есть ответ.

Во-вторых: правила «плюс на плюс дает плюс» и «минус на минус дает плюс».

Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда обе скобки положительны:
x − 5 > 0 и x + 3 > 0.
Затем также рассмотрим случай, когда обе скобки отрицательны:
x − 5 < 0 и x + 3 < 0.
Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Физминутка

«В учении нельзя останавливаться»

А теперь представьте, что множителей будет не 2, а хотя бы 4. Например:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9) < 0
Как решать такое неравенство?

Перебирать все возможные комбинации плюсов и минусов? Да мы уснем быстрее, чем найдем решение.
Рисовать график — тоже не вариант, поскольку непонятно, как ведет себя такая функция на координатной плоскости.
Для таких неравенств нужен специальный алгоритм решения, который мы сегодня и рассмотрим.

Что такое метод интервалов?

Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f (x) > 0 и f (x) < 0.

Тема урока:

Решение неравенств методом интервалов.

Решить уравнение f (x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f (x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.
После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f (x) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f (x) < 0.

«На примерах мы учимся»

Наибольшие трудности в методе интервалов возникают на последних двух шагах, т.е. при расстановке знаков. Многие ученики начинают путаться: какие надо брать числа и где ставить знаки.

Чтобы окончательно разобраться в методе интервалов, рассмотрим два замечания, на которых он построен:

Непрерывная функция меняет знак только в тех точках, где она равна нулю. Такие точки разбивают координатную ось на куски, внутри которых знак функции никогда не меняется. Вот зачем мы решаем уравнение f (x) = 0 и отмечаем найденные корни на прямой. Найденные числа — это «пограничные» точки, отделяющие плюсы от минусов.

Чтобы выяснить знак функции на каком-либо интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала.
Например, для интервала (−5; 6) мы вправе брать x = −4, x = 0, x = 4 и даже x = 1,29374. Почему это важно?
Все точки на одном интервале дают один и тот же знак. Помните об этом!

«Недостаточно только получать знания: надо найти им приложение. Недостаточно только желать; надо делать».
Гёте.

Практическая работа

Решите неравенства:
(x + 9)(x − 3)(1 − x) < 0

Ответ: x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Ответ: x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Ответ: x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

«Как приятно, что ты что-то узнал»Мольер

Что нового узнали?
Какова была цель урока?
Как вы думаете, мы достигли поставленной цели?
Что было для вас самым сложным?

Продолжи предложение: 

Я узнал…
Я научился…
Мне понравилось…
Я затруднялся…
Мое настроение ….
Материал урока мне был ….

Оцени себя:

На уроке я работал ….
Своей работой на уроке я ….
Урок для меня показался ….
За урок я ….

Домашнее задание

Страница 88, пункт 15
№ 326 (а, г),
№ 327.