Урок на тему Повторение. Задачи на построение

У р о к  № ТЕМА: ПОВТОРЕНИЕ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ Цель  деятельности  учителя Термины и  понятия Создать условия для повторения основных задач на построение;  совершенствовать навыки решения задач на построение Построение угла, равного данному, построение биссектрисы угла,  построение перпендикулярных прямых, середины отрезка Предметные умения Умеют применять  изученные понятия,  результаты, методы  для решения задач  практического  характера Планируемые результаты Универсальные учебные действия Познавательные: умеют планировать и осуществлять деятельность,  направленную на решение задач исследовательского характера. Регулятивные: умеют осуществлять контроль по результату и по  способу действия на уровне произвольного внимания и вносить  необходимые коррективы. Коммуникативные: умеют работать в сотрудничестве с учителем,  находить общее решение и разрешать конфликты на основе  согласования позиций и учета интересов. Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета Организация пространства Формы работы Фронтальная (Ф); индивидуальная (И) Образовательн •  Задания для индивидуальной работы ые  ресурсы  Цель деятельности  Повторить  основные  задачи на  построение I этап. Актуализация опорных знаний учащихся Совместная деятельность (Ф/И) 1. Шесть учеников выполняют у доски следующие задания: 1) на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному; 2) отложить от данного луча угол, равный данному; 3) построить биссектрису данного неразвернутого угла; 4) построить прямую, проходящую через данную точку и   перпендикулярную к прямой, на которой лежит данная точка; 5) построить середину данного отрезка; 6) построить прямую, проходящую через данную точку и   перпендикулярную к прямой, не проходящей через данную точку. 2. Пока учащиеся у доски готовятся, класс выполняет  дифференцированные задания. Построить треугольник:  1) по двум сторонам и углу между ними;  2) по стороне и прилежащим к ней углам;  3) по трем сторонам II этап. Решение задач Цель деятельности Деятельность учителя Деятельность учащихся Совершенствова ть  навыки решения задач на  построение (Ф/И) Организует  деятельность  учащихся. 1. Решить задачу  № 353  на доске и в  тетрадях. 2. Решить  самостоятельно  задачи № 354,  360, 362  (одну задачу  решить  по полной схеме) № 353.  А н а л и з  (см. рис.1): Рис. 1 Пусть X – искомая точка, то есть АХ = ХВ, тогда ∆АХВ  – равнобедренный и XY –  медиана, высота и биссектриса. Отсюда получаем план  построения.  П л а н   п о с т р о е н и я :  1) Построить точку Y – середину АВ.  2) Построить прямую, проходящую через Y и  перпендикулярную АВ.  3) Прямая b пересекается с окружностью в точках Х и  Z. Х и Z – искомые точки.  П о с т р о е н и е  (см. рис. 2): Рис. 2 Доказательство: ∆AYX = ∆BYX по двум катетам (они   прямоугольные, так как  YX  АВ, AY = YB, так как Y – середина АВ), тогда АХ =  ВХ, то есть точка Х лежит на данной окружности и  равноудалена от концов отрезка АВ. Таким же образом  можно доказать, что точка Z удовлетворяет всем  условиям задачи.  И с с л е д о в а н и е :  Задача может иметь:  а) два решения (см. план построения и построение);  б) одно решение, если прямая b имеет одну общую  точку с окружностью (касается ее) (рис. 3);  в) ни одного решения, если прямая b не имеет общих  точек с окружностью (рис. 4). Рис. 3                                                         Рис. 4 № 354. Соединяем точки А, В и С. Находим середины отрезков АВ, ВС и АС, соответственно K, L и М. Проводим  перпендикуляры (серединные перпендикуляры АВС). Находим точку О – их точку пересечения. Проводим  окружность радиуса АО =  = ВО = СО с центром в точке О.  Вокруг треугольника всегда можно описывать  окружность, поэтому задача не имеет решения, лишь  когда точки лежат на одной прямой. № 360. Рис. 5        Рис. 6 Проводим прямую а. Отмечаем на ней точку А – одну  из вершин нашего треугольника, на прямой  откладываем отрезок, равный периметру треугольника.  На прямой b откладываем отрезок АН, равный высоте  треугольника. Строим заданный  с вершиной в точке А. Проводим прямую с  b, Н  с. Обозначим точку  пересечения с со стороной  – В. От точки K  откладываем на прямой а отрезок, равный АВ – KC.  Соединяем В и С. АВС – искомый треугольник. № 362.                        а)                  Рис. 7                  б) Пусть надо построить АВС, и даны PQR и отрезки  В1С1, равный стороне треугольника, и MN, равный  сумме двух других сторон треугольника (см. рис. а). Проведем произвольную прямую а, отметим на ней  точку В и точку Х (см. рис. б).  От луча ВХ отложим угол XBL, равный углу PQR (см.  пункт 23 учебника). От точки В отложим отрезок,  равный данному отрезку В1С1. Построим биссектрису  BK угла LBC (см. пункт 23 учебника). Построим  окружность С радиусом, равным MN, и центром С, она  пересечет луч BK в точке О. Отложим от луча BK  KBF, равный углу BKC. Луч BF пересечет СО в точке А. Треугольник АВС – искомый, докажем это. KAB = АВС + АСВ (как внешний). KAB – равнобедренный (так как BKA = KBA по  построению).  Значит, KBA =  KBС = KBA + АВС =  АВС = .  +  . LBC = 2KBС = 180° + АВС – АСВ (так как BK –  биссектриса угла LBC). PQR = XBL = 180° – LBC = 180° – 180° – АВС +  АСВ = АСВ – АВС. АВ = AK, так как KBA – равнобедренный, значит, MN  = KA + АС = АВ + АС,  следовательно, наши построения верны III этап. Итоги урока. Рефлексия Деятельность учителя Деятельность учащихся (Ф/И) – Какой этап в задачах на  построение у вас вызывает  наибольшее затруднение? – Оцените свою работу на уроке (И) Домашнее задание: решить задачи № 352, 356, 361  (одну задачу решить по полной схеме)